Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку масса ядра более чемна три порядка величины превышает массу электрона, кинетическаяэнергия ядра примерно на три порядка меньше суммы кинетическихэнергий лептонов. Сумма кинетической энергии электрона и энергии антинейтрино, поэтому приближенно равна энергии распада Qβ − ,т.
е. разности масс начального и конечного атомов в энергетическихединицах:Te + Eν ≈ Qβ − = 0,019 МэВ = 19 кэВ.Электрон уносит максимальную кинетическую энергию, если энергияантинейтрино близка к нулю. В свою очередь, антинейтрино уноситмаксимальную энергию в случае, когда кинетическая энергия электрона близка к нулю. Итак, в результате β − -распада ядра трития имеем(Te )max = (Eν )max ≈ 19 кэВ.Задача 1.10.5. Оценить кинетическую энергию протона приβ − -распаде нейтрона.Разность масс покоя начального и конечного состояний в распадеn → p + e− + ν e равна (mn − mp − me )c2 = 0,782 МэВ.
В случае,когда электрон уносит максимальную энергию, (Te )max ≈ 0,782 МэВи Eν = 0. Импульс электрона в этом случае равен и противоположенпо направлению импульсу протона. При этом кинетическая энергиянерелятивистского протонаTp =p2e(p c)2T 2 + 2Te me c2= e 2 = e=2mp2mp c2mp c2(0,782)2 + 2 · 0,782 · 0,511МэВ ≈ 0,75 кэВ.=2 · 938,3В случае, когда максимальную энергию уносит антинейтрино,(Eν )max ≈ 0,782 МэВ и Te = 0. При этом кинетическая энергия протонаTp =p2ν(p c)2(0,782)2= ν 2 =МэВ ≈ 0,33 кэВ.2mp2 · 938,32mp cВ рассмотренных примерах β -распадов разность масс покоя начального и конечного состояний практически полностью уносилась двумялептонами.
Это является следствием большой, сравнительно с лептонами, массы конечного ядра.Явление e-захвата по своей кинематике сильно отличается от электронного и позитронного распадов. При e-захвате из ядра вылетаеттолько одна частица — нейтрино. Распад двухчастичный, поэтому рас-§1.10.
Распады нестабильных ядер135пределение энергии распада между конечным ядром и нейтрино строгоопределенное, и энергетический спектр продуктов распада дискретен.Если, измеряя β -спектр, можно измерить уносимую нейтрино энергию, то при e-захвате можно определить импульс pν нейтрино. Согласно закону сохранения импульса, он по абсолютной величине равенимпульсу pя отдачи ядра:pν + pя = 0 или pν = pя .(1.10.16)Комбинируя (1.10.16) с законом сохранения энергии, получаем(энергией связи электрона на атомной орбите можно пренебречь)p2pcQe = Eν + Tя = pν c + я = pя c 1 + я 2 ≈ pя c,(1.10.17)2Mя2Mя cгде Qe — энергия, выделяющаяся при e-захвате, Mя — масса ядра, аTя =p2я2Mя(1.10.18)— его энергия отдачи.В 1.10.17 использовано то, что pя c = pν c = Eν 2Mя c2 , и поэтомуможем записать pя c ≈ Qe .
С учетом этого имеемTя =p2я(p c)2Q2e= я 2 ≈.2Mя2Mя c2Mя c2(1.10.19)Энергия ядра отдачи при e-захвате мала (Tя Eν ), но ее можноизмерить для очень легких ядер. На этом были основаны первыеэксперименты, подтверждающие образование нейтрино при β -распаде.Задача 1.10.6. Определить энергию нейтрино, излучаемого приe-захвате K -электрона ядром 74 Be, и энергию отдачи конечногоядра.Рассматривается процесс 74 Be + e− → 73 Li + νe . Начнем с определения энергии e-захвата:Qe (74 Be) = Δ(74 Be) − Δ(73 Li) = 15,770 МэВ − 14,908 МэВ = 0,862 МэВ.Эта энергия равна сумме энергий нейтрино Eν и кинетической энергииконечного ядра T (73 Li).
Поскольку T (73 Li) Eν , то Eν ≈ Qe (74 Be) == 0,862 МэВ.Чтобы рассчитать энергию отдачи ядра 73 Li, надо воспользоваться соотношением (1.10.19). Для этого необходимо найти массу ядра73 Li в энергетических единицах. Приближенное и довольно точное еезначение дает просто сумма энергий покоя составляющих ядро 73 Liсвободных нуклонов:MLi c2 ≈ 3mp c2 + 4mn c2 ≈ (3 · 938,3 + 4 · 939,6) МэВ ≈ 6,57 ГэВ.Чтобы получить точное значение энергии покоя ядра 73 Li, нужновычесть из вышеприведенной величины энергию связи ядра. Ее можно136Гл. 1. Теоретический обзорполучить из избытка массы ядра 73 Li, равного 14,908 МэВ. Рецептвычисления энергии связи ядра можно найти в п.
1.7.3. Опуская детали,приведем значение энергии связи ядра 73 Li. Она равна 39,2 МэВ, т. е.составляет всего лишь 0,6 % суммы энергий покоя свободных нуклонов, образующих ядро 73 Li. Итак, окончательно имеем:T (73 Li) ≈(0,862 МэВ)2≈ 57 эВ.2 [3 · 938,3 + 4 · 939,6 − 39,2] МэВФормула (1.10.19) для вычисления энергии отдачи ядра при eзахвате может быть легко модифицирована для другого типа ядерногораспада — γ -распада, т. е. самопроизвольного испускания возбужденными ядрами фотонов (об этом процессе более подробно сказано нижев п. 1.10.4). Пусть покоящееся ядро имеет энергию возбуждения E и,испуская фотон, переходит в основное состояние.
Энергия E при этомделится между энергией фотона Eγ и энергией отдачи ядра Tя :E = E γ + Tя .(1.10.20)Далее можно целиком использовать соотношения (1.10.16) и (1.10.17),меняя нейтрино на гамма-квант (ν → γ ) и вместо Qe использовать E .В итоге получаем для энергии отдачи ядра при γ -распаде следующийаналог выражения (1.10.19):Tя ≈E2.2Mя c2(1.10.21)Задача 1.10.7. Определить энергию γ -кванта и кинетическую энергию отдачи ядра при излучении γ -кванта ядром 12 C,находящимся в первом возбужденном состоянии 2+ с энергиейE = 4,43 МэВ.Речь идет о распаде 12 C∗ → 12 C + γ , где верхний индекс ∗ отмечаетвозбужденное ядро. Далее, используя (1.10.20) и (1.10.21) и пренебрегая энергией связи ядра 12 C, получаемT (12 C) ≈E2(4,43 МэВ)2≈=2(6 · 938,3 + 6 · 939,6) МэВ2M (12 C)c2= 0,87 · 10−3 МэВ = 0,87 кэВ.Eγ = E − T (12 C) ≈ 4,43 МэВ − 0,00087 МэВ.Энергия γ -кванта меньше энергии возбуждения ядра на величину,которая меньше последней значащей цифры в энергии возбуждения.Однако именно этот незначительный сдвиг в энергии вылетевшегоγ -кванта относительно энергии уровня ядра оказывается препятствиемв поглощении испущенных γ -квантов невозбужденными ядрами с темиже (A, Z ), т.
е. в резонансном поглощении ядерных γ -квантов.Во всех двухчастичных ядерных распадах, рассмотренных выше(α-распад, e-захват, γ -распад), а также двухчастичных распадах эле-§1.10. Распады нестабильных ядер137ментарных частиц (§ 1.2) мы получили строго определенное («точное»)значение энергий продуктов распада, т. е. дискретность их спектра.В то же время квантовая природа рассматриваемых объектов приводит к тому, что спектр даже продуктов двухчастичных распадовне является δ -функцией энергии. Спектр продуктов двухчастичногораспада имеет конечную ширину Γ, которая тем больше, чем большевероятность распада в единицу времени λ (меньше среднее время1жизни τ = ) распадающегося ядра или частицы, причем (см. соотноλшение (1.2.12))Γ · τ = h̄.(1.10.22)Оценим ширину первого возбужденного уровня 2+ , E = 4,43 МэВв спектре ядра 12 C, если время жизни этого уровня составляет около10−13 с.
Из (1.10.22) имеемΓ=h̄6,58 · 10−22 МэВ · с== 6,58 · 10−3 эВ.τ10−13 сШирина возбужденного уровня ядра на несколько порядков меньшеэнергетического сдвига 0,87 кэВ, рассчитанного в задаче 1.10.7. Такимобразом, на этом ядре резонансного поглощения происходить неможет!В атомных и молекулярных переходах энергии излучаемых квантов на несколько порядков ниже, чем в ядерных переходах. Поэтомудля этих переходов резонансное поглощение атомом (или молекулой)фотона собственного излучения возможно.
Ядерное резонансное поглощение γ -излучения возможно лишь при использовании специальныхметодов компенсации отдач ядер, использующих эффекты Доплера илиМессбауэра.1.10.3. Вероятности распадов. Рассмотренные в предыдущихразделах распады частиц и ядер характеризовались, помимо энергийпродуктов распада, также и вероятностями распада (или обратнымиим средними временами жизни первичной частицы или ядра). Средние времена жизни имеют огромный диапазон значений: например,среднее время жизни нестабильного бариона, называемого Δ-изобарой,≈ 10−23 с. Время жизни возбужденного ядра 12 C — порядка 10−13 с.Среднее время жизни мюона — около 2 · 10−6 с, а среднее время жизнинейтрона около 15 минут.В § 1.2 уже обсуждался вопрос о факторах, определяющих вероятность распада нестабильной частицы или ядра. Напомним, что вероятность распада частицы или ядра является функцией несколькихопределяющих факторов.
Важнейшим из них является тип фундаментального взаимодействия, которое ответственно за происходящийраспад. Вероятности процессов, происходящих по тому или иномутипу взаимодействия, зависят (как правило) от квадрата константывзаимодействия (см. пп. 1.2.4 и 1.2.5). Например, поскольку распад138Гл. 1. Теоретический обзорΔ-изобары происходит по сильному взаимодействию, ему отвечаетвысокая вероятность распада и соответственно малое время жизни,около 10−23 с. Процессы электромагнитного взаимодействия имеютконстанту примерно на два порядка меньше сильных, соответствующиеим средние времена жизни больше, чем ≈ 10−19 с. Слабые взаимодействия (примером которых являются рассмотренные выше β -распадыядер и частиц) имеют константу, примерно на 6 порядков меньшую,чем сильные взаимодействия.
Поэтому характерные для них средниевремена жизни больше, чем ≈ 10−12 с. Связь констант взаимодействияи вероятностей распадов определяет наиболее вероятный канал распаданестабильного ядра или частицы в случаях, когда возможны несколькотаких путей, так называемых каналов распада.Задача 1.10.8.
Определить наиболее вероятные каналы распадаядра 12 C, находящегося в возбужденном состоянии с энергией возбуждения 22 МэВ.Поскольку энергия возбуждения ядра выше энергий отделения протона (15,96 МэВ) и нейтрона (18,72 МэВ) от этого ядра, оно будетраспадаться по каналу сильного взаимодействия с вылетом нуклонов:12 ∗ → 115 B + p либо 126 C∗ → 115 C + n.6CПомимо типа взаимодействий, вероятность распада определяетсятакже1) кинетической энергией образующихся при распаде частиц и2) моментом количества движения, уносимым частицами.Вероятность распада тем выше, чем больше энергия перехода.Влияние этого фактора на вероятность распада часто замаскировановлиянием второго фактора, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
