Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Изоспин частицопределяется кварками u и d, имеющими изоспин 1/2. У протона и нейтрона изоспины этих кварков складываются в результирующий изоспин 1/2и, следовательно, эти частицы входят в состав изоспинового дублета (одногои того же). Ξ0 содержит один u-кварк и поэтому имеет изоспин 1/2, т.
е.также входит в состав изоспинового дублета (другим членом этого дублетаявляется частица Ξ− (dss)). Ω− имеет нулевой изоспин, так как не содержиткварки u и d. Частицы Λ и Σ0 имеют одинаковый кварковый состав — uds.В Λ изоспины кварков u и d складываются в нулевой изоспиновый моменти поэтому эта частица является изоспиновым синглетом. В Σ0 изоспиныкварков u и d складываются в единичный изоспиновый момент и поэтому этачастица входит в состав изоспинового триплета (остальными членами этоготриплета являются Σ− и Σ+ ).2.4.4.
Для легких адронов (в состав которых входят легкие кваркиu, d, s) действует правило (1.4.12) Накано–Нишиджимы–Гелл-Манна(ННГ), эмпирически найденное в 1953 г.:Q = I3 +Y,2(2.4.1)где Q — заряд адрона (в единицах e), I3 — третья проекция изоспина,а Y = B + s называют гиперзарядом (B — барионный заряд, s —странность). Позже выяснилось, что для адронов, в состав которыхвходят «тяжелые» кварки c, b и t, формула (2.4.1) также верна, есливвести обобщенный гиперзаряд Y = B + s + c + b + t.Формула (2.4.1) стала известна за 10 лет до появления кварковоймодели. Действует ли она для отдельных кварков?Да, действует. Проще всего это показать, если рассматривать барионы,состоящие из кварков одинакового аромата, т. е.
из частиц с кварковой структурой qqq . Ограничимся легкими кварками (u, d, s). Обозначим электрическийзаряд кварка, третью проекцию его изоспина, барионное число и странностьсоответственно через Qq , Bq , I3q и sq . Тогда, учитывая, что речь идет обаддитивных квантовых числах, соотношение (2.4.1) приобретает вид:3(Qq ) = 3(I3q ) +Откуда получаем3 (Bq ) + 3 (sq ).2(2.4.2)B +sqQq = I3q + q.(2.4.3)2Таким образом, показана справедливость правила ННГ для отдельных кварков.2.4.5. Если полагать, что барионы состоят из трех фундаментальных частиц и быть уверенным в справедливости правила ННГ,то можно определить квантовые характеристики этих частиц — элек-198Гл.
2. Задачи с решениямитрический заряд Q (в единицах e), I3 — третью проекцию изоспина,B — барионный заряд и s — странность (все эти квантовые числа былиизвестны для многих барионов задолго до появления кварковой модели). Покажите, как это можно сделать, и убедитесь, что получаемыехарактеристики фундаментальных частиц отвечают кваркам.Проще всего получить результат, если «угадать» барион, состоящий из треходинаковых фундаментальных частиц. Пусть нам это удалось и в качестветакого бариона мы указали на Δ++ . Итак, этот барион считается состоящим изтрех одинаковых частиц φ, т. е.
структура этого бариона Δ++ = φφφ. Мы знаем, что Δ++ имеет следующие квантовые числа: Q = +2, B = +1, I3 = +3/2и s = 0. Поскольку любое аддитивное квантовое число частицы φ составляетлишь 1/3 соответствующего квантового числа Δ++ , то получаем: Qφ = +2/3,Bφ = +1/3, I3φ = +1/2 и sφ = 0. Эти характеристики соответствуют u-кварку,т. е.
φ ≡ u-кварк.Конечно реальная ситуация более сложная. Заранее неизвестно, какиебарионы состоят из одинаковых фундаментальных частиц. Но знание формулы (2.4.1) и квантовых характеристик достаточно большого числа барионов(и мезонов) неизбежно приведет к кварковой модели адронов.2.4.6.
Исходя из того, что Ω− -гиперон состоит из одинаковых легких кварков (u, d, или s), идентифицировать тип этого кварка и найтиизоспин гиперона.Имеем Ω− ≡ qqq . Используем (2.4.2), (2.4.3) и квантовые характеристикиΩ : Q = −1, B = +1, s = −3. Не хватает I3 . Формула (2.4.2) дает I3 (Ω− ) = 0.Из (2.4.3) имеем Qq = −1/3, Bq = +1/3, I3q = 0 и sq = −1/3. Указанныехарактеристики относятся к s-кварку.
Этот кварк имеет нулевой изоспин.Поэтому нулевым является и изоспин Ω− -гиперона.−2.4.7. Определить магнитные моменты u- и d-кварков в ядерныхмагнетонах, считая, что их масса в составе адрона (конституентнаямасса) равна 1/3 массы нуклона.Всякая точечная заряженная частица со спином 1/2, массой m и зарядом qимеет величину собственного магнитного моментаμs =qh̄.2mcИсходя из этого для u- и d-кварка соответственно имеем:μu =μd =где μN =+ 23 eh̄2mu c− 13 eh̄2md c=eh̄eh̄== 2μ N ,3mu cmp c=−eh̄eh̄=−= −1μN ,6md c2mp ceh̄— ядерный магнетон.2mp c2.4.8.
Могут ли топ-кварк (t) и его антикварк (t) образоватьсвязанную систему tt-топоний, аналогичную чармонию (cc) и боттомонию (bb)?§2.4. Адроны, кварки. Системы двух и трех частиц.199О связанной системе кварков можно говорить лишь в том случае, когда онасуществует в течение времени большем, чем требуется частице со скоростьюсвета для преодоления расстояния ≈ 1 Фм (размер адрона), то есть10−13 см3 · 1010 см/с≈ 10−23 –10−24 с.Топ-кварк имеет ширину распада Γt ≈ 2 ГэВ, откуда время его жизниτt ≈h̄6,6 · 10−22 МэВ · с≈= 3,3 · 10−25 с,Γt2 · 103 МэВто есть слишком мало, чтобы он успел образовать связанную систему tt.2.4.9.
Какая энергия нужна для «переворота» кварка в нуклоне?Рассмотрим протон p и Δ+ -резонанс. Обе частицы имеют одинаковыйкварковый состав uud и нулевой результирующий орбитальный момент кварков. Но у протона спин d-кварка противоположен спину u-кварков, а в Δ+ резонансе спины всех кварков направлены в одну сторону: p = uud(↑↑↓),Δ+ = uud(↑↑↑). Таким образом, от протона к Δ+ -резонансу можно перейти,изменив направление спина d-кварка, то есть «перевернув» его. Для перехода протона в Δ+ -резонанс требуется энергия mΔ+ c2 − mp c2 ≈ (1232 −− 938) МэВ ≈ 300 МэВ. Именно эта энергия нужна для «переворота» кваркав протоне.2.4.10. Найти максимальные значения изоспинов, которыми могутобладать барионы и мезоны.Максимальные изоспины будут у барионов и мезонов, целиком состоящихиз наделенных изоспином 1/2 кварков u, d и их антикварков.
Посколькубарионы состоят из трех кварков (qqq ), а мезоны — из двух кварков (qq),то максимальные их изоспины будут соответственно 3/2 и 1.2.4.11. Привести примеры адронных изомультиплетов.Изосинглет: Ω− (sss);Изодублет: p(uud) и n(udd);Изотриплет: Σ− (dds), Σ0 (uds), Σ+ (uus);Изоквартет: Δ− (ddd), Δ0 (udd), Δ+ (uud), Δ++ (uuu).2.4.12. Частица имеет странность −1. Что можно сказать о ееизоспине?Эта частица содержит в своем составе один странный кварк s, имеющийстранность −1 и лишенный изоспина. В состав подобных частиц могут такжевходить до двух наделенных изоспином 1/2 кварков u и d (барион) или один изих антикварков (мезон). Таким образом, изоспин обсуждаемой частицы можетпринимать одно из трех следующих значений: 0, 1/2, 1.2.4.13. Нейтрон и антинейтрон имеют изоспин I = 1/2 и проекцииизоспина I3 соответственно −1/2 и +1/2. Показать, что они не могутбыть изоспиновым дублетомЧастицы, входящие в состав изоспинового мультиплета, обязательно различаются электрическими зарядами (это обуславливает их различие и в проекциях изоспина).
Они также могут различаться магнитными моментами и массами (отличие в массах невелико или отсутствует). Никаких других различий200Гл. 2. Задачи с решениямив квантовых числах между ними быть не может. Это следует хотя бы изтого, что переходу от одной частицы изоспинового мультиплета к другойотвечает поворот в изоспиновом (зарядовом) пространстве, меняющий лишьэлектрический заряд частицы и сопутствующие ему характеристики (магнитный момент и массу, на которую может повлиять внутренняя электромагнитнаяэнергия). Таким образом, такие квантовые числа со знаком, как барионныйзаряд, странность, очарование (шарм), боттом, топ, четность, при поворотев изопространстве изменить знак не могут.
А у антинейтрона знак барионногозаряда противоположен знаку барионного заряда нейтрона. В то же время обеэти частицы нейтральны, т. е. не различаются электрическим зарядом.Другой аргумент состоит в том, что изоспиновые мультиплеты обязательноцеликом входят в состав одного супермультиплета адронов.
Любой адронныйсупермультиплет распадается на изоспиновые мультиплеты, и за пределамиэтого супермультиплета нет членов входящих в него изоспиновых мультиплетов. Нейтрон входит в состав октета легчайших барионов и в нем составляетизоспиновую пару протону. Антинейтрон составляет изоспиновую пару антипротону, вместе с которым он входит в состав октета легчайших антибарионов,зарядовосопряженного вышеупомянутому октету барионов.2.4.14. Показать, что изоспин частиц изомультиплета может бытьнайден из соотношенияI=1(Qmax − Qmin ),2(2.4.4)где Qmax и Qmin — максимальный и минимальный электрическиезаряды членов изомультиплета.Воспользуемся правилом ННГ (соотношение (2.4.1)).
Учтем, что члены изомультиплета различаются только электрическим зарядом Q и, соответственно,проекцией изоспина I3 . Членов изомультиплета столько, сколько различныхзначений Q и, соответственно, различных I3 . Величина гиперзаряда Y длявсех частиц изомультиплета одна и та же. ИмеемYYQmax = (I3 )max + , Qmin = (I3 )min + ,2 2или Qmax − Qmin = I3 max − I3 min . Поскольку Q и I3 меняются от максимального до минимального значения с шагом 1, то полное число n разопределяется соотношениемличных Q и I3 , т. е.
размерность изомультиплета, Qmax − Qmin + 1 = n или I3 max − I3 min + 1 = n. Принимая во внимание,что n = 2I + 1 (см. параграф 1.4.4), получаем (2.4.4).2.4.15. Что можно сказать об электрическом квадрупольном моменте протона, нейтрона и других адронов?В статической кварковой модели протон (нейтрон) состоят из трех кварковс нулевыми орбитальными моментами l = 0, то есть описываются сферическисимметричными волновыми функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
