Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для этой энергии имеемB(2 H) = B(11 B) = W (13 C) − W (11 B) − W (2 H) == (97,1 − 76,2 − 2,2) МэВ = 18,7 МэВ.2.6.17. C помощью формулы Вайцзеккера рассчитать энергии от4048деления нейтронов в четно-четных изотопах кальция: 3820 Ca, 20 Ca, 20 Ca.Энергия отделения нейтрона в ядре (A, Z) дается соотношением (1.7.12):Bn (A, Z) = mn c2 + M (A − 1, Z)c2 − M (A, Z)c2 .Масса ядра M (A, Z)c2 = [Zmp + (A − Z)mn ] c2 − W (A, Z). Здесь W (A, Z) —энергия связи ядра.
Для энергии отделения нейтрона можем записатьBn (A, Z) = [mn + Zmp + (A − 1 − Z)mn ] c2 − W (A − 1, Z)−− [Zmp + (A − Z)mn ] c2 + W (A, Z) = W (A, Z) − W (A − 1, Z).Энергия связи атомных ядер описывается с помощью формулы Вайцзеккера (1.8.7):W (A, Z) = av · A − as · A2/3 − acZ(Z − 1)A1/ 3− asym(A − 2Z)2+ δA−3/4 , (2.6.4)Aс коэффициентами av = 15,6 МэВ, as = 17,2 МэВ, ac = 0,72 МэВ, asym == 23,6 МэВ.
Что касается константы спаривания δ , то можно использоватьзначения: δ = +34 МэВ для четно-четных ядер; δ = 0 — для нечетных ядери δ = −34 МэВ — для нечетно-нечетных ядер.С учетом этого для четно-четных изотопов кальция получаем:— Изотоп 3820 Ca:W (38,20) = 15,6 МэВ · 38 − 17,2 МэВ · 382/3 − 0,72 МэВ ·− 23,6 МэВ ·— Изотоп381/334 МэВ(38 − 2 · 20)+38383/42−= 316,9 МэВ.4020 Ca:W (40, 20) = 15,6 МэВ · 40 − 17,2 МэВ · 402/3 − 0,72 МэВ ·+— Изотоп20 (20 − 1)20 (20 − 1)401/334 МэВ403/4+= 342,5 МэВ.4820 Ca:W (48, 20) = 15,6 МэВ · 48 − 17,2 МэВ · 482/3 − 0,72 МэВ ·− 23,6 МэВ ·20 (20 − 1)481/334 МэВ(48 − 2 · 20)2+48483/4−= 413,7 МэВ.241§2.6.
Свойства атомных ядер. Энергия ядраЭнергии связи (A − 1, Z) изотопов кальция, образующихся после вылетанейтрона, будут следующими:— Изотоп 3720 Ca:W (37, 20) = 15,6 МэВ · 37 − 17,2 МэВ · 372/3 − 0,72 МэВ ·20 (20 − 1)−371/3(37 − 2 · 20)2− 23,6 МэВ ·= 296,7 МэВ.37— Изотоп3920 Ca:W (39, 20) = 15, 6 МэВ · 39 − 17,2 МэВ · 392/3 − 0,72 МэВ ·20 (20 − 1)−391/3(39 − 2 · 20)2− 23,6 МэВ ·= 327,6 МэВ.39— Изотоп4720 Ca:W (47, 20) = 15,6 МэВ · 47 − 17,2 МэВ · 472/3 − 0,72 МэВ ·20 (20 − 1)−471/3(47 − 2 · 20)2− 23,6 МэВ ·= 405,8 МэВ.47Итак, энергии отделения нейтрона:— Изотоп— Изотоп— Изотоп3820 Ca4020 Ca4820 Ca: Bn (38, 20) = 316,9 МэВ − 296,7 МэВ = 20,2 МэВ.: Bn (40, 20) = 342,5 МэВ − 327,6 МэВ = 14,9 МэВ.: Bn (48, 20) = 413,7 МэВ − 405,8 МэВ = 7,9 МэВ.Соответственно экспериментальные значения энергий отделения нейтрона4048для этих изотопов следующие: 3820 Ca — 17,0 МэВ, 20 Ca − 15,6 МэВ и 20 Ca —9,9 МэВ.2.6.18.
Какова была бы величина отношения Z/A для ядра, еслибы не действовал принцип запрета Паули?В этом случае все нуклоны располагались бы на самом низшем энергетическом уровне, а так как между протонами действуют силы кулоновскогоотталкивания, то ядру было бы энергетически выгодно состоять из однихнейтронов. Следовательно, выполнялось бы условие Z/A = 0.2.6.19. Найти равновесное число протонов Zравн в ядре при фиксированном массовом числе A (линию стабильности на N Z -диаграммеатомных ядер).Равновесное число протонов Zравн в ядре при фиксированном A определяZ(Z − 1)(A − 2Z)2ется минимумом по Z суммы 3-го −acи 4-го −asym1/ 3AAчленов в формуле Вайцзеккера (1.8.7), (2.6.4), откуда легко, используя процедуру нахождения экстремума и приближение acZравн =2asym Aac A2/3 + 4asym≈Z(Z − 1)1/ 3AA0,015A2/3 + 2≈ ac.Здесь использовано ac = 0,72 МэВ и asym = 23,6 МэВ.Z2A 1/ 3, получить242Гл.
2. Задачи с решениями2.6.20. Считая, что разность энергий связи ядер 3 H и 3 He обусловлена кулоновским взаимодействием, оценить радиус этих ядер. Найтивеличину константы r0 в соотношении R = r0 · A1/3 . Разность ΔWэнергий связи ядер 3 H и 3 He составляет 0,76 МэВ.Полагаем ядро в виде однородного шара радиуса R, содержащего Z элементарных зарядов. Кулоновская энергия такого шара дается выражениемEкул (Z) =3 Z(Z − 1)e2·.5RОтсюда для ядра 3 H, содержащего один протон, имеем Eкул (Z = 1) = 0.
Для6e2ядра 3 He, содержащего два протона, имеем Eкул (Z = 2) = · . Для разности5 RΔW энергий связи этих ядер имеемΔW = Eкул (3 He) − Eкул (3 H) =иR=6(4,8 · 10−10 ед.СГСЭ)26 e2·= 0,76 МэВ5 R5 · 0,76 МэВ · 1,6 · 10−6 эрг/МэВ= 2,27 · 10−13 см.При этом r0 = 2,27 · 10−13 см/ (3)1/3 = 1,58 Фм.2.6.21. Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер определяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов в этих ядрах, оценить радиус зеркальных ядер 73 Li и 74 Be.Решение аналогично решению задачи 1.7.4. Разность кулоновскх энергийΔEкул дается соотношением (1.7.10):6ZΔEкул = Eкул (Z + 1) − Eкул (Z) = e2 = ΔW.5 RОткуда, используя то, что разность энергий связи рассматриваемых ядерΔW ≈ 1,7 МэВ, получаем65R = e2Z6 e2 h̄cZ6 · 197 МэВ · Фм · 3=== 3,0 Фм.ΔW5 h̄cΔW5 · 137 · 1,7 МэВРасчет радиусов сравниваемых ядер по формуле (1.7.3) дает величину ≈ 2 Фм.2.6.22.
Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер определяется только различием энергий кулоновского отталкивания в этих23ядрах, вычислить радиусы зеркальных ядер 2311 Na, 12 Mg.Решение легко получить, используя решения двух предыдущих задач. Разность энергий связи ΔW зеркальных ядер (A, Z) и (A, Z + 1) равна разностикулоновских энергий этих ядер (см. соотношение (1.7.10)):65ΔEкул = Eкул (Z + 1) − Eкул (Z) = e2Z= ΔW.RВ то же время разность кулоновских энергий (энергий связи) зеркальных ядер2Zнаходим из формулы Вайцзеккера (1.8.7), (2.6.4): ΔW = ac 1/3 . Здесь ac =A= 0,72 МэВ, а Z относится к зеркальному ядру с меньшим зарядом.
Учитывая,что A = 23 и Z = 11, получаем65R = e2A 1/ 36 e2 A1/36 1231/3=h̄c =197 МэВ · Фм = 3,4 Фм.2ac5 h̄c 2ac5 137 2 · 0,72 МэВR = 1,2A1/3 Фм (1.7.3) дает тот же результат:23Эмпирическая23 зависимость1/ 3R 12 Mg = R 11 Na = 1,2 · 23 Фм = 3,4 Фм.243§2.6. Свойства атомных ядер.
Энергия ядра2.6.23. По энергиям связи начального и конечных ядер определить энергии отделения нейтрона, протона и α-частицы от ядра242412 Mg. Энергия связи ядра 12 Mg равна 198,3 МэВ. Энергии связи ядер232320412 Mg (181,7), 11 Na (186,6), 10 Ne (160,6) и 2 He (28,3) даны в скобках2323в МэВ. Оценить радиусы ядер 12 Mg и 11 Na.Энергии отделения нейтрона, протона и α-частицы от ядращие (см. формулы (1.7.12), (1.7.13) и (1.7.14):2412 Mgследую-Bn = W (24 Mg) − W (23 Mg) = (198,3 − 181,7) МэВ = 16,6 МэВ,Bp = W (24 Mg) − W (23 Na) = (198,3 − 186,6) МэВ = 11,7 МэВ,Bα = W (24 Mg)−W (20 Ne)−W (4 He) = (198,3 − 160,6 − 28,3) МэВ = 9,4 МэВ.Дальнейшее решение полезно сравнить с решением предыдущей задачи.Ядра 23 Mg и 23 Na зеркальные.
Для нахождения их радиуса используем соотношение (1.7.11), где ΔW = W (23 Na) − W (23 Mg) = (186,6 − 181,7) МэВ == 4,9 МэВ, а Z берется для ядра с меньшим числом протонов (в данном случаеэто ядро 23 Na, для которого Z = 11):65R = e2Z6 e2 h̄cZ6 · 197 МэВ · Фм · 11==≈ 3,9 Фм.ΔW5 h̄cΔW5 · 137 · 4,9 МэВИспользование формул (1.7.2) и (1.7.3) дает соответственно 3,0 и 3,4 Фм.+2727+2.6.24. Ядро 2714 Si в результате β -распада 14 Si → 13 Al + e + νe27переходит в «зеркальное» ядро 13 Al. При этом максимальная кинетиче= 3,48 МэВ.
Оценить радиус этих ядер.ская энергия позитронов Tβmax+6 Ze2Разность энергий связи двух зеркальных ядер ΔW =(см. зада5 Rчу 2.6.22), где R — радиус ядра, e — величина заряда электрона и Z — числопротонов в зеркальном ядре с меньшим Z (в данном случае это ядро 2713 Al),откуда R =6 Ze2.5 ΔWПолучим выражение для максимальной кинетической энергии позитронов при β + -распаде через энергии связи начального (A, Z) и конечного(A, Z − 1) ядер. Исходим из энергетических условий β -распада (1.10.7) и выражения (1.7.8) для энергии связи ядра через его массу.
ИмеемTβmax= Qβ + = [M (A, Z) − M (A, Z − 1) − me ] c2 =+= W (A, Z − 1) − W (A, Z) − (mn − mp )c2 − me c2 == W (A, Z − 1) − W (A, Z) − 1,29 МэВ − 0,51 МэВ == W (A, Z − 1) − W (A, Z) − 1,80 МэВ = ΔW − 1,80 МэВ.Тогда для радиуса ядра получаем следующее соотношение и результат:R=6Ze2 =5 T max+ 1,80 МэВβ+26 · 13 · 4,8 · 10−10 ед. СГСЭ=5 · (3,48 МэВ + 1,80 МэВ) · 1,6 · 10−6 эрг/МэВ= 4,3 · 10−13 см = 4,3 Фм.244Гл. 2. Задачи с решениями2.6.25. Показать на примере ядрасостоять из протонов и электронов.147 N,что атомное ядро не можетЕсли ядро 147 N состоит из протонов и электронов, то оно должно содержать14 протонов и 7 электронов.
Тогда получается правильный электрическийзаряд +7e этого ядра и приблизительно воспроизводится его масса. Посколькуи протоны и электроны имеют полуцелый спин (1/2), то ядро оказываетсясостоящим из нечетного (21) числа фермионов. Правила кванотово-механического сложения векторов моментов количества движения в этом случаедопускают лишь полуцелый результирующий спин этого ядра. На самом делеспин ядра 147 N равен 1, что несовместимо с протон-электронной моделью ядра.2.6.26. Атом калия состоит из ядра 3919 K и 19 электронов. Полныймомент количества движения, создаваемый электронами I = 5/2. Cпинядра J = 3/2.
Чему равен полный момент количества движения Fатома калия? = I + J = 5 + 3 и |I − J| F I + J . Отсюда F = 1, 2, 3, 4.Имеем F222.6.27. Определить спин ядра 3919 K, если момент электронной оболочки атома калия равен 5/2, а число линий сверхтонкого расщепленияуровней этого атома равно 4.Полный момент F атома, т. е. системы «электронная оболочка – ядро»,складывается из момента электронной оболочки I атома и спина ядра J :F = I + J.Сверхтонкое расщепление атомных уровней возникает благодаря взаимодействию магнитного момента ядра с магнитным полем атома. В соответствиис решением задачи 1.7.13 число уровней сверхтонкого расщепления равночислу различных значений, которое может принимать квантовое число F :F = |J − I| , |J − I + 1| , .
. . , J + I − 1, J + I.Число различных значений F равно 2K + 1, где K — наименьшая из величин J и I .Поскольку для 3919 K число уровней сверхтонкого расщепления 4, эта величина соответствует случаю, когда момент электронной оболочки 5/2 большеспина ядра (иначе число уровней было бы равно 6). Поэтому число уровнейсверхтонкого расщепления определено спином ядра и равно 4 = 2J + 1.Следовательно, спин ядра J = 3/2.2.6.28.
Показать, что из определенной четности волновой функциисистемы частиц (например, ядра) следует равенство нулю ее электрического дипольного момента.Запишем выражение для электрического дипольного момента системы Zодинаковых частиц, наделенных элементарным зарядом e:(2.6.5)d = rρ(r)dv = Ze r |ψ(r)|2 dv.Здесь использовано то, что ρ(r) = Ze |ψ(r)|2 . При определенной четности ψ(r)функция |ψ(r)|2 всегда четна и подынтегральная функция в (2.6.5) всегданечетна, что и приводит к равенству нулю интеграла, а значит и электрическогодипольного момента.245§2.6. Свойства атомных ядер. Энергия ядраБолее строгое выражение для электрического дипольного момента атомного ядра:AZ eαrα ψ(r1 , r2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
