Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Как следует из таблиц, наиболее успешно одночастичная модель оболочек предсказывает характеристики ядер, имеющих 1 нуклонв незаполненной подоболочке.§2.7. Модели ядер2592.7.14. Определить спин-четность ядра антигелия-5 (52 He) в основном состоянии. Сравнить предсказание со спин-четностью обычногогелия-5 (52 He) в основном состоянии.Оба вышеупомянутых ядра в основном состоянии имеют заполненнуюоболочку 1s1/2 , содержащую четыре частицы, и одну частицу (нейтрон или антинейтрон) в следующей подоболочке 1p3/2 .
Именно этой последней частицей(ее спином и четностью) и определяются спин-четность гелия-5 (антигелия-5)в основном состоянии. Таким образом, спин обоих ядер в основном состоянииравен 3/2. Четность 52 He в основном состоянии положительна:P (52 He)основное состояние = pn · (−1)ln = (+1) · (−1)ln =1 = −1.Здесь pn — собственная четность нуклона (+1), а ln = 1 — орбитальныймомент внешнего (1p3/2 ) нейтрона.Четность антигелия-5 в основном состоянии определяется аналогичнымобразом, но с учетом того, что собственная (внутренняя) четность антинуклона (в данном случае антинейтрона) противоположна собственной четностинуклона, т.
е. отрицательна. Итак, имеемP (52 He)основное состояние = pn · (−1)ln = (−1) · (−1)ln =1 = +1.2.7.15. Определить значения спинов, четностей и изоспинов основных состояний гипер-ядер 5Λ He и ΛΛ6 He.Гипер-ядрами называют ядра, у которых один или два нуклона заменены на Λ-гипероны. Спин-четность Λ-гиперонов, как и у нуклонов, 1/2+ ,время жизни 2,6 · 10−10 с, т. е.
по ядерным меркам велико, и следовательно по своим свойствам гипер-ядра могут рассматриваться как обычные ядра. Гипер-ядро 5Λ He можно представить как ядро 42 He (изоспин I 42 He = 0,спин и четность J P (42 He) = 0+ ) с добавлением Λ-гиперона в состоянии1s1/2 . Спин и четность гиперона в этом состоянии J P (Λ) = 1/2+ , а изоспин 42 He) + 52 He) = I(Λ-гиперона I(Λ)= 0. Получаем, что изоспин гипер-ядра I(54+ I(Λ) = 0 + 0 = 0, спин J(2 He) = J(2 He) + J(Λ) = 0 + 1/2 = 1/2 и егочетность P (52 He) = P (42 He) · P (Λ) = (+1) · (+1) = +1. Таким образом, J P ,I(52 He) = 1/2+ , 0.Гипер-ядро ΛΛ6 He также можно представить как ядро 42 He, но уже с двумяΛ-гиперонами в состоянии 1s1/2 . В этом случае гипероны полностью заполняют оболочку 1s1/2 , и поэтому их спин и четность будут J P (ΛΛ) = 0+ .
42 He) + I(ΛΛ) ΛΛ6 He) = I(Получаем, что изоспин гипер-ядра I(= 0 + 0 + 0 = 0, 42 He) + J(ΛΛ) ΛΛ6 He) = J(спин J(= 0 + 0 = 0 и его четность P (ΛΛ6 He) == P (42 He) · P (ΛΛ) = (+1) · (+1) = +1. Таким образом, J P , I(ΛΛ6 He) = 0+ , 0.2.7.16. Предсказать в рамках сферически симметричной моделиоболочек магнитный момент дейтрона.В рамках рассматриваемой модели (см. задачу 2.7.9) нейтрон и протондейтрона находятся на низшей оболочке 1s1/2 , т. е. имеют нулевые орбитальныемоменты ln = lp = 0.
При этом возможны две конфигурации: спины нуклоновпараллельны (↑↑), спины нуклонов антипараллельны (↑↓). В первом случаеполный момент (спин) дейтрона равен 1, во втором 0. Обе конфигурацииимеют положительную четность. Магнитные моменты нейтрон-протонной парыв этих двух конфигурациях различны и определяются исключительно спи9*260Гл. 2. Задачи с решенияминовыми состояниями нуклонов, поскольку орбитальный магнетизм нуклоновв данном случае отсутствует. Таким образом, вектор магнитного моментаnp-пары в s-cостоянии дается выражением (см. соотношение (1.7.30))μnp =где μN =eh̄(gspsp + gsnsn ) = μN (gspsp + gsnsn ),2mp ceh̄— ядерный магнетон (e и mp заряд и масса протона), а gsp2mp cи gsn — спиновые гиромагнитные факторы протона и нейтрона, соответственноравные 5,586 и −3,826.В зависимости от взаимной ориентации спинов нейтрона и протона будемиметь различные результирующие магнитные моменты np-пары в s-cостоянии.Получим их.Спины нуклонов параллельны (↑↑):В этом случае магнитный момент нейтрон-протонной пары просто получается суммированием магнитных моментов протона μp = gsp sp μN ≈ +2,79μNи нейтрона μn = gsn sn μN ≈ −1,91μN :μnp (↑↑) = μN (gsp sp + gsn sn ) = μp + μn ≈ +2,79μN − 1,91μN = +0,88μN .Спины нуклонов антипараллельны (↑↓):В этом случае магнитный момент нейтрон-протонной является разностьюмагнитных моментов протона и нейтрона:μnp (↑↓) = μN (gsp sp − gsn sn ) = μp − μn ≈ +2,79μN − (−1,91)μN = +4,70μN .Реальный дейтрон соответствует нейтрон-протонной паре с параллельными(↑↑) спинами и имеет магнитный момент +0,857μN , весьма близкий к полученной нами величине +0,88μN .
Небольшое отличие экспериментального значения от вычисленного объясняется тем, что в реальном дейтроне небольшуючасть времени (≈ 4 %) np-пара проводит в d-состоянии (состоянии с относительным орбитальным моментом нуклонов l = 2).2.7.17. Рассчитать в рамках одночастичной модели оболочек магнитные моменты ядер — 31 H (тритий) и 32 He (гелий-3).В простой одночастичной модели вклад в магнитный момент ядра даеттолько последний нечетный (неспаренный) нуклон. Таким образом, магнитныемоменты рассматриваемых ядер должны быть равны собственным магнитныммоментам неспаренных нуклонов, т. е. в ядерных магнетонах (μN ) должно бытьμ (тритий) = μp = +2,79μN (не спарен протон).μ (гелий-3) = μn = −1,91μN (не спарен нейтрон).Действительно, в рассматриваемых ядрах в основном состоянии имеемдва спаренных нуклона одного типа в 1s1/2 -оболочке и один неспаренныйнуклон другого типа на этой же оболочке.
У спаренных нуклонов спиныантипараллельны. Поэтому их собственные магнитные моменты взаимно уничтожают друг друга. Орбитальный магнетизм не имеющих электрическогозаряда нейтронов заведомо отсутствует. У протона его тоже нет, так какорбитальный момент протона lp = 0. Поэтому магнитный момент трития равенсобственному магнитному моменту единственного и неспаренного протона.Магнитный момент гелия-3 равен собственному магнитному моменту единственного и неспаренного нейтрона.Экспериментальные значения магнитных моментов трития +2,98μN , гелия-3−2,13μN , что близко к полученным выше оценкам. Имеющееся различие§2.7. Модели ядер261можно объяснить отклонением от простой модели оболочек за счет остаточных(т. е.
не учтенных этой моделью) нуклон-нуклонных сил.Отметим, что вышеприведенное решение основано на классическом определении магнитного момента нуклона, даваемом формулой (1.7.30). Ядерный(т. е. квантово-механический) магнитный момент неспаренного нуклона определяется c помощью выражения (1.7.32), т. е.
в состоянии с максимальнойпроекцией спина ядра J на выделенное направление (ось z ). В данном случаеквантово-механическое решение совпадает с классическим.2.7.18. Определить магнитный момент ядра 178 O в основном состоянии, опираясь на сферическую одночастичную модель оболочек.Магнитный момент рассматриваемого ядра в основном состоянии определяется единственным нейтроном (в подоболочке 1d5/2 ) сверх остова замкнутыхподоболочек 1s1/2 , 1p3/2 и 1p1/2 , не создающих магнитного момента.
Посколькунейтрон не обладает орбитальным магнетизмом, то результирующий магнитный момент ядра 178 O в основном состоянии должен определяться собственныммагнитным моментом нейтрона. Напомним, что магнитный момент свободногонейтрона равен −1,91μN . Поэтому величина (модуль) магнитного моментаядра 178 O в основном состоянии должна совпадать с величиной (модулем)собственного магнитного момента нейтрона. Остается вопрос о знаке этогомомента.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как ориентирован→спин нейтрона в состоянии 1d5/2 относительно его полного момента j = 5/2.В 1d5/2 -состоянии орбитальный момент нуклона l = 2 параллелен (сонаправлен) его спину s = 1/2 (имеет место ситуация j = l + 1/2). Поэтому и спиннейтрона параллелен (сонаправлен) его полному моменту. Следовательно знакмагнитного момента нейтрона в 1d5/2 -состоянии должен быть сохранен такимже как и знак магнитного момента свободного нейтрона. Итак, для магнитногомомента ядра 178 O в основном состоянии предсказываем значение −1,91μN .Эксперимент для этого ядра дает значение −1,89μN .Отметим, что, как и в предыдущей задаче, мы используем классическоеопределение (1.7.30) магнитного момента неспаренного нуклона в ядре.
В строгом квантово-механическом решении нужно вычислять магнитный моментнеспаренного 1d5/2 -нейтрона в состоянии с максимальной проекцией спина→J = 5/2 рассматриваемого ядра 178 O на выделенное направление, т. е. нужноиспользовать выражение (1.7.32). Оказывается, что и в данном случае квантово-механическое решение совпадает с классическим.2.7.19. Предсказать магнитный момент ядра 4121 Sc в основном состоянии, опираясь на одночастичную модель оболочек.Это ядро в основном состоянии представляет собой совокупность дваждымагического кора 4020 Ca + протон на подоболочке 1f7/2 . Дважды магический корв рамках представлений сферической одночастичной модели оболочек не обладает магнитным моментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
