А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекции по методам математическойфизики для физхимиков 211 группы2004/2005 учебный годЛектор А. В. Субботин1Лекция IВывод основных уравнений математическойфизикиОпределение I.1. Уравнением в частных производных (коротко УРЧП) называется уравнение, в котором встречаются частные производные (любых порядков) неизвестных функций u1 , u2 , . . ., uN от n переменных x1 , x2 , . . ., xn . Порядком уравнения называется максимальныйиз порядков производных, встречающихся в уравнении. Системой УРЧП называется система, состоящая из УРЧП, и порядком такой системы считается максимальный из порядков уравнений, входящих всистему.Уравнение называется линейным, если оно линейно относительновсех неизвестных функций и их производных. Уравнение называетсяквазилинейным, если оно линейно только относительно старших производных.2∂u2∂ uПримеры.

u+u= 0 — квазилинейное (но не линейное)∂x∂y 2∂ 2u∂ 2u+a(x,y)= 2u — линейное∂x2∂y 2³ ∂u ´2 ³ ∂u ´2+= u — не линейное и не квазилинейное∂x∂yОсновное внимание будет уделяться линейным уравнениям с постоянными коэффициентами второго порядка от одной неизвестной функции.Примеры (и основные прототипы).∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u∂u=++— «уравнение теплопроводности»∂t∂x21 ∂x22 ∂x23∂ 2u∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u2)=++— «волновое уравнение»∂t2∂x21 ∂x22 ∂x23∂ 2u ∂ 2u ∂2u3)++= 0 — «уравнение Лапласа»∂x21 ∂x22 ∂x231)2Пример 1. Пусть у нас есть тело, занимающее объём G в R3 и в каждыймомент времени t функция u(t, x1 , x2 , x3 ) — распределение температурывнутри G.

Закон Ньютона распространения тепла заключается в следующем: количество тепла, проходящего через малую площадку ∆S запромежуток времени от t до t + ∆t в направлении нормали к площадке∂u~n равно ∆Q ≈ −k(x1 , x2 , x3 ) (t, x1 , x2 , x3 )∆S∆t с точностью до малых∂nпорядка высшего ∆S∆t; здесь k(x1 , x2 , x3 ) — коэффициент теплопроводности, тело считаем изотропным по всем направлениям (то-есть k независит от направления ~n).Выведем из этого закона уравнение распространения тепла, предполагая, что коэффициент k непрерывно дифференцируем в области Gи распределение температуры u дважды непрерывно дифференцируемо в G по пространственным переменным и один раз непрерывно дифференцируемо по времени.

Для этого рассмотрим элементарный кубик∆x1 ∆x2 ∆x3 с вершиной в точке (x1 , x2 , x3 ), полностью (вместе с границей) расположенный в области G.DQ’DQ’’Dx 3Dx 2x1x1+D x1Найдем количество тепла, входящего в объем куба через боковыеграни, перпендикулярные оси Ox1 за промежуток времени [t, t + ∆t].По теореме о среднем значении для тройного интеграла существуют такие точки x2 6 ξ2 6 x2 + ∆x2 и x3 6 ξ3 6 x3 + ∆x3 ,и такой момент времени t 6 τ 6 t + ∆t, что выполнено раh∂u000(τ, x1 + ∆x1 , ξ2 , ξ3 ) −венство ∆Q + ∆Q = k(x1 + ∆x1 , ξ2 , ξ3 )∂x1i∂uk(x1 , ξ2 , ξ3 )(τ, x1 , ξ2 , ξ3 ) ∆x2 ∆x3 ∆t.

По теореме Лагранжа о конеч∂x1ных приращениях существует точка x1 6 ξ1 6 x1 + ∆x1 , для которой´¯∂u∂ ³¯∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆t.k(x1 , ξ2 , ξ3 )(τ, x1 , ξ2 , ξ3 ) ¯∆Q0 + ∆Q00 =∂x1∂x1x1 =ξ1Учитывая вклад остальных площадок, имеем для общего количества3тепла, входящего в куб, формулу3´X∂ ³∂u∆Q ≈ ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆tk(x1 , x2 , x3 )(t, x1 , x2 , x3 ) ,∂xl∂xll=1в котором равенство написано с точностью до малых порядка высшего∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆t. С другой стороны∆Q ≈ c(x1 , x2 , x3 )ρ(x1 , x2 , x3 )[u(t + ∆t, x1 , x2 , x3 ) − u(t, x1 , x2 , x3 )]×∂u× ∆x1 ∆x2 ∆x3 ≈ cρ (t, x1 , x2 , x3 )∆t∆x1 ∆x2 ∆x3 ,∂tгде c(x1 , x2 , x3 ) — удельная теплоемкость, а ρ(x1 , x2 , x3 ) — плотностьтела в точке (x1 , x2 , x3 ). Сравнивая эти два уравнения и деля их на∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆t, получим при ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 , ∆t → 0∂u X ∂ ³∂u ´=k(x1 , x2 , x3 ).∂t∂x∂xlll=13c(x1 , x2 , x3 )ρ(x1 , x2 , x3 )Если тело однородно, то-есть c(x1 , x2 , x3 ) ≡ const, k(x1 , x2 , x3 ) ≡ const,ρ(x1 , x2 , x3 ) ≡ const, то3cρ ∂u X ∂ 2 u=k ∂t∂x2ll=1и, обозначая t0 =kt, имеем, обозначая t0 опять через t,cρ3∂u X ∂ 2 u=.2∂t∂xll=1Но решений этого уравнения бесконечно много.

Чтобы выделитькакое-нибудь одно из них, нужно задавать дополнительные условия. Такими условиями являются начальные и краевые условия. Если задатьначальное распределение температуры при t = t0 и тепловой режим награнице, то решение определится при t > t0 уже однозначно. Приведёмпримеры краевых условий, задаваемых на границе S.I. Пусть задано распределение температуры u1 (t, x1 , x2 , x3 ) = u1 (t, ~x)снаружи тела. Тогда количество тепла, проходящего через кусок границы ∆S за промежуток ∆t равно ∆Q ≈ k1 (x1 , x2 , x3 )[u1 (t, ~x)−u(t, ~x)]∆S∆t.Чтобы тепло не скапливалось на границе, нужно, чтобы это тепло про∂u∂u=ходило внутрь тела, то-есть ∆Q ≈ k(x1 , x2 , x3 ) (t, ~x)∆S∆t ⇒ k∂n∂n4¯∂u∂u¯k1 [u1 − u] ⇔ k+ k1 u = k1 u1 или k+ k1 u¯ = f , где f — заданная∂n∂nSфункция (смешанное краевое условие).¯∂u¯II. u1 (t, ~x) ≡ 0 ⇒ k+ k1 u¯ ≡ 0 (однородное смешанное краевое∂nSусловие).∂u ¯¯III.

k1 (x1 , x2 , x3 ) ≡ 0 ⇒¯ = 0 (однородное второе краевое условие).∂n SIV. Если на границе¯ S поддерживается постоянная (например, нулевая) температура, то u¯S = 0 (однородное первое краевое условие).Если область G совпадает со всем пространством R3 , то граничныхусловий задавать не нужно — решение будет существовать при любыхначальных условиях при условии, что они ограничены. В этом случаерешение будет единственным в классе ограниченных функций.Пример 2. Предположим, что в предыдущем примере температура телапри одном из условий I–IV при t → +∞ установилась. Тогда очевидно,что предельное распределение температуры не зависит от t, поэтому оноудовлетворяет уравнению33XX∂ ³ ∂u ´∂2uk= 0 или= 0 (в случае k = const).∂xl ∂xl∂x2ll=1l=15Лекция IIПримеры уравнений математической физики(продолжение)Пример 3. Пусть упругая мембрана в состоянии покоя занимает областьG на плоскости Ox1 x2 и при воздействии силой f (x1 , x2 )∆x1 ∆x2 изогнулась по форме u = u(x1 , x2 ) (считаем, что точки мембраны перемещаютсятолько по вертикали и справедливо предположение о малости перемеще∂u ∂uний, то-есть u и,малы).

Составим уравнение на функцию u,∂x1 ∂x2воспользовавшись тем, что работа, потраченная на растяжение малойчасти мембраны, пропорциональна изменению площади этого кусочка.Коэффициент пропорциональности обозначим T (натяжение мембраны): ∆A = T ∆S.Тогда работа сил натяжения мембраны будетZ Z hqi002021 + (ux1 ) + (ux2 ) − 1 T dx1 dx2A =−G(минус, потому что работа внешних сил, действующих на кусочек мембраны, проектирующийся на элементарный прямоугольник ∆x1 ∆x2 , равна по величине и противоположна по знаку работе, совершаемой внутренними силами кусочка мембраны). Работа силы f будетZZ00A =f u dx1 dx2 .GПоэтому вся работа, совершаемая силами, будетZZq000A=A +A =[f u − T 1 + (u0x1 )2 + (u0x2 )2 + T ] dx1 dx2 .GСогласно принципу возможных перемещений вариационная производнаяэтого выражения должна быть равной нулю, если u — это положение6установившегося равновесия.

Для этого придадим u возможное перемещение δuZZδA ≈[f δu − T (u0x1 δu0x1 + u0x2 δu0x2 )] dx1 dx2G(мы воспользовались малостью перемещений, когда после взятия вариационной производной заменили корни на близкое им значение 1).Так как условия на u накладываются обычно на границе, то δu награнице должны быть нулевыми (вместе с производными по x1 и x2 ).Предположим, что границей области G является кусочно-гладкая криваяL, так что в слагаемых с T можно проинтегрировать по частям:ZZ hZ∂u∂ ³ 0 ´∂ ³ 0 ´ if δu+T ux1 δu+T ux2 δu dx1 dx2 =δA ≈ − T δu ds+∂n∂x1∂x2LZZ h G∂ ³ ∂u ´∂ ³ ∂u ´i=f+T+δu dx1 dx2 = 0. (II.1)∂x1∂x1∂x2 ∂x2GТак как δu может принимать любые значения внутри G, то∂ ³ ∂u ´∂ ³ ∂u ´f+T+= 0 или∂x1∂x1∂x2 ∂x22X∂ ³ ∂u ´T+f =0∂x∂xkkk=1(II.2)Если T ≡ const, то это уравнение называют уравнением Пуассона.Если f ≡ 0, то уравнение Пуассона становится уравнением Лапласа, рассмотренным выше (пример 2).

Так же, как и для уравнения теплопроводности, ¯на границе мембраны можно задавать разные краевые условия.I. u¯L = ϕ (ϕ — заданная функция на границе) — «закреплённая»мембрана. Такая задача называется задачей Дирихле или первой краевойзадачей для уравнения Пуассона (или Лапласа).∂u ¯¯II.¯ = 0 — «свободная» мембрана, то-есть края мембраны сво∂n Lбодно, без трения, перемещаются в вертикальном направлении.

Действительно, если мы не накладываем никаких ограничений на край мембраны, то δu могут быть произвольными как внутри области, так и на границе L. Поэтому линейный интеграл в выражении (II.1) при любых δu∂u ¯¯даёт нам¯ = 0.∂n LIII. Если на границу действует линейно распределенная силаf1 (x1 , x2 )∆s, то в линейном интеграле из (II.1) к подынтегральному выражению нужно прибавить f1 δu, и поэтому граничное условие будет7¯∂u¯T− f1 ¯ = 0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций