А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Пусть u1 (t, x) и u2 (t, x) — два решения задачи2∂u2∂ u=a ∂t2∂x¯¯u¯x=0 = u¯x=l = 0 u¯¯ = ϕ(x).t=0Тогдаu(t, x)уравнению (XIV.1) и¯¯ = u¯ 1 (t, x) − u2 (t, x) удовлетворяет¯¯¯¯¯u x=0 = u x=l = t=0 = 0, то-есть u Γ = 0. По принципу максимумаTmax u(t, x) = max u(t, x) = 0 и аналогично min u(t, x) = min u(t, x) = 0ЦTΓTΓTЦT⇒ u(t, x) ≡ 0 в ЦT .Следствие 3 (непрерывная зависимость). Если |u1 − u2 | < ε при(t, x) ∈ ΓT и u1 , u2 — решения (XIV.1), непрерывные на ЦT , то |u1 −u2 | <ε и в ЦT .Доказательство. Опять u = u1 − u2 и max u = max u < ε и min u =ЦTΓtЦTmin u > −ε ⇒ |u| < ε ⇒ |u1 − u2 | < ε в ЦT .ΓTМетод Фурье решения уравнения теплопроводностиРассмотрим I краевую задачу с однородными краевыми условиями2∂u2∂ u=a ∂t2∂x¯¯¯¯= u x=l = 0u ¯x=0 u¯ = ϕ(x).t=0и предположим ϕ ∈ Cl2 (R) и ϕ(0) = ϕ(l) = 0.I.

Сначала ищем решения в виде u(t, x) = T (t)X(x) ⇒ разделяя пеX 00 (x)T 0 (t)== λ ≡ const ⇒ опять существует счетременные, видим 2a T (t)X(x)πkxная система собственных функций Xk (x) = sin, Xk (0) = Xk (l) = 0,l80³ πak ´2³ πka ´2и λk = −→ −∞ при k → ∞. Далее, Tk0 (t) = −Tk (t) ⇒l2 2 2lπ a kTk (t) = ck e− l2 t .II. Теперь ищем разложение по только что найденным решениямu(t, x) =∞Xk=1¯u¯t=0uk (t, x) =∞Xck e−π 2 a2 k2tl2sink=1∞Pπkx2=ck sin= ϕ(x) ⇒ ck =llk=1Zlϕ(x) sinπkx,lπkxdx — коэффициl0πkxенты Фурье ϕ(x) по sin. Так как ϕ ∈ Cl2 (R) и ϕ(0) = ϕ(l) = 0 ⇒l³1´ck = O 2 ⇒ ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно при t > 0 иkx ∈ [0, l] ⇒∞Xπ 2 a2 k2πkxck e− l2 t sinu(t, x) =∈ C(ЦT ).lk=1Внутри ЦT ряд можно дифференцировать по t и по x два раза и оностанется равномерно сходящимся в области t > t0 , где t0 > 0 ⇒ егосумма дифференцируема и удовлетворяет уравнению (XIV.1), так каккаждое его слагаемое uk (t, x) ему удовлетворяет.Следствие 4.

I краевая задача для уравнения теплопроводности в прямоугольнике ЦT поставлена корректно в классе дважды дифференцируемых l-периодических начальных данных.Замечание 2. Хотя у u(t, x) предполагалось только существование∂uи∂t∂ 2u, внутри ЦT она оказывается ∞-дифферецируемой (и даже аналити∂x2πka 2ческой) из-за множителей e−( l ) t .Замечание 3. Решение не продолжается, вообще говоря, в область t < 0(иначе на t = 0 решение было бы по замечанию 2 ∞-дифференцируемо,что противоречит тому, что ϕ только из Cl2 (R)).Задача Коши для уравнения распространения тепла вбесконечном стержнеТеперь займемся решением уравнения в области ПT : −∞ < x < +∞,0 < t < T (полоса). Здесь, вообще говоря, неединственность.81Теорема 2 (единственности).

Пусть u(t, x) — ограниченное и непрерывное при 0 6 t 6 T , −∞ < x < +∞ решение (XIV.1) в ПT . Тогда еслиu(0, x) = 0 ⇒ u(t, x) ≡ 0 при (t, x) ∈ ПT = [0, T ] × R.³Доказательство. Для любого ε > 0 рассмотрим v(t, x) = u(t, x)−ε ta2 +x2 ´. Так как u — ограничена, |u(t, x)| < M , то существует x0 (ε) > 0, что2pv(t, ±x0 ) 6 0 при всех 0 6 t 6 T (можно взять, например, x0 = M/ε).Кроме того, v(0, x) 6 0 при −x0 6 x 6 x0 . По принципу максимума³x2 ´2v(t, x) 6 0 при всех 0 6 t 6 T и |x| 6 x0 ⇒ u(t, x) 6 ε a t +при всех20 6 t 6 T и −x0 6 x 6 x0 . Так как неравенство выполнено для любогоε > 0 и область при ε ↓ 0+ расширяется до всей полосы ПT , то отсюдаследует, что u(t, x) 6 0 при всех (t, x) ∈ ПT .

Аналогично показывается,что u(t, x) > 0 в ПT .Следствие 5 (непрерывная зависимость). Если |ϕ(x)| < δ, x ∈ R,и u(t, x) — ограниченное непрерывное в ПT решение (XIV.1) в ПT с начальными данными u(0, x) = ϕ(x), то |u(t, x)| < δ при всех (t, x) ∈ ПT .³x2 ´Доказательство. Доказываем так же, как и !, только вместо ε ta2 +2³2´xнужно взять ε ta2 ++ δ ⇒ все получится.2Список литературы[1] И.

Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными.М.–Л.: ГИТТЛ, 1950. — 303 стр.[2] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы ТФФА. М.: Наука, 1976. —544 стр.[3] И. И. Привалов. Матем. сб. Т. XXXII, 1926, стр. 464.82.

Характеристики

Список файлов лекций