А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В эту формулу можно подставлять ϕ0 ∈ C 1 (G0 ) и ϕ1 ∈C(G0 ), но тогда решения понимаются в обобщенном смысле.46Формула ПуассонаПусть ϕ(x1 , x2 , x3 ) = ϕ(x1 , x2 ) не зависит от переменной x3 ⇒ZZ1uϕ (t, x1 , x2 ) =ϕ(y1 , y2 ) dSt (~y ).4πtSt (~x)St (~x) = {(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + (y3 − x3 )2 = t2 } ⇔ y3 = x3 ±pt2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 ⇒ элемент поверхности dSt (y1 , y2 ) =sSt(x1,x2,x3)Kt(x1,x2)2⇒ uϕ (t, x1 , x2 ) =4π³´2y 1 − x1p= 1+ ∓+t2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2´2³y2 − x2dy1 dy2 =+ ∓pt2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2t dy1 dy2=pt2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2ZZKt (x1 ,x2 )pϕ(y1 , y2 ) dy1 dy2=t2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2ZZ1ϕ(y1 , y2 ) dy1 dy2p=22πt − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2Kt (x1 ,x2 )∂ 2u∂ 2u ∂ 2u(интеграл несобственный!) ⇒ задача Коши для=+ 2 с на∂t2∂x21∂x2¯¯∂u¯чальными условиями u¯t=0 = ϕ0 (x1 , x2 ),= ϕ1 (x1 , x2 ) имеет реше¯∂t t=0ниеZZ1ϕ1 (y1 , y2 ) dy1 dy2pu(t, x1 , x2 ) =+2πt2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2Kt (x1 ,x2 )(формулаZZ³´Пуассона)∂ 1ϕ0 (y1 , y2 ) dy1 dy2p+,∂t 2πt2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2Kt (x1 ,x2 )в старых предположениях ϕ0 ∈ C 3 (G0 ), ϕ1 ∈ C 2 (G0 ).47Лекция IXФормула Д’Аламбера (другой вывод)Пусть теперь ϕ(x1 , x2 , x3 ) = ϕ(x1 ) зависит только от x1 .)St(x1)=2Bt)x1(òî÷íàÿ ⇒ dS (x )t 2 1ô-ëà!)∂ ux1x1-tx1+)x1 x1+t x 11u(t, x1 ) =4πt= 2πtdx1 ⇒ задача Ко∂ 2u 2 = 2 , x1 ∈ G0 ,∂x1∂tшиимеет реше¯¯∂u¯ u¯ = ϕ 0 , ¯ = ϕ 1t=0∂t t=0ние, представленное в следующем видеxZ1 +t∂³ 1ϕ1 (y1 )2πt dy1 +∂t 4πtx1 −t=12xZ1 +tϕ1 (y1 ) dy1 +xZ1 +t´ϕ0 (y1 )2πt dy1 =x1 −t¤1£ϕ0 (x1 + t) + ϕ0 (x1 − t) (формула Д’Аламбера),2x1 −tоднако при более сильных, чем приведенные в лекции Л V, условияхϕ1 ∈ C 2 (G0 ), ϕ0 ∈ C 3 (G0 ).Замечание.
Такой способ выведения формул решения в низших размерностях из формул для высших размерностей называется методом спуска.Исследование формул решения волнового уравненияI n = 1. В формуле Д’Аламбера не участвуют производные ⇒ из малостиϕ0 и ϕ1 следует малость решения u(t, x) (при ограниченных t).В случае n = 2 и n = 3 это неверно — из малости ϕ0 и ϕ1 не вытекает,вообще говоря, малость u(t, ~x) даже при сколь угодно малых заданныхt > 0 — функции ϕ0 и ϕ1 могут быть сколь угодно малыми, а решениеu(t, ~x) — сколь угодно большим (из-за производных ϕ0 ).II n = 3. Пусть ϕ0 и ϕ1 отличны от нуля только в ε-окрестности начала координат.
Где будет ненулевым решение u(t, ~x)? Так как в формулеучаствует интеграл по сфере St (~x),48то там, где сфера пересекает ε-окрестность точки ~0 — вшаровом слое с центром в точке ~0 и внутренним-внешнимрадиусами t − ε и t + ε. Таким образом, пущенная волнаx2разбегаетсясо скоростью 1 от центра внутри разбегаюt+ggx1щегося слоя ширины 2ε. Не распыляется.III n = 2.
Опять, если ϕ0 и ϕ1 ненулевые только в ε-окрестности точки(0, 0), то так как интеграл берется по кругу Kt (x1 , x2 ), то u(t, x1 , x2 ) будетненулевым в круге радиуса t + ε. Площадь волны расширяется, занимаявсю плоскость. Распыление. Диффузия волн. Если нарисовать профиль2gt-gx3волны по радиусу, то у нее в момент времени t будетt+g резкий передний фронт и размытый «размазанный»r0 r задний фронт (хотя «хвост» и стремится к нулю).0В случае n = 3 диффузии не происходит (волна проходит через точкуи потом решение опять нулевое при t > T (~x, ε) = |~x| + ε).Единственность решения волнового уравненияТеорема 1. Пусть функция u ∈ C 1 (K), где K — конус с вершинойв точке (t∗ , x01 , x02 ), осью, параллельной Ot, и образующей, составляющей угол 45◦ с осью, и основание которого лежит в плоскости t = t0(круг радиуса |t∗ − t0 |), которая внутри K удовлетворяет уравнению∂ 2u∂ 2u∂2u=+(в частности, внутри K u дважды непрерывно∂t2∂x21∂x22дифференцируема).
Тогда u(t, ~x) внутри K однозначно определяется∂uсвоими значениями (и значениями) на основании конуса.∂tt=t*K45°n6t=t0x1,x2Конус K называют характеристическим,так как его нормаль ~n = (ξ0 , ξ1 , ξ2 ) удовлетворяет характеристическому уравнениюξ02 − ξ12 − ξ22 = 0. Из всей теоремы главноезапомнить, что значения внутри характеристического конуса полностью определяютсяпо значениям на основании конуса.Доказательство. Без ограничения общности считаем t∗ > t0 , как показано на картинке. Пусть u1 (t, ~x) и u2 (t, ~x) — два решения волновогоуравнения с одними и теми же начальными условиями uk (0, ~x) = ϕ0 (~x),∂uk ¡ ¢0, ~x = ϕ1 (~x), k = 1, 2, ~x ∈ основанию конуса.
Рассмотрим u(t, ~x) =∂t∂u ¡ ¢0, ~x = 0, ~x ∈ основанию конуса.u1 (t, ~x) − u2 (t, ~x) ⇒ u(0, ~x) = 0,∂t49Рассмотрим интеграл (вообще говоря, несобственный)ZZZ∂u ³ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ´−−dtdx1 dx2 ,∂t {z∂t2} ∂x21 ∂x22|K¡ ¢1 ∂ ∂u 22 ∂tа два остальныхОстроградскогоZZZK∂tслагаемых∂u ∂ 2 udtdx1 dx2 =∂t ∂x2kZZ∂KпреобразуемпоформулеГаусса–∂u ∂ucos(~n, xk ) dS−∂t ∂xkZZZ∂ 2 u ∂u−dtdx1 dx2 ,∂xk ∂t ∂xk| {z }K¡ ∂u ¢21 ∂2 ∂t ∂xkгде ~n — внешняя нормаль к поверхности конуса, cos(~n, xk ) — направляющие косинусы для ~n и мы воспользовались следствием формулы Гаусса–ОстроградскогоZZZZZZZZ∂v∂uudx1 dx2 dx3 =uv cos(~n, xk ) dS −v dx1 dx2 dx3 ,∂xk∂xkVSVu и v — непрерывно-дифференцируемы внутри области V , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью S, и u, v — непрерывны в замкнутойобласти V (формула интегрирования по частям).ТогдаZZZ0≡K∂u ³ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ´− 2 − 2 dtdx1 dx2 =∂t ∂t2∂x1 ∂x2ZZ hi∂u ∂u∂u ∂u=−cos(~n, x1 ) +cos(~n, x2 ) dS+∂t ∂x1∂t ∂x2∂KZZZ1∂ h³ ∂u ´2 ³ ∂u ´2 ³ ∂u ´2 i+++dtdx1 dx2 .2∂t ∂t∂x1∂x2KПоследний интеграл запишем в виде повторного по t√Z Z h³ ´2 ³∂u∂u ´2 ³ ∂u ´2 i¯¯t=t∗ − (x1 −x01 )2 +(x2 −x02 )21++dx1 dx2 ,¯2∂t∂x1∂x2t=t0∂Kосн50а в первом заметим, что интеграл по основанию ∂Kосн равен нулю, так∂uкак= 0 при t = t0 .
И во втором преобразованном интеграле при∂t∂ut = t0 значения подынтегральной функции равны нулю, так как=0∂t∂u∂u=0и= 0).при t = t0 и u = 0 при t = t0 (⇒∂x1∂x2Следовательно,ZZi∂u∂u h ∂u0≡−cos(~n, x1 ) +cos(~n, x2 ) dSбок +∂t ∂x1∂x2∂KбокZ Z h³ ´2 ³1∂u∂u ´2 ³ ∂u ´2 i¯¯+++dx1 dx2 .¯ ∗ √2∂t∂x1∂x2t=t − (x1 −x01 )2 +(x2 −x02 )2∂Kоснp√Заметим, что dSбок = 2 dx1 dx2 , а t = t∗ − (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 —находится на ∂Kбок и, кроме того (в силу того, что боковая поверхность1конуса наклонена под углом 45◦ ), cos2 (~n, t) = cos2 (~n, x1 ) + cos2 (~n, x2 ) =2⇒ все выражение преобразуется к видуZ Z h ³ ´2 21 ∂u cos (~n, x1 ) 1 ³ ∂u ´2 cos2 (~n, x2 ) ∂u ∂u0≡+−cos(~n, x1 )−2 ∂tcos(~n, t)2 ∂tcos(~n, t)∂t ∂x1∂Kбок³ ∂u ´2³ ∂u ´2i∂u ∂u−cos(~n, x2 ) +cos(~n, t) +cos(~n, t) dSбок =∂t ∂x2∂x1∂x2ZZh³´³21∂u cos(~n, x1 ) ∂u∂u cos(~n, x2 ) ∂u ´2 i=cos(~n, t)−−dSбок .+2∂t cos(~n, t) ∂x1∂t cos(~n, t) ∂x2∂KбокТак как все функции под знаком интеграла — непрерывны на ∂Kбок иподынтегральное выражение неотрицательно ⇒∂u cos(~n, x1 )∂u∂u cos(~n, x2 )∂u−≡0 и−≡0∂t cos(~n, x2 ) ∂x1∂t cos(~n, t)∂x2на ∂Kбок ⇔∂u∂u∂u∂x1∂x2∂t=== λ.cos(~n, t)cos(~n, x1 )cos(~n, x2 )Если вектор m~ направлен по образующей конуса, то m~=(− cos(~n, t), cos(~n, x1 ), cos(~n, x2 )) ⇒∂u∂u∂u∂u= − cos(~n, t) +cos(~n, x1 ) +cos(~n, x2 ) =∂m~∂t∂x1∂x2¡¢= λ − cos2 (~n, t) + cos2 (~n, x1 ) + cos2 (~n, x2 ) = 051∂u(то же самое другими словами — m~ ⊥ ~n, а grad u k ~n и= (grad u, m))~∂m~⇒ u — постоянна вдоль образующих конуса и так как наt*основании конуса u = 0, то ⇒ u в вершине конуса тоже= 0.
Так как в качестве конуса можно взять любой харак6mтеристический конус с вершиной внутри K, то u = 0 всюдувнутри K ⇒ u1 (t, ~x) ≡ u2 (t, ~x) внутри K.Итак, доказано, что любое решение задачи Коши для волнового уравнения однозначно определяется формулами, данными на прошлой лекции (и частично на сегодняшней) в области G = {(t, ~x) | K|t| (~x) ⊂ G0 }.Докажем еще непрерывную зависимость от начальных данных.Непрерывная зависимость от начальных условийТеорема 2. Пусть T > 0 — фиксировано и u1 (t, ~x), u2 (t, ~x) — реше(k)ния волнового уравнения с начальными условиями uk (0, ~x) = ϕ0 (~x) и∂uk ¡ ¢(k)0, ~x = ϕ1 (~x), k = 1, 2, в области GT = {(t, ~x) | |t| 6 T, K|t| (~x) ⊂∂t(1)(2)(1)(2)G0 }.
Тогда ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | |ϕ0 (~x) − ϕ0 (~x)| < δ, |ϕ1 (~x) − ϕ1 (~x)| <(1)(2)δ и, кроме того, | grad ϕ0 (~x) − grad ϕ0 (~x)| < δ при ~x ∈ G0 , то|u1 (t, ~x) − u2 (t, ~x)| < ε ∀ (t, ~x) ∈ GT .Доказательство. Рассмотрим u = u1 − u2 — удовлетворяет задаче Коши∂u ¡ ¢(1)(2)с начальными условиями u(0, ~x) = ϕ0 (~x) = ϕ0 (~x) − ϕ0 (~x)0, ~x =∂t(1)(2)ϕ1 (~x) = ϕ1 (~x) − ϕ1 (~x) ⇒ по формуле КирхгофаZZ1u(t, ~x) =4πt2ϕ0 (~y ) dSt (~y )+St (~x)1+4πtZZZZ1~(grad ϕ0 , ξ ) dSt (~y ) +ϕ1 (~y ) dSt (~y )4πt↑S (~x)S (~x)t⇒ |u(t, ~x)| <Если взять δ =единичная нормаль кSt (~x)t11122δ4πt+δ4πt+δ 4πt2 6 δ(1 + 2T ).4πt24πt4πtε, то получаем наше утверждение.1 + 2T52Лекция XКомментарии к полученным теоремамСледствие (всех трёх теорем).
Задача Коши для волнового уравненияв случае n = 3 поставлена корректно в классе функций ϕ0 ∈ C 3 (G0 ),ϕ1 ∈ C 2 (G0 ), причем непрерывная зависимость имеет место по ϕ0 ипроизводным ϕ0 и по значениям ϕ1 .Замечание 1. Если ϕ0 и ϕ1 не зависят от x3 , или от x2 и x3 , получаемкорректность в случае n = 2 и n = 1.Замечание 2. Аналогичные формулам Д’Аламбера, Пуассона и Кирхгофа формулы можно получить и в случае произвольного числаh переменniных n ∈ N, причем корректность опять имеет место с L1 =+2 и2hni.L2 =2n = 1 L1 = 2 L2 = 0 n = 2 L1 = 3 L2 = 1— всё верноn = 3 L1 = 3 L2 = 1Следствие 2.
Решение задачи Коши можно определить и для любыхϕ0 ∈ C 1 (G0 ) и ϕ1 ∈ C 0 (G). Для этого нужно рассмотреть приближе(l)ния ϕ0 гладкими функциями ϕ0 ∈ C 3 (G0 ), так чтобы grad ϕ0 прибли(l)жался функциями grad ϕ0 , и приближения (равномерные) функции ϕ1(l)функциями ϕ1 класса C 2 (G0 ) ⇒ в силу корректности соответствующие им классические решения u(l) (t, ~x) ⇒ u(t, ~x) — обобщенное решениеGTзадачи, равное формуле Кирхгофа (или Пуассона или Д’Аламбера в случае меньшего числа переменных).Метод Фурье для уравнения гиперболического типаОбщее рассмотрениеРассмотрим задачуA(t)∂ 2u∂ 2u∂u∂u+C(x)+ D(t)+ E(x)+ [F1 (t) + F2 (x)]u = 022∂t∂x∂t∂x53(X.1)с начальными условиямиu(0, x) = ϕ0 (x),∂u ¡ ¢0, x = ϕ1 (x)∂t(X.2)и краевыми условиямиA0 u(t, 0) + B0∂u ¡ ¢t, 0 = 0,∂xA1 u(t, l) + B1∂u ¡ ¢t, l = 0.∂x(X.3)Решение ищем при 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T .
Числовые коэффициенты(A20 + B02 )(A21 + B12 ) 6= 0, функции A(t) > a0 > 0 и C(x) 6 c0 < 0,коэффициенты A, C, D, E, F1 , F2 — достаточно гладкие (потом выяснимдо какой степени). Метод Фурье состоит из двух частей.I. Разделение переменных. Ищем решение в видеu(t, x) = T (t)X(x),T ∈ C 2 [0, T ],X ∈ C 2 [0, l],причем потребуем от T и X выполнения следующих двух условий:а) u(t, x) — нетривиальное решение (X.1);б) u(t, x) удовлетворяет краевым условиям (X.3).а) подставляем ⇒A(t)T 00 (t)X(x) + C(x)T (t)X 00 (x) + D(t)T 0 (t)X(x) + E(x)T (t)X 0 (x)++ [F1 (t) + F2 (x)]T (t)X(x) = 0.Собираем отдельно слагаемые с T (t) и X(x):X(x)[A(t)T 00 (t) + D(t)T 0 (t) + F1 (t)T (t)] == −T (t)[C(x)X 00 (x) + E(x)X 0 (x) + F2 (x)X(x)].Так как T (t) 6≡ 0, то ∃ t0 ∈ [0, T ] | T (t0 ) 6= 0 ⇒ подставляя t = t0 и деляна T (t0 ), имеемC(x)X 00 (x) + E(x)X 0 (x) + F2 (x)X(x) =A(t0 )T 00 (t0 ) + D(t0 )T 0 (t0 ) + F1 (t0 )T (t0 )=−X(x)T (t0 )|{z}λ1илиC(x)X 00 (x) + E(x)X 0 (x) + F2 (x)X(x) = λ1 X(x),54где λ1 — число и X(x) 6≡ 0.Так как X(x) 6≡ 0, то ∃ x0 ∈ [0, l] | X(x0 ) 6= 0 ⇒ подставляя x = x0 иделя на X(x0 ), имеемA(t)T 00 (t) + D(t)T 0 (t) + F1 (t)T (t) =C(x0 )X 00 (x0 ) + E(x0 )X 0 (x0 ) + F2 (x0 )X(x0 )=−T (t)X(x0 )|{z}λ2илиA(t)T 00 (t) + D(t)T 0 (t) + F1 (t)T (t) = −λ2 T (t),λ2 — число, T (t) 6≡ 0.Подставляя одновременно x = x0 и t = t0 , видим, что λ1 = −λ2 = λ⇒ получаем два уравненияA(t)T 00 (t) + D(t)T 0 (t) + F1 (t)T (t) + λT (t) = 0C(x)X 00 (x) + E(x)X 0 (x) + F2 (x)X(x) − λX(x) = 0(X.40 )(X.400 )б) Подставим u(t, x) в (X.3) ⇒ A0 T (t)X(0) + B0 T (t)X 0 (0)A1 T (t)X(l) + B1 T (t)X 0 (l) = 0 ∀ t ∈ [0, T ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
