А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как T (t) 6≡ 0 ⇒A0 X(0) + B0 X 0 (0) = 0 и A1 X(l) + B1 X 0 (l) = 0.=(X.4)Задача нахождения значений λ, при которых (X.400 ) с краевыми условиями (X.4) имеет нетривиальные решение, называется задачей на собственные значения. Сами нетривиальные решения X(x) называются собственными функциями, а λ — собственными значениями этой задачи.Про эту задачу известно следующее: если коэффициенты непрерывнодифференцируемы, причем C(x) 6 c0 < 0, то существует счетное числособственных значений λ1 , λ2 , . . . , λk → +∞ (спектр задачи), а соответствующие им собственные функции X1 (x), X2 (x), . .
. , Xk (x), . . . образуютполную ортогональную систему с некоторым весом ρ(x) > 0 (определяемым функциями C(x) и E(x)) в пространстве функций с интегрируемымквадратом на [0, l]. То-есть ∀ ϕ ∈ L2 [0, l]ϕ(x) =∞Xk=1ck Xk (x),1где ck =lkZlϕ(x)Xk (x)ρ(x) dx,0ZlXk2 (x)ρ(x) dx, причем сходимость ряда понимается в среднема lk =055квадратическом:Zl hni2Xϕ(x) −ck Xk (x) ρ(x) dx → 0 при n → ∞.k=10II. Метод Фурье.
Подберем для каждого λk такие Tk∗ (t) и Tk∗∗ (t), чтобыони удовлетворяли уравнениюA(t)Tk00 (t) + D(t)Tk0 (t) + F1 (t)Tk (t) + λk Tk (t) = 0⇒ ФСР и всегда можно подобрать такие комбинации ФСР, чтобы½ ∗Tk (0) = 1, (Tk∗ )0 (0) = 0Tk∗∗ (0) = 0, (Tk∗∗ )0 (0) = 1и будем искать решение гиперболического уравнения в видеu(t, x) =∞Xk=1uk (t, x) =∞XXk (x)[ak Tk∗ (t) + bk Tk∗∗ (t)],k=1где ak , bk — неопределенные коэффициенты. Подставляем t = 0 ⇒∞PXk (x)ak = ϕ0 (x) ⇒ ak — коэффициенты Фурье ϕ0 по системе Xk (x).k=1∞∂ ¯¯∂u ¡ ¢ P0, x =Xk (x)bk = ϕ1 (x) ⇒ bk — коэффициенты ϕ1 (x) по⇒¯∂t t=0∂tk=1Xk (x).
Поэтому если ряды Фурье для ϕ0 (x) и ϕ1 (x) сходятся равномернои абсолютно, то выполняются начальные и краевые условия, а если ряддля u(t, x) можно дифференцировать два раза по t и по x (то-есть ряды∂ 2u ¡ ¢ ∂ 2u ¡ ¢для u(t, x), 2 t, x иt, x сходятся равномерно) в прямоугольнике∂t∂x2[0, T ] × [0, l], то и уравнению (X.1), так как этому уравнению удовлетворяет каждое слагаемое uk (t, x) (согласно первой части метода Фурье).Приведем для конкретности теорему сходимости разложения по собственным функциям.Теорема. Если ϕ(x) — квадратично-интегрируема и кусочно-непрерывна (то-есть имеет конечное число точек разрыва) на [0, l], то ряд Фурьеϕ(x) по Xk (x) сходится в среднем квадратическом.
А если ϕ ∈ C 1 [0, l] иϕ(0) = ϕ(l) = 0 (рассматриваем I краевое условие), то и равномерно на[0, l].Простейшие свойства собственных функций и значений56Замечание. Общая задача (X.400 ) сводится умножением на некоторую подобранную ρ(x) к задаче[p(x)X 0 (x)]0 − q(x)X(x) + λρ(x)X(x) = 0,(X.5)где p ∈ C 1 [0, l], q ∈ C[0, l], p(x) > p0 > 0.
Действительно, из (X.400 )получаем−ρ(x)C(x)X 00 (x) − ρ(x)E(x)X 0 (x) − F2 (x)ρ(x)X(x) + λρ(x)X(x) = 0,а должно бытьp(x)X 00 (x) + p0 (x)X 0 (x) − q(x)X(x) + λρ(x)X(x) = 0,(X.50 )то-есть p(x) = −ρ(x)C(x), p0 (x) = −ρ(x)E(x), −q(x) = −F2 (x)ρ(x) ⇒RxE(ξ)dξC(ξ)p (x)E(x)=⇐ p(x) = e 0⇒p(x)C(x)Rx E(ξ)Rxdξ1 0 C(ξ)F2 (x) 0⇒ ρ(x) = −e> 0, q(x) = −eC(x)C(x)0E(ξ)C(ξ)dξ,и чтобы p(x) ∈ C 1 [0, l], нужно, чтобы E, C ∈ C[0, l], C(x) 6 c0 < 0, а дляq(x) ∈ C[0, l] нужно F2 ∈ C[0, l].Теорема 1 (простота спектра). Если X1 (x) и X2 (x) — две собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению λ, то X1 и X2 пропорциональны.Доказательство.Пусть X1 и X2 линейно независимы ⇒ W (X1 , X2 ) =¯¯¯ X1 X2 ¯¯¯¯ X 0 X 0 ¯ 6= 0 ∀ x ∈ [0, l].
Но X1 и X2 удовлетворяют, например, при12x = 0 одному и тому же краевому условию A0 X1 (0) + B0 X10 (0) = 0 иA0 X2 (0)+B0 X20 (0) = 0 ⇒ строки W (X1 , X2 ) зависимы, противоречие.Теорема 2 (ортогональность). Если X1 и X2 — собственные функции, соответствующие разным собственным значениям λ1 и λ2 , λ1 6=λ2 , то X1 и X2 ортогональны с весом ρ(x).Доказательство. Напишем коротко (X.5) для X1 и X2 :[pX10 ]0 − qX1 + λ1 ρX1 = 0[pX20 ]0 − qX2 + λ2 ρX2 = 0Умножим первое на X2 ,второе на X1 и вычтем57⇒ (λ1 − λ2 )ρ(x)X1 (x)X2 (x) = −X2 (x)[p(x)X10 (x)]0 + X1 (x)[p(x)X20 (x)]0 ипроинтегрируем справа и слева с интегрированием по частям ⇒Zl(λ1 − λ2 )¯l¯ρ(x)X1 (x)X2 (x) dx = [−X2 (x)X10 (x) + X1 (x)X20 (x)]p(x)¯ +00ZlZlX20 (x)p(x)X10 (x) dx+X10 (x)p(x)X2 (x) dx =−00¯l¯= p(x)W (X1 , X2 )¯ .0Но у X1 и X2 в точках x = 0 и x = l выполняются одни и те жекраевые условия ⇒ W (X1 , X2 ) = 0 при x = 0 и x = l ⇒ (λ1 6= λ2 )Zlρ(x)X1 (x)X2 (x) dx = 0.0Теорема 3 (полнота).
Для любой кусочно-непрерывной функции ϕ(x)(то-есть, имеющей конечное число точек разрыва) с интегрируемымквадратом на [0, l] справедливоZlNhi2Xρ(x) ϕ(x) −cn Xn (x) dx → 0,n=10гдеZlcn =ρ(x)ϕ(x)Xn (x) dx0(здесь Xn (x) — нормированы:Zlρ(x)Xn2 (x) dx = 1!)058N → ∞,Лекция XIЗамечание к методу ФурьеПусть задан линейный оператор L[X] = [pX 0 ]0 − qX, p ∈ C 1 [0, l], q ∈C[0, l], p(x) > p0 > 0, на линейном пространстве X(0) = X(l) = 0, X ∈C 2 [0, l]. Обратный оператор к этому оператору записывается в видеZlL−1 [f ] =G(x, s)f (s) ds,0где G(x, s) — функция Грина оператора L, определяемая свойствами1) G(x, s) — непрерывна на [0, l] × [0, l];2) G(x, s) ∈ Cx2 при x 6= s и G0x (x, s) имеет скачок 1/p(s) в x = s;3) Lx [G(x, s)] = 0 при x 6= s;4) G(0, s) = G(l, s) = 0.Доказывается, что функция Грина обладает свойством симметричностиG(x, s) = G(s, x) (относительно этого и других свойств см.
[1, гл. 2 §24]).Тогда задача на собственные значения L[X] + λρ(x)X(x) = 0 можетбыть переписана (применяя L−1 ) в видеZlX(x) + λG(x, s)ρ(s)X(s) ds = 00или, если λ 6= 0 (что будет, например, в случае q(x) > 0), тоZl1G(x, s)ρ(s)X(s) ds = − X(x)λ0— почти собственные значения интегрального оператора,но вес ρ(s)pвходитpнесимметрично. Симметризуем: Y (x) =ρ(x)X(x), K(x, s) =G(x, s) ρ(x)ρ(s) ⇒Zl1K(x, s)Y (s) ds = − Y (x)λ0591⇒ Y (x) — собственный вектор, а − — собственное значение интегральλного оператора. К такого типа операторам применима следующая теорема, доказательство которой можно посмотреть, например, в книге [2].Теорема (Гильберт–Шмидт). Пусть A — симметрический компактный оператор в гильбертовом пространстве H, тогда в H существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора, причем собственные значения µn → 0 при n → ∞.В нашем случае H — пространство квадратично-интегрируемыхфункций на [0, l], операторZlK(x, s)Y (s) dsA[Y ] =0— симметрический относительно скалярного произведенияZl(Y1 , Y2 ) =Y1 (s)Y2 (s) ds,0так как K(x, s) = K(s, x), и компактный, как любой интегральный оператор.Собственные функции Yk (s) с собственными значениями µk ⇒ у наYk (s)— нормированные оршей задачи собственные функции Xk (s) = pρ(s)1тогональные с весом ρ(s), и собственные значения λk = − → +∞ приµkk → ∞, а любая функция ϕ(s) с интегрируемым квадратом раскладывается в ряд Фурье по Yk (s):ϕ(s) =∞X∞Xϕ(s)ck Xk (s)ck Yk (s) ⇒ p=ρ(s)k=1k=1kf (s)иZlck =Zlϕ(s)Yk (s) ds =0f (s)Xk (s)ρ(s) ds0— обычные формулы для коэффициентов Фурье функции f (s) по Xk (s)с весом ρ(s).Как итог обоснованию метода Фурье, приведем достаточные условиядля применения метода Фурье, принадлежащие О.
А.Олейник и ...60¯¯Теорема. Если ϕ0 ∈ C 3 [0, l], ϕ0 ¯x=0 = L[ϕ0 ]¯x=0 = 0, ϕ1 ∈ C 1 [0, l],x=lx=l¯ϕ1 ¯x=0 = 0, коэффициенты A, C, D, E, F1 , F2 — трижды непрерывноx=lдифференцируемы на [0, l] или [0, T ], A(t) > a0 > 0, C(x) 6 c0 < 0,то в прямоугольнике ЦT существует и единственная функцияu(t, x) =∞XXk (x)[ak Tk∗ (t) + bk Tk∗∗ (t)],(XI.1)k=1имеющая непрерывные производные в ЦT до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению∂2u∂ 2u∂u∂uA(t) 2 + C(x) 2 + D(t)+ E(x)+ [F1 (t) + F2 (x)]u = 0∂t∂x∂t∂x¯∂u ¯¯¯и начальным условиям u t=0 = ϕ0 ,= ϕ1 и краевым условиям¯∂t t=0¯u¯x=0 = 0.
При этом ряды, полученные дифференцированием (XI.1) по tx=lи по x до двух раз включительно, сходятся равномерно и абсолютно вЦT .Уравнения эллиптического типаСтандартным примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа∂ 2u ∂2u∂2u++...+=0∂x21 ∂x22∂x2n— этим уравнением описывается стационарное распределение температуры в трехмерном теле, ньютонов или кулонов потенциал вне распределения масс или зарядов, логарифмический потенциал, положение покояупругой мембраны, упругого трехмерного тела.Определение XI.1. Непрерывная в области G ⊆ Rn функция∂2u∂2u+...+=0u(x1 , . . .
, xn ) называется гармонической, если ∆u =∂x21∂x2nв G.pЗадача. Доказать, что функция u(~x) = f (r), r = x21 + . . . + x2n — гар1моническая в кольце r1 < |~x| < r2 ⇔ f (r) = C1 + C2 ln , n = 2, иrC2f (r) = C1 + n−2 , n > 2.rПринцип максимума61Теорема. Пусть u(~x) — гармоническая в ограниченной области G инепрерывна в G. Если u(~x) 6 M на ∂G, то u(~x) 6 M в G (max u(~x) =~x∈Gmax u(~x)).~x∈∂GДоказательство. Доказательство проведем методом И. И.
Привалова(см. [3]).Пусть u(~x0 ) > M в некоторой точке ~x0 ∈ G. Рассмотрим uε (~x) =u(~x)+ ε[(x1 − x01 )2 +. . . +(xn −x0n )2 ]. Тогда 1) ∆uε (~x) = 2nε; 2) uε (~x0 ) > M ;u(~x0 ) − Mи если выбрать 0 < ε <, где d2 = max |~x − ~x0 |2 , то uε (~x) 6∂G2d2u(~x0 ) − M 2u(~x0 ) + MM+d =< u(~x0 ), ~x ∈ ∂G ⇒ max uε (~x) = uε (~y 0 ),2d22G2¡∂uε~y 0 ) 6 0 (так как ~y 0 — точка~y 0 ∈ G — некоторая точка из G. Тогда∂x2kмаксимума) ⇒ ∆uε (~y 0 ) 6 0 — противоречие с ∆uε (~x) = 2nε.Следствие (принцип минимума). Если u ∈ C(G) и гармонична вограниченной области G, то min u(~x) = min u(~x).∂GGДоказательство.
min u(~x) = − max[−u(~x)] = − max[−u(~x)] = min u(~x)GG∂G∂GПостановка задачи ДирихлеНайти гармоническую в ограниченной области G функцию u(~x), непрерывную на замыкании G = G ∪ Γ, где Γ — граница G, и такую что u наΓ совпадает с заданной непрерывной функцией f (~x):½∆u = 0 в G¯u¯ = f.ΓПостановка задачи НейманаПусть область G ограничена кусочно-гладкой поверхностью Γ. Найтигармоническую в G функцию u, непрерывную на G, что на границе Γ∂uсовпадает с заданной функцией f (~x), где ~n — внешняя нормаль к Γ:∂n(∆u = 0 в G∂u ¯¯¯ = f.∂n Γ62Следствия принципа максимумаСледствие 1.
Задача Дирихле имеет (если имеет) единственное решение.Доказательство. Пусть u1 и u2 — два решения одной и той же задачиДирихле½∆u = 0¯u¯Γ = f.¯Тогда u = u1 − u2 удовлетворяет задаче ∆u = 0 и u¯Γ = 0, причемu ∈ C(G). Согласно принципу максимума max u = max u = 0 и согласноΓGпринципу минимума min u = min u = 0 ⇒ u ≡ 0 в G ⇒ u1 ≡ u2 в G.ΓGСледствие 2. Пусть un (~x) — гармонические в ограниченной области Gи непрерывны на замыкании G = G ∪ Γ, где Γ — граница G. Если un (~x)равномерно сходятся на Γ, то un (~x) сходятся равномерно на G.Доказательство.
Согласно критерию Коши равномерной сходимости наΓ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N | ∀ m, n > N ⇒ |un (~x) − um (~x)| < ε ∀ ~x ∈ Γ, или−ε < un (~x)−um (~x) < ε. Следовательно, max[un (~x)−um (~x)] = max[un (~x)−ΓGum (~x)] < ε и аналогично min[un (~x) − um (~x)] = min[un (~x) − um (~x)] > −ε,ΓGто-есть |un (~x) − um (~x)| < ε ∀ ~x ∈ G. По критерию Коши равномернойсходимости на G последовательность un (~x) сходится равномерно на G.Пример (неединственности). G = {y > 0} в R2 , u1 (x, y) = y, u2 (x, y) =2y, f = 0.Единственность задачи НейманаТеорема 1. Два решения u1 и u2 одной и той же задачи Неймана(∆u = 0∂u ¯¯¯ = f,∂n Γнепрерывно-дифференцируемые в G, могут отличаться только на постоянную величину.63Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
