А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, 0).Рассмотрев vk (t, ~x) = uk (t, ~x) − ϕk (~x), получимNN XnNN XnhiXXXX(k) ∂vj(k)(k) ∂ϕj(k) ∂vk =+a vj + fk +alj+a j ϕjalj∂t∂xl j=1 j∂xlj=1j=1j=1l=1l=1 v ¯¯ = 0, 1 6 k 6 N,k t=0(III.5)то-есть систему, подобную предыдущей, только с нулевыми начальными данными, причём как vk , так и коэффициенты системы осталисьпо-прежнему аналитическими, если таковыми были uk и коэффициенты предыдущей системы.Теперь предположим, обозначая vk опять через uk , что uk аналитичны в некоторой окрестности точки (0, 0, .

. . , 0), то-есть разлагаются в(k)степенные ряды по степеням t и x1 , . . . , xn , и коэффициентыal0 l1 ...ln этих¯1∂ l0 +l1 +...+ln uk ¯¯. Поэтому достаточноразложений равны¯l0 !l1 ! . . . ln ! ∂tl0 ∂xl11 . . . ∂xlnn ¯t=0x1 =0......xn =0показать, что по начальным данным (в данном случае нулевым) и коэффициентам уравнений однозначно определяются все производные ukв точке (0, 0, . . .

, 0).Действительно, в силу начальных условий для любых l1 , . . . , ln ∈ Z+¯∂ l1 +...+ln uk ¯¯= 0.(III.6)¯∂xl11 . . . ∂xlnn ¯t=0x1 =0......xn =0Далее рассмотрим производные вида¯∂ l1 +l2 +...+ln +1 uk ¯¯¯∂t∂xl11 . . . ∂xlnn ¯t=0x1 =0(III.7)......xn =0(одно дифференцирование по t). Если продифференцировать (III.4) по x1l1 раз, по x2 l2 раз, и так далее, по xn ln раз, то слева получим производную (III.7), а справа возникнут производные по переменным x1 , . .

. , xn(k)(k)функций uj в точке t = x1 = . . . = xn = 0 и коэффициентов alj , aj ,fk . Так как производные (III.6) в точке t = x1 = . . . = xn = 0 уже нами определены однозначно, то и производные вида (III.7) определены вточке t = x1 = . . . = xn = 0 однозначно.14Теперь рассмотрим производные вида¯∂ l1 +l2 +...+ln +2 uk ¯¯¯∂t2 ∂xl11 . .

. ∂xlnn ¯t=0x1 =0(III.8)......xn =0(два дифференцирования по t). Если продифференцировать уравнение(III.4) по t один раз, по x1 l1 раз, по x2 l2 раз, и так далее, по xn ln раз,то в левой части полученного равенства получим производную (III.8),а справа будут производные по t один раз и по x1 , . . . , xn произвольное(k)(k)число раз функций uj и коэффициентов alj , aj , fk , а также производные по x1 , . . . , xn . Так как производные вида (III.6) и (III.7) в точкеt = x1 = .

. . = xn = 0 определены нами уже однозначно, то и производные (III.8) определены в точке t = x1 = . . . = xn = 0 однозначно.Поступая аналогично с производными, где встречаются 3, 4 и более производных по t, последовательно определим все производные по(1)t, x1 , . . . , xn в точке t = x1 = . . . = xn = 0. Следовательно, если uk и(2)(1)(2)uk — два решения (III.4), то uk ≡ uk во всей области аналитичностиэтих решений, так как аналитические функции определяются по своимкоэффициентам Тейлора в некоторой точке однозначно.2( ∂u = ∂ u∂t∂x2∞Контрпример.

Задачане имеет аналитическогоX¯1n¯u t=0 ==x1 − x n=0решения в окрестности (0, 0). Действительно, если бы аналитическое ре∞Pшение u(t, x) =akn tk xn существовало в некоторой окрестности точкиk,n=0(0, 0), то коэффициенты Тейлора akn вычислялись бы по формуламakn =1 ∂ k+n u ¯¯1 ∂ n+2k u ¯¯(2k + n)!==.¯¯knn+2kt=0t=0k!n! ∂t ∂x x=0k!n! ∂xk!n!x=0Так как абсолютно сходящиеся двойные ряды можно суммировать с помощью повторных в любом порядке, то мы получили бы, чтоu(t, x) =∞ X∞X(2k + n)!k=0 n=0k!n!k nt x ==∞∞Xtk ³Xk!n=0k=0∞³kXk=015xn+2k´(2k)=1 ´(2k) X tkt(2k)!=k! 1 − xk! (1 − x)2k+1k=0∞и, следовательно,u(t, x) =∞X(2k)!tk,k! (1 − x)2k+1k=0что невозможно, так как последний ряд расходится при t 6= 0.Рассмотрим общий вид линейного уравнения в частных производныхвторого порядка от одной неизвестной функцииnXl,j=1nAljX∂2u∂u+Bj+ Cu + F = 0,∂xl ∂xj j=1 ∂xj(III.9)где Alj = Ajl , Bj , C, F — функции, непрерывно дифференцируемые внекоторой области Ox1 .

. . xn с действительными значениями. Посмотрим, как преобразуются коэффициенты уравнения при линейной заменеyk =nXakj xj .(III.10)j=1Тогдаn∂u∂u∂u ∂y1∂u ∂y2∂u ∂yn Xak1=++ ... +=,∂x1∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1∂yn ∂x1∂ykk=1следовательно,иnX∂u∂uakj=,∂xj∂ykk=1n XnnXX∂ 2u∂ 2u∂ 2uamlakj aml==,∂xl ∂xj∂y∂y∂y∂ymkmkk=1 m=1k,m=1следовательно, уравнение приобретет видn ³Xn´ ∂ 2uX∂ 2u+ ... =+ ...

=Aljakj amlaml Alj akj∂ym ∂yk∂ym ∂ykk,m=1 l,j=1l,j=1k,m=1nXnX=nXk,m=1A0km∂ 2u+ младшие производные = 0.∂ym ∂ykОбозначая матрицу коэффициентов при вторых производных A = (Ajl ),находим, что при переходе к новым координатам она преобразуется по16закону A0 = aAaT , где a = (akj ) — матрица коэффициентов замены(III.10). Видно, что коэффициенты уравнения преобразуются как коэффициенты квадратичной формыA(ξ, ξ) =nXAlj ξl ξj(III.11)l,j=1при замене ξj =nPakj ηk или, в матричной записи, ξ = aT η. Из линей-k=1ной алгебры известно, что существует невырожденное преобразование,приводящее форму (III.11) к (нормальному) видуrX±ηk2(r— ранг матрицы A).k=1Беря соответствующее преобразование координат для уравнения (III.9),приведем (III.9) к видуnXk,m=1гдеA0km (x01 , .

. . , x0n )∂2u+ младшие производные = 0,∂yk ∂ymA0km = ±1, если k = m 6 rA0km = 0,если k = m > r или k 6= m.Этот вид уравнения (III.9) называется каноническим. В каждой точке~x0 ∈ G преобразование (III.10), приводящее (III.9) к каноническому виду,вообще говоря, своё, в других точках G это преобразование может неприводить (III.9) к каноническому виду. Примеры показывают, что еслипеременных > 2, то не существует даже нелинейной замены общего вида,приводящей (III.9) к каноническому виду ни в какой сколь угодно малойобласти.Определение III.1. Уравнение (III.9) называетсяэллиптическим в точке ~x0 , если все A0kk отличны от нуля и одногознака (то-есть квадратичная форма (III.11) положительно определена или отрицательно определена);гиперболическим в ~x0 , если все A0kk ненулевые и все, кроме одного,имеют одинаковый знак;ультрагиперболическим в ~x0 , если все A0kk ненулевые и существуетбольше одного положительного и > 1 отрицательного коэффициента A0kk ;17параболическим в широком смысле, если есть нулевые A0kk , а всеостальные имеют одинаковый знак;параболическим в узком смысле, если все A0kk , кроме одного, ненулевые и одного знака, а один, например, A011 , равен нулю, причём∂uкоэффициент принулю не равен.∂y118Лекция IVПриведение к каноническому виду в областиЕсли уравнение эллиптично в каждой точке области G, то оно называется эллиптическим в области G.

Аналогично для других типов. Иногдабывает, что в одной части области G уравнение имеет один тип, например, эллиптический, а в другой — гиперболический. Например, уравнение Трикоми∂2u ∂ 2uy 2 + 2 = 0.∂x∂yПримеры.Уравнение∂2u∂x21∂2u∂x20∂2u∂x21∂u∂x0∂ 2u∂x22∂ 2u− 2∂x1∂ 2u+ 2∂x2∂ 2u− 2∂x1+A(ξ, ξ)∂ 2u= 0 ξ12 + ξ22 + . . . + ξn2∂x2n∂ 2u− . . . − 2 = 0 ξ02 − ξ12 − . . . − ξn2∂xn2∂ u ∂ 2u− 2 − 2 = 0 ξ12 + ξ22 − ξ32 − ξ42∂x3 ∂x4∂ 2u− . . .

− 2 = 0 −ξ12 − ξ22 − . . . − ξn2∂xn+ ... +типэллиптическийгиперболическийультрагиперболическийпараболическийМногочлен A(ξ, ξ) называется характеристическим, а уравнениеA(ξ, ξ) = 0 — характеристическим. Видно, что в первом случае характеристическое уравнение не имеет нетривиальных действительныхрешений. Часто так эллиптические уравнения и определяют.Если n — произвольное, а коэффициенты Alj постоянны, то преобразование (III.10), приводящее (III.9) к каноническому виду в одной точке,приведёт (III.9) к каноническому виду и во всех остальных точках области G (так как коэффициенты Alj одни и те же во всей области).Если Alj непостоянны, а число переменных равно двум, то такое преобразование также возможно.Итак, рассмотрим общее квазилинейное уравнение второго порядка³∂2u∂ 2u∂u ∂u ´∂ 2u+ C(x, y) 2 + F x, y, u, ,= 0 (IV.1)A(x, y) 2 + 2B(x, y)∂x∂x∂y∂y∂x ∂y19где A, B, C, F непрерывно дифференцируемы и A, B, C не обращаютсяв нуль одновременно.

В этих предположениях перейдем от переменныхx, y к переменным z, w по формулам¯¯¯ ∂ϕ ∂ϕ ¯¯¯½¯ ∂x ∂y ¯z = ϕ(x, y)2¯ 6= 0.где ϕ, ψ ∈ C и J(ϕ, ψ) = ¯¯(IV.2)¯w = ψ(x, y)¯ ∂ψ ∂ψ ¯¯ ∂x ∂y ¯При этих условиях существует (по крайней мере, локально) обратнаязамена x = α(z, w), y = β(z, w). Обозначим u(α(z, w), β(z, w)) = ue(z, w)и будем обозначать ue по-старому как u (то-есть у нас u иногда будетu(x, y), а иногда u(z, w)). Тогда¢ ∂ϕ ∂u ¡¢ ∂ψ∂u∂u ∂z∂u ∂w∂u ¡=+=ϕ(x, y), ψ(x, y)+ϕ(x, y), ψ(x, y)∂x∂z ∂x ∂w ∂x∂z∂x ∂w∂x¡¢ ∂ϕ ∂u ¡¢ ∂ψ∂u∂u∂z∂u∂w∂u=+=ϕ(x, y), ψ(x, y)+ϕ(x, y), ψ(x, y),∂y∂z ∂y ∂w ∂y∂z∂y∂w∂yоткуда 2∂ u∂ 2 u ³ ∂ϕ ´2∂ 2 u ∂ϕ ∂ψ∂ 2 u ³ ∂ψ ´2=+2++ мл произв по z, w22 ∂x2 ∂x∂x∂z∂z∂w∂x∂x∂w ∂ 2u∂ 2 u ∂ϕ ∂ψ∂ 2 u ³ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ ´ ∂ 2 u ∂ψ ∂ψ= 2++++ мл произв∂x∂y∂z ∂x ∂y∂z∂w ∂x ∂y∂x ∂y∂w2 ∂x ∂y´2´222 ³22 ³ ∂ u = ∂ u ∂ϕ + 2 ∂ u ∂ϕ ∂ψ + ∂ u ∂ψ + мл произв по z, w∂y 2∂z 2 ∂y∂z∂w ∂y ∂y∂w2 ∂y⇒ уравнение (IV.1) перепишется³ ∂ϕ ´2 i∂ 2 u h ³ ∂ϕ ´2∂ϕ ∂ϕ+2B+A+C∂z 2∂x∂x ∂y∂y³ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ ´∂ 2 u h ∂ϕ ∂ψ∂ϕ ∂ψ i+2A+B++C+∂z∂w ∂x ∂x∂x ∂y∂x ∂y∂y ∂y³ ∂ψ ´2 i³∂ψ ∂ψ∂u ∂u ´∂ 2 u h ³ ∂ψ ´2A+2B+C+Fz,w,u,,= 0.+1∂w2∂x∂x ∂y∂y∂z ∂w(IV.3)Покажем, что ϕ и ψ всегда можно выбрать так, что уравнение (IV.3)приобретет канонический вид.

Для этого нам понадобится рассмотретьтри случая B 2 − AC > 0 (гиперболический тип), B 2 − AC < 0 (эллиптический тип) и B 2 − AC = 0 (параболический тип) в некоторой окрестности (x0 , y0 ). Можем считать, что либо A 6= 0 либо C 6= 0 в некоторой20½окрестности (x0 , y0 ), иначе сделаем заменуx = x0 − y 0илиy = y0½x = x0y = y 0 − x0 .Считаем для определенности, что A 6= 0.I. B 2 > AC. Рассмотрим уравнение на первый коэффициент при³ ∂ϕ ´2³ ∂ϕ ´2∂ϕ ∂ϕA+ 2B+C= 0.∂x∂x ∂y∂y∂2u∂z 2(IV.4)³ ∂ϕ ´2∂ϕ∂ϕЭто однородное уравнение относительнои⇒ делим на∂x∂y∂y∂ϕ(предполагая временно, что6= 0) ⇒∂yA³ ∂ϕ . ∂ϕ ´2∂x∂y+ 2B³ ∂ϕ .

∂ϕ ´∂x∂y+ C = 0 — квадратное уравнение.Если рассмотрим линию ϕ(x, y) = ϕ(x1 , y1 ), где (x1 , y1 ) — любая фик∂ϕсированная точка окрестности (x0 , y0 ), то из предположения6= 0∂yвытекает существование неявной функции y = y(x), причём y 0 (x) =∂ϕ .

∂ϕ−. Следовательно, подставляя это соотношение в предыдущее∂x ∂yквадратное уравнение, находимA(y 0 )2 − 2By 0 + C = 0(уравнение характеристик).Решая его относительно y 0 , имеем D = 4B 2 − 4AC > 0 и√√2 − AC2B±2BBB 2 − ACy0 == ±,2AAA(IV.5)— два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно неизвестной функции y = y(x), где мы воспользовались также предположением A 6= 0. Из теории обыкновенных дифференциальных уравненийизвестно, что существуют первоинтегралы ϕ(x, y) = C1 , ψ(x, y) = C2этих уравнений, дающие при подстановке значений C1 и C2 из некоторых окрестностей C10 = ϕ(x0 , y0 ) и C20 = ψ(x0 , y0 ), соответственно, всевозможные решения уравнений (IV.5) с начальными данными из некоторойокрестности U (x0 , y0 ).

При этом ϕ, ψ ∈ C 2 (U (x0 , y0 )), grad ϕ, grad ψ 6= ~0¤¤d£d£ϕ(x, y(x)) ≡ 0,ψ(x, y(x)) ≡ 0 для любого решения y(x) соотиdxdxветствующего уравнения из (IV.5) и для всех значений x, при которых21(x, y(x)) ∈ U (x0 , y0 ). Тогда∂ϕ ∂ϕ 0∂ψ ∂ψ 0+y (x) = 0 и+y (x) = 0 или∂x∂y∂x∂y√√∂ϕ ∂ϕ ³ BB 2 − AC ´∂ψ ∂ψ ³ BB 2 − AC ´++≡0 и+−≡0∂x∂y AA∂x∂y AAв некоторой окрестности (x0 , y0 ).∂ϕ∂ϕТеперь объясним, почему6= 0. Если бы= 0, то из уравнения∂y∂y∂ϕ(IV.4) (так как A 6= 0) вытекало бы= 0, что противоречит выбору∂x∂ψϕ.

Характеристики

Список файлов лекций