А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Эта задача носит название второй краевой задачи или∂nLзадачи Неймана.¯∂u¯IV. T− ku¯ = 0 — «упруго закреплённая» мембрана.∂nLПример 4. Чтобы получить уравнение u = u(t, x1 , x2 ) движения мембраны под действием собственной инерции, заменим по принципуД’Аламбера в уравнении равновесия (II.2) внешнюю силу f на произ∂2uведение ускорения(t, x1 , x2 ) точки мембраны и плотности ρ(x1 , x2 )∂t2мембраны в этой точке, взятое со знаком минус:2X∂ ³ ∂u ´∂ 2uT− ρ 2 = 0.∂xl∂xl∂tl=1(II.3)Это уравнение называется уравнением движения мембраны или волновым уравнением (двух переменных).Возможные краевые условия остаются теми же, что и в примере 3, стой лишь разницей, что входящие в них заданные функции могут самизависеть от времени.

Чаще всего встречаютсяпервое краевое условие¯¯∂u¯u¯L = 0 или второе краевое условие¯ = 0.∂n LКак и в случае уравнения теплопроводности, одних краевых условийнедостаточно, чтобы однозначно определить решение. Из физических соображений ясно, что нужно задать начальное положение мембраны иначальную скорость точек мембраны¾u(t0 , x1 , x2 ) = ϕ0 (x1 , x2 ),(II.4)(x1 , x2 ) ∈ Gu0t (t0 , x1 , x2 ) = ϕ1 (x1 , x2 )и краевые условия одного из рассмотренных типов.Можно рассматривать и неограниченную мембрану, то-есть колебания всей плоскости, подчиненные одним условиям (II.4).

В этом случаерешение будет также определяться однозначно. Если же для ограниченной мембраны задать одни начальные условия (II.4), то решение однозначно определится не для всех значений t, а только для некоторогоинтервала (t0 − ∆t, t0 + ∆t), ∆t > 0, зависящего от точки (x1 , x2 ), причемвеличина этого интервала будет тем меньше, чем ближе точка (x1 , x2 ) кгранице области G.Так же, как и в случае уравнения теплопроводности, если ρ и T постоянны в области G, заменой переменных уравнение (II.3) можно привестик виду∂ 2u ∂2u∂ 2u=+.∂t2∂x21 ∂x228Если бы мы рассматривали колебания трехмерного упругого тела, тоаналогично нашли бы, что соответствующая функция u = u(t, x1 , x2 , x3 )(любая из компонент вектора перемещения) должна удовлетворять уравнению³ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ´∂2uρ 2 =T++.∂t∂x21 ∂x22 ∂x23Такого же вида будет уравнение колебаний газа; u(t, x1 , x2 , x3 ) тогда можно интерпретировать как отклонение от нормального давленияв точке (x1 , x2 , x3 ) в момент времени t.

В одномерном случае (колебание струны, колебание газа в трубке) функция u = u(t, x) удовлетворяетуравнению∂ 2u∂ 2uρ 2 = T 2.∂t∂xЭто уравнение называется уравнением движения струны. Здесьρ(x) — линейная плотность в точке x, а T — натяжение струны. Начальные и краевые условия вполне аналогичны соответствующим условиямдля уравнения (II.3).Постановка задачи Коши для УРЧПРассмотрим систему УРЧП с неизвестными функциями u1 , . . ., uN отнезависимых переменных t, x1 , . .

., xn :³´nk∂ l uj ∂ uk = F t, x , . . . , x , . . . ,,..., 16k6Nk1n∂tnk(II.5)∂tl0 ∂xl11 . . . ∂xlnn в которых l + l + . . . + l = l 6 n , l < n01nj0jЗаметим, что здесь а) время t играет роль выделенной переменной,а именно, старшие производные функций uk по t явно выражены черезпроизводные функций uj порядка по t меньше nj и общего порядка 6 nj ;и б) N неизвестных функций и N уравнений системы.Примеры. Уравнение∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u∂u=++∂t∂x21 ∂x22 ∂x23не является здесь уравнением такого вида, а уравнение∂ 2u ∂ 2u∂2u=+∂t2∂x21 ∂x22— является.9Пусть выделена область G0 в пространстве Ox1 .

. . xn на гиперплоскости t = t0 и потребуем от uk выполнения следующих условий (длякраткости вместо x1 , . . ., xn пишем ~x):¯(0)¯u(t,~x)= ϕk (~x), ~x ∈ G0kt=t0¯∂u¯(1) k (t, ~x)¯= ϕk (~x),∂tt=t016k6N(II.6)...¯nk −1uk¯(n −1)∂(t, ~x)¯= ϕk k (~x).n−1k∂tt=t0Эти условия называются начальными.Определение II.1. Задачей Коши для системы (II.5) называется система (II.5) + начальные условия (II.6).Решение — набор функций u1 , .

. . uN , искомых в области G пространства Otx1 . . . xn , примыкающей с одной стороны к области G0 в гиперплоскости t = t0 , то-есть часть границы области G должна совпадать сG0 . Можно, чтобы G примыкала к G0 с двух сторон от гиперплоскостиt = t0 , тогда G0 будет лежать внутри области G.Gt=t0G0Найти решение задачи Коши ⇔ найти набор функций u1 (t, ~x), .

. .uN (t, ~x) в области G, дающих при подстановке в уравнения системы (II.5)верные равенства и удовлетворяющих на гиперплоскости t = t0 условиям(II.6). Если область G примыкает к части G0 гиперплоскости t = t0 только с одной стороны (например, сверху), то значения uk (t, ~x) при t = t0определяются как пределы uk (t, ~x) изнутри области G при t → t0 + (граничные значения функций uk (t, ~x) на G0 ), и для производных uk (t, ~x) тоже самое.Теорема существования и единственности10Чтобы сформулировать теорему существовании и единственности,нам понадобится вспомогательное понятие.Определение II.2.

Функция F (x1 , . . . , xn ) называется аналитическойв области G ⊆ Rn , если для любой точки (x01 , . . . , x0n ) ∈ G существуетокрестность U (x01 , . . . , x0n ), в которойX(II.7)F (x1 , . . . , xn ) =ak1 ...kn (x1 − x01 )k1 . . . (xn − x0n )kn .k1 ,...,kn ∈Z+Как следствие, ряд (II.7) сходится равномерно и абсолютно (вместесо всеми производными) в любом достаточно малом параллелепипеде|xk − x0k | 6 rk , rk > 0, F ∈ C ∞ (G) и коэффициенты ряда (II.7) могут1∂ k1 +...+kn Fбыть вычислены по формулам ak1 ...kn =(x0 , .

. . , x0n )k1 ! . . . kn ! ∂xk11 . . . ∂xknn 1(то-есть, ряд (II.7) есть ряд Тейлора функции F ).(l )Теорема (С. В. Ковалевской). Если функции ϕk 0 (~x) аналитичны в окрестности (x01 , . . . , x0n ), а Fk аналитичны в окрестности(l ) ¯³´∂ l1 +...+ln ϕk 0 ¯¯00t0 , x 1 , . . . , x n , . . . ,,..., то задача Коши (II.5)+(II.6)0∂xl1 . . . ∂xln ¯ x1 =x11n......xn =x0nимеет и единственное аналитическое решение в некоторой окрестности (t0 , x01 , . . . , x0n ).11Лекция IIIДоказательство единственности в теоремеКовалевскойСведение общей системы к системе уравнений первого порядкаДля простоты покажем, как одно линейное уравнение второго порядка сводится к системе линейных уравнений первого порядка.

Аналогичные соображения применяются к общему случаю.Итак, рассмотрим задачуnnX∂ 2u∂ 2u X∂2ua(t,~x)=+a(t,~x)+lj0j∂t2 l,j=1∂xl ∂xj j=1∂t∂xjnX∂u∂u(III.1)+bj (t, ~x)+ b0 (t, ~x)+ b(t, ~x)u + f (t, ~x)∂x∂tjj=1¯¯∂u ¯ u¯t=t = ϕ(0) (~x),= ϕ(1) (~x), ~x ∈ G0 ,¯0∂t t=t0решение ищем в некоторой области G пространства Otx1 .

. . xn , содержащей область G0 в гиперплоскости t = t0 .∂u∂uВведём новые неизвестные функции u, u0 =, uk =, все зависят∂t∂xkот t, ~x. Тогда уравнение (III.1) перепишется в видеnn∂u0∂u0 X∂ul X=+a0j (t, ~x)+alj (t, ~x)∂t∂xj j=1∂xjl,j=1nX+bj (t, ~x)uj + b0 (t, ~x)u0 + b(t, ~x)u + f (t, ~x)j=1∂u= u0 — из самой замены∂t∂u0∂uk=— в силу дважды непрерывной дифференцируемости u,∂t∂xk(III.2)12а начальные условия будут ¯u¯t=t0 = ϕ(0) ¯¯u0 t=t0 = ϕ(1)¯∂ϕ(0)— дифференцируя первое краевое условие. uk ¯t=t0 =∂xk(III.3)Все эти рассуждения справедливы при условии дважды непрерывнойдифференцируемости функции u.Обратно, пусть u, u0 , uk , k = 1, 2, . .

. , n, удовлетворяют задаче Коши∂u∂u(III.2)+(III.3). Тогда u0 =. Покажем, что uk ≡, k = 1, 2, . . . , n,∂t∂xk∂uk∂u0∂ 2u∂ 2u===(в силув области G. Действительно,∂t∂x∂x∂t∂xkk ∂tk∂h∂u i∂uu ∈ C 2 (G)) ⇒uk −= 0 ⇒ uk −= const по t (последняя∂t∂xk∂xkимпликация справедлива во всяком случае для выпуклой по перемен∂ϕ(0)∂uной t области G). Так как при t = t0 выполнено uk ==,∂xk∂xk∂u∂uто uk −≡ 0 в G. Подставляя доказанное соотношение uk =в∂xk∂xk(III.2), имеем уравнение (III.1), а из (III.3) получаем, очевидно, начальные условия (III.1). Приведенное доказательство годится для выпуклойпо t области G, однако если предполагать функцию u аналитической, то∂uиз равенства uk −нулю в малой выпуклой по t подобласти g ⊂ G∂xkвытекает равенство нулю и во всей области G в силу известного свойстваединственности аналитических функций.Единственность решения системы УРЧП в аналитическихфункцияхОпять рассмотрим линейное уравнение 2-го порядка.

Сдвигом по tи по ~x можем свести к случаю t0 = 0, ~x0 = 0, G — некоторая окрестность точки 0. Как обычно, сводим уравнение (III.1) к системе (III.2).Рассмотрим более общую системуN XNnXX(k)(k) ∂uj ∂uk =+aj uj + fk , 1 6 k 6 Nalj∂t∂xl(III.4)j=1 l=1j=1¯ u ¯ = ϕ (~x), ~x ∈ G ,k t=0k013и докажем для неё единственность решения в предположении анали(k)(k)тичности uk и коэффициентов alj , aj , fk в некоторой окрестностиU (0, 0, . . .

Характеристики

Список файлов лекций