А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Это плохо. Можно также показать, что и при любых начальныхданных (при которых решение существует) малое изменение этих начальных данных может привести к большим изменениям решения уравнения. Такого быть не должно.Общее определение корректности системы линейных УРЧПОпределение V.1. Говорят, что задача Коши для системы(N∂ nk uk X X (l0 l1 ...ln ) ∂ l0 +l1 +...+ln uj( l = l0 + l1 + . . .

+ ln 6 nj ,=Akj∂tnk∂tl0 ∂xl11 . . . ∂xlnnj=1 l0 l1 ...lnl0 < n j )поставлена корректно в замкнутой области G пространства (t, x),примыкающей к области начальных данных G0 в гиперплоскости t = t0 ,если существуют такие числа L1 , L2 ∈ Z+ , что301) Для любых начальных данных, непрерывно дифференцируемых в области G0 до порядка L1 включительно, решение задачи Коши существует и _единственно в области G;G6uk(t,x)íà÷óñëG02) если начальные условия изменились мало вместе со своими производными до порядка L2 включительно, то решение u(t, x) изменится в области G мало.Таким образом, корректность = ∃! + устойчивость по начальным данным.

Начальные данные из опыта находятся приблизительно, поэтомумалые ошибки в данных опыта не должны повлечь больших искаженийрешения уравнения. Только такие задачи имеют физический смысл.Задача Коши для уравнения Лапласа, как показывает пример Адамара, поставлена некорректно.31Лекция VIПонятие об обобщенном решенииПрошлый раз решали задачу Коши на прямой 22∂ u2∂ u=ax+at2Z∂x2 ∂t¯ϕ(x+at)+ϕ(x−at)1ϕ∈C 2¯ψ(ξ) dξ+u t=0 = ϕ(x) =⇒1 u(t, x) =ψ∈C22a¯x−at ∂u ¯¯ = ψ(x)(формула Д’Аламбера)∂t t=0В этой формуле нет необходимости предполагать гладкость ϕ и ψ, можно подставлять любую непрерывную (!) ϕ и интегрируемую (!) ψ.

Но тогда функция u может быть недифференцируемой, отсюда неясен смысл2∂ 2u2∂ uуравнения=a. А в физических задачах данные находятся из∂t2∂x2опыта приближенно, с ошибкой, и непонятен сам смысл слова «гладкие».Поэтому важно придать этим решениям строгий смысл.Определение VI.1. Обобщенным решением системы УрЧП в областиG называется набор функций uk (t, ~x), k = 1, 2, . . . , N , являющихся равномерным пределом в области G последовательности «обычных» глад(l)ких решений uk (t, ~x) при l → ∞, то-есть(l)lim sup |uk (t, ~x) − uk (t, ~x)| = 0,l→∞ (t,~x)∈Gk = 1, .

. . , N.Замечания потом, сейчас пример.∂u∂uПример 1. Рассмотрим «уравнение переноса»=с начальным∂t∂x¯условием u¯t=0 = ϕ(x) ∈ C 1 [a, b] ⇒ u(t, x) = ϕ(x + t) — классическоерешение. Решение существует в области G : a 6 x + t 6 b.tТеперь предположим, что ϕ — любаянепрерывная в [a, b] функция. Тогда существует последовательность непрерывноx+t=bx+t=al→∞дифференцируемых функций ϕ(l) (x) ⇒ ϕ(x)[a,b][a]bx (например, полиномов по аппроксимационнойтеореме Вейерштрасса).32Им соответствует последовательность «обычных» решений u(l) (t, x) =ϕ (x + t) в области G.

Тогда u(l) (t, x) ⇒ ϕ(x + t) = u(t, x) — это и¯ естьобобщенное решение уравнения переноса с начальным условием u¯t=0 =ϕ(x) ∈ C[a, b].(l)Замечания. 1. Если задача Коши поставлена корректно в областиG (в смысле определения с прошлой лекции), то-есть решение ∃! снепрерывно-дифференцируемыми до порядка L1 ∈ Z+ включительно начальными функциями и непрерывно зависит от начальных данных вместе с их производными до порядка L2 ∈ Z+ включительно, то обобщенноерешение ∃! с начальными данными, непрерывно-дифференцируемыми допорядка L2 включительно.Действительно, если L1 = L2 , то доказывать нечего. Если же L2 < L1(почему L2 не может быть больше L1 ?), то взяв для любых L2 разнепрерывно-дифференцируемых начальных функций их приближенияL1 раз непрерывно-дифференцируемыми функциями так, чтобы приближались и все производные до порядка L2 включительно, из определения корректности получим, что последовательность соответствующих им единственных решений в области G фундаментальна в метрике равномерной сходимости и, в силу полноты равномерной сходимости,сходится в области G равномерно к некоторому набору непрерывныхфункций.

Этот набор и будет обобщенным решением задачи Коши. Похоже доказывается и единственность обобщенного решения в классе L2раз непрерывно-дифференцируемых начальных функций и классе непрерывных обобщенных решений.2. Если уравнение эллиптического или параболического типа, то оказывается, что определенные таким образом обобщенные решения автоматически получаются гладкими, даже аналитическими, поэтому основнаятяжесть определения ложится на гиперболические уравнения.3. С. Л.

Соболев рассматривал обобщенные решения и в смысле сходимости в среднем, то-есть такие, чтоZ(l)lim [uk (t, ~x) − uk (t, ~x)]2 dtdx1 . . . dxn = 0.l→∞GТакие решения могут оказаться разрывными. Напри∂u∂u=с начальным условимер, уравнение переносаt∂t∂x½¯0, x ∈ [0, 1/2)имеет обобщенем u¯t=0 = ϕ(x) =1/2, x ∈ [1/2, 1]ное решение u = ϕ(x + t) в области GT = {0 6 t + x 60 1/2 1 x 1, 0 6 t 6 T }, имеющее линию разрыва x + t = 1/2.33Пример 2. Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения на прямой2¯∂ 2u2∂ u¯=a,−∞<x<+∞,сначальнымифункциямиu= ϕ(x) =t=022∂t∂x½0,|x| > l; ∂u ¯¯и¯ ≡ 0. Построим обобщенное решение для такойl − |x|, |x| 6 l, ∂t t=0задачи.Для этого приблизим ϕ0 C 1 -фунnrn1кцией ϕ0ε так, чтобы она отлиlчалась (не более чем на 1) отl0( ) ( ) ( )x ϕ (x) только в ε-окрестностях то-lчек разрыва −l, 0, l (например,-1-ll xкусочно-параболическими функZxциями, как это показано на картинке). Тогда|ϕ0ε (ξ) − ϕ0 (ξ)| dξ 6 6ε−∞∀ x (так как точек разрыва три и размер каждой окрестности 2ε).ngZxlϕ0ε (ξ) dξ ⇒ |ϕε (x) −Теперь рассмотрим ϕε (x) =(-l)(())l x−∞Zx|ϕ0ε (ξ) − ϕ0 (ξ)| dξ 6 6ε ∀ x.

Беря εl = 1/l,ϕ(x)| 6−∞получим последовательность C 2 -функций ϕ(l) (x) ⇒ ϕ(x), l → ∞, аϕ(l) (x + at) + ϕ(l) (x − at)(l)соответствующие им решения u (t, x) =⇒2ϕ(x + at) + ϕ(x − at)= u(t, x), так что формула Д’Аламбера дает2обобщенное решение нашей задачи.Аналогично можно рассмотреть случай ϕ(x) ≡ 0 и ψ(x) =при этом требуется доказывать малость неZxZxRψ (l) (x) − ψ(x), аψ (l) (ξ) dξ −ψ(ξ) dξ — разно1−∞-llx−∞сти первообразных (проверьте!). Доказательството же.Полуограниченная струна.

Типы краевых условий 22∂ u2∂ u=a, x>02∂x2 ∂t¯u¯t=0 = ϕ(x)¯ ∂u ¯¯ = ψ(x)∂t t=0Продолжим ϕ и ψ произвольным образом в область x < 0 (с сохранением гладкости) ⇒ поформуле Д’Аламбера получаем решение. Но решение сильно неединственно — выбор продолжений достаточно произволен. Чтобы выделить34единственное решение, надо наложить на u какие-то дополнительныеусловия. Обычно условия накладываются на край x = 0. Все они имеютфизический смысл. Типы краевых условий:¯I u¯x=0 = 0 (1e краевое условие) — «закрепленный конец»;¯II ux ¯x=0 = 0 (2e краевое условие) — «свободный конец»;¯III ux − αu¯x=0 = 0 (3e краевое или смешанное условие) — «упругозакрепленный конец»;∂u, α — постоянное число, обычно положительное.∂xздесь ux обозначаетIIIIII¯Решение этих задач.

I u¯x=0 = 0 — продолжим ϕ и ψ нечетнымобразом в x < 0:eϕ(x)e= −ϕ(−x), если x < 0, и ψ(x)= −ψ(−x),при этом предполагаем ϕ ∈ C 2 (R+ ) = C 2 [0, +∞), ψ ∈ C 1 (R+ ), и ϕ(0) =ϕ00 (0) = ψ(0) = 0.Покажем, что продолженные функции ϕe и ψe также будут классов21C (R) и C (R), соответственно.а) ϕ(x)e= −ϕ(−x) → −ϕ(0) = 0 = ϕ(0)eпри x → 0− ⇒ ϕe ∈ C(R);000(ϕ(x))e= (−ϕ(−x)) = ϕ (−x) при x < 0 ⇒ lim ϕe0 (x) = ϕ0 (0) =x→0−e ∈ C 1 (R);ϕe0+ (0) ⇒ ϕ00(ϕ(x))e= −ϕ00 (−x) −−→ −ϕ00 (0) = 0 = ϕe00+ (0) ⇒ ϕe ∈ C 2 (R);x→0−e= −ψ(−x) −−→ −ψ(0) = 0 = ψ(0) ⇒ ψ ∈ C(R); ψe0 (x) =б) ψ(x)x→0−0(0) ⇒ ψ ∈ C 1 (R).(−ψ(−x)) = ψ (−x) −−→ ψ 0 (0) = ψe+00x→0−Тогдаϕ(xe + at) + ϕ(xe − at)1ue(t, x) =+22ax+atZe dξψ(ξ)x−at35— решение волнового уравнения.Очевидно, что выполняются начальные условия ¯e¯t=0 = ϕ(x),x > 0, так как ϕ(x)e= ϕ(x) для x > 0,u¯u¯e ∂e= ψ(x) для x > 0.¯ = ψ(x), x > 0, так как ψ(x)∂t t=0Проверим краевое условие¯ϕ(at)e+ ϕ(−at)e1ue¯x=0 =+22aZate dξ =ψ(ξ)−atZatϕ(at)e− ϕ(at)e1=+22ae dξ = 0,ψ(ξ)−atтак как интеграл от нечетной функции по симметричному промежуткуравен нулю.

Этим доказательство существования решения первой краевой задачи¯ для полуограниченной струны заканчивается.II ux ¯x=0 = 0. Продолжим ϕ и ψ в область x < 0 четным образом, тоeесть ϕ(x)e= ϕ(−x) и ψ(x)= ψ(−x), x < 0. Предположим, что ϕ ∈ C 2 (R+ ),ψ ∈ C 1 (R+ ) и ϕ0 (0) = 0, ψ 0 (0) = 0. Проверим, что ϕe ∈ C 2 (R) и ψe ∈ C 1 (R).а) lim ϕ(x)e= lim ϕ(−x) = ϕ(0) = ϕ(0)e⇒ϕe ∈ C(R);x→0−0x→0−ϕe (x) = (ϕ(−x))0 = −ϕ0 (−x) −−→ −ϕ0 (0) = 0 = ϕe0+ (0) ⇒ ϕe ∈ C 1 (R);000000x→0−ϕe (x) = (ϕ(−x)) = ϕ (−x) −−→ ϕ00 (0) = ϕe00+ (0) ⇒ ϕe ∈ C 2 (R);x→0−eeб) ψ(x)= ψ(−x) −−→ ψ(0) = ψ(0)⇒ ψe ∈ C(R);x→0−0ψe0 (x) = (ψ(−x))0 = −ψ 0 (−x) −−→ −ψ 0 (0) = 0 = ψe+(0) ⇒ ψe ∈ C 1 (R).x→0−Тогдаϕ(xe + at) + ϕ(xe − at)1ue(t, x) =+22ax+atZe ξψ(ξ)x−at— решение волнового уравнения. Очевидно, начальные условия выполee= ϕ(x) и ψ(x)няются, так как ϕ(x)= ψ(x) для x > 0.

Проверим краевоеусловие. Действительно,¤ϕe0 (at) + ϕe0 (−at) 1 £ e∂eu ¯¯e=+ ψ(at) − ψ(−at)= 0,¯∂x x=02236так как ϕe0 — нечетная(как производная четной), а ψe — четная функции.¯III ux −αu¯x=0 = 0. Решение аналитическим методом. Так как областьx > 0, t > 0 — выпуклая, то u = f (x + at) + g(x − at); считаем a > 0,t > 0. При t = 0 имеем½f (x) + g(x) = ϕ(x)x>0=⇒ f (x), g(x) при x > 0.00a(f (x) − g (x)) = ψ(x)Чтобы найти g(x) при x < 0, напишем краевое условие:∂u ¯¯= f 0 (at) + g 0 (−at) ⇒¯∂x x=0¯⇒ ux − αu¯x=0 = f 0 (at) + g 0 (−at) − αf (at) − αg(−at) = 0 ⇔g 0 (−at) − αg(−at) = αf (at) − f 0 (at)|{z}известная функцияи после замены −at = η, η < 0, имеем g 0 (η) − αg(η) = αf (−η) − f 0 (−η) —дифференциальное уравнение для нахождения функции g при отрицательных значениях аргумента. Начальное условие g(0) — известно, таккак g(η) при η > 0 известно.

Решая, находим g(η) ⇒ ответ½u(t, x) =f (x + at) + g(x − at) при x < at,f (x + at) + g(x − at) при x > at.Заметим, что вторая часть ответа (при x > at) находится по формуле Д’Аламбера, в то время как первая (при x < at) дается формулой,отличной от формулы Д’Аламбера.37Лекция VIIОграниченная струнаПостановка краевых задачИщется u(t, x), непрерывно-дифференцируемая на замкнутом прямоугольнике ЦT = [0, T ] × [0, l] (T > 0, l > 0), дважды непрерывнодифференцируемая в ЦT = (0, T ) × (0, l) и удовлетворяющая в ЦT уравнению2∂2u2∂ u=a,(VII.1)∂t2∂x2а на границе удовлетворяющая а) начальным условиям u(0, x) = ϕ0 (x),∂u(0, x) = ϕ1 (x), 0 6 x 6 l; б) краевым условиям одного из следующих∂tтрех типовI u(t, 0) = u(t, l) = 0;∂u∂u(t, 0) =(t, l) = 0;∂x∂x¯¯∂u∂u¯¯III+ σ0 u¯+ σ1 u¯ = 0, σ0 6 0, σ1 > 0.=∂x∂xx=0x=lIIВ соответствии с этим краевая задача называется I, II или III типа, а всязадача (вместе с уравнением, начальными условиями и одним из краевых условий) называется смешанной задачей для волнового уравненияна отрезке.Корректность I краевой задачиТеорема 1 (существование).

Характеристики

Список файлов лекций