А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Действительно, рассмот3). . . P (~x, ξ)cnSRZ Z1~ dS1 (ξ).~ ~x = 0 ⇒ u(~0) =рим функцию u(~x) =. . . P (~x, ξ)cnSRZ Z1~ = 1. Далее, u(~x) — гармоническая в BR , так как ин. . . 1 dS1 (ξ)cnНоSRтеграл можно дифференцировать по x1 , . . ., xn под знаком интеграла72~ — гармоническая по x1 , . . ., xn (свойство 2). И, наконец, u(~x)и P (~x, ξ)зависит только от r = |~x|.Пусть |~x| = r и сделаем поворот ξ~ = U~η , чтобы точка ~x перешлав точку (r, 0, . . . , 0). Так как при ортогональных заменах площадь неменяется, то мы получимZ Zu(~x) = f rac1cn . . . P (~x, U~η ) dS1 (~η ) =SRZ Z1. . .
P (U (r, 0, . . . , 0), U~η ) dS1 (η).=cnSR~ = P (~x, ξ)~ ∀ ~x ∈ BR и ∀ ξ~ ∈ SR (свойство инвариантностиНо P (U~x, U ξ)ядра Пуассона), так как~ =P (U~x, ξ)Rn−2 (R2 − |U~x|2 )Rn−2 (R2 − |~x|2=~ n/2~ n/2(R2 + |U~x|2 − 2(U~x, U ξ))(R2 + |~x|2 − 2(~x, ξ))⇒ u(~x) = u(r, 0, . . . , 0), что и требовалось доказать.1Следовательно, по задаче u(~x) = C1 + n−2 .
Так как u(~x) — непреrрывна в BR ⇒ C2 = 0 ⇒ u(~x) = C1 . Но u(0, 0, . . . , 0) = 1 ⇒ C1 = 1.4) ∀ ξ~0 ∈ SR и любой окрестности Uδ (ξ~0 ) существует окрестность~ ⇒ 0 при |~x| → R−, ~x ∈ Uδ0 (ξ~0 ), равномерно поUδ0 (ξ~0 ), что P (~x, ξ)ξ~ ∈ SR \ Uδ (ξ~0 ).Доказательство. Ядро Пуассона преобразуется к видуn−222~ = R (R − |~x| ) .P (~x, ξ)~n|~x − ξ|~ > |ξ~ − ξ~0 | − |~x − ξ~0 | >Пусть ~x ∈ Uδ0 (ξ~0 ), ξ~ ∈ SR \ Uδ (ξ~0 ), δ 0 < δ. Тогда |~x − ξ|δ − δ0 ⇒n−2~ 6 RP (~x, ξ)(R2 − |~x|2 ).0n(δ − δ )~ < ε при ~x ∈ Uδ0 (ξ~0 ), ξ ∈ SR \ Uδ (ξ~0 ), если |~x| достаточноЗначит, P (~x, ξ)близко к R, что и требовалось доказать.Теорема 1.
Если f ∈ C(SR ), то интеграл ПуассонаZ Z1~ (ξ)~ dS1 (ξ)~. . . P (~x, ξ)fu(~x) =cnSR~дает решение задачи Дирихле в шаре BR с граничной функцией f (ξ).73Доказательство. 1) u(~x) гармонична в BR , так как интеграл можно~ — гардифференцировать по параметрам x1 , . . ., xn два раза и P (~x, ξ)монична по ~xZ Z1~ f (ξ)~ dS1 (ξ)~ = 0.. . . ∆x P (~x, ξ)∆x u(~x) =| {z }cnSR=02) ∀ ξ~0 ∈ SR lim u(~x) = f (ξ~0 ).~x→ξ~0~x∈BR~ непрерывна в ξ~0 , то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 |Действительно, так как f (ξ)~ − f (ξ~0 )| < ε, ξ~ ∈ SR . Выберем такую Uδ0 (ξ~0 ), чтобы|ξ~ − ξ~0 | < δ ⇒ |f (ξ)~ ⇒ 0 при |~x| → R− для ~x ∈ Uδ0 (ξ~0 ), ~x ∈ BR , ξ~ ∈ SR \ Uδ (ξ~0 ).
ТогдаP (~x, ξ)Z Z1~~ − f (ξ~0 )]P (~x, ξ)~ dS1 (ξ)~ =u(~x) − f (ξ0 ) =. . . [f (ξ)cnSR↑св-во нормированностиядра Пуассона1=cn⇒ZZZ Z1~~ dS1 (ξ)+~~~ dS1 (ξ)~. . . [f (ξ)−f(ξ~0 )]P (~x, ξ). . . [f (ξ)−f(ξ~0 )]P (~x, ξ)cnUδ (ξ~0 ∩SRSR \Uδ (ξ~0 )Z ZZ Z12C~~~~ dS1 (ξ),~|u(~x) − f (ξ0 )| < ε.
. . P (~x, ξ) dS1 (ξ) +. . . P (~x, ξ)cncnSRSR \Uδ (ξ~0 )~ Так как при ~x → ξ~0 имеем |~x| → |ξ~0 | = R, то сущегде C = max |f (ξ)|.~ Rξ∈S~ <εствует такое δ 00 > 0, что при |~x − ξ~0 | < δ 00 будет выполнено P (~x, ξ)при ~x ∈ Uδ0 (ξ~0 ), ξ~ ∈ SR \ Uδ (ξ~0 ). Выбирая δ0 = min(δ 0 , δ 00 ), получим, что|u(~x) − f (ξ~0 )| < ε + 2Cε = ε(1 + 2C).
Отсюда и следует требуемое утверждение.~ получим функцию,3) Итак, доопределив u(~x) на SR значениями f (ξ),непрерывную на B R = BR ∪ SR , внутри BR гармоническую и на SR сов~ Следовательно, u(~x) — решение задачи Дирихле.падающую с f (ξ).Следствие 1. Задача Дирихле в шаре корректно поставлена (∃+!+устойчивость по граничной функции).Доказательство. Единственность мы доказывали раньше (следствие 1из лекции Л XI), непрерывная зависимость вытекает из следствия 2 излекции Л XI, а cуществование дается теоремой 1.74Следствие 2.
Равномерный предел на компактах гармонических функций в области G также гармоничен.Доказательство. Пусть ~x0 ∈ G и un — гармонические в G. Выберем шарB R (~x0 ) ⊂ G. По предыдущей теореме и единственности решения задачиДирихлеZ Z n−2 2R (R − |~x − ~x0 |2 )1~ dS1 (ξ)~...un (~x) =un (ξ)n~cn|~x − ξ|0SR (~x )(так как un (~x) является решением задачи Дирихле по своим значениямна границе шара). Переходя к пределу u(~x) = lim un (~x) при фиксироn→∞ванном ~x ∈ BR (~x0 ), получимZ Z n−2 21R (R − |~x − ~x0 |2 ) ~~u(~x) =...u(ξ) dS1 (ξ).~ncn|~x−ξ|0(XIII.2)SR (~x )(в силу равномерной сходимости на SR (~x0 ) переход к пределу под знакоминтеграла правомерен). Опять по предыдущей теореме u(~x) гармоничнав BR (~x0 ) (как интеграл Пуассона непрерывной функции). Следовательно, u гармонична в ~x0 , а так как ~x0 — произвольная точка G, то и во всейG.Объединяя следствие 2 настоящей лекции со следствием 2 из лекции Л XI, получаем уточнение последнего, которое часто называют первой теоремой Гарнака.Следствие 3.
Если последовательность (un ) функций, гармоническихв ограниченной области G и непрерывных на замыкании G, сходитсяравномерно на границе ∂G, то она сходится равномерно в G к некоторойфункции, гармонической внутри и непрерывной на замыкании G.Следствие 4 (теорема о среднем значении). Если u(~x) гармоничнав области G и шар B R (~x0 ) ⊂ G, тоZ ZZ Z110~ dS1 (ξ)~ =. . .
u(ξ). . . u(~x0 + R~η ) dS1 (~η ).u(~x ) =(XIII.3)cncnSR (~x0 )S1 (~0)Доказательство. Положим в (XIII.2) ~x = ~x0 .Другими словами, среднее арифметическое значений гармоническойфункции на поверхности любого шара из области гармоничности равнозначению этой функции в центре шара. Именно это свойство и объясняетназвание «гармоническая».75Следствие 5 (вторая теорема о среднем значении). В условияхпредыдущего следствияZZ Z10u(~x ) =. . .
u(~x) dx1 . . . dxn ,V (BR )BR (~x0 )где V (BR ) обозначает объем шара радиуса R в Rn .Доказательство. Возьмем в качестве исходной формулу (XIII.3), положим в ней R = r, умножим ее на rn−1 и проинтегрируем от 0 до RRn1u(~x0 )=ncnZR Z0Z. . . u(~x0 + r~η ) rn−1 dS1 (~η )dr =|{z}dx1 ...dxnS1 (~0)1=cnоткудаnu(~x ) =cn Rn0ZZZZZ. . . u(~x) dx1 . . . dxn ,BR (~x0 )Z. . . u(~x) dx1 . . . dxn ,BR (~x0 )и если вспомнить, что V (BR ) = cn Rn /n, то все доказано.В качестве приложения свойства среднего значения по шару уточнимпринцип максимума, доказанный на лекции Л XI.Следствие 6 (усиленный принцип максимума). Непостоянная гармоническая функция не может внутри области своей гармоничностипринимать максимальное или минимальное значение во всей области.Доказательство.
Предположим, что M = sup u(~x) и M достигается вGнекоторой точке ~x0 ∈ G. Рассмотрим множество E = {~x ∈ G | u(~x) =M } 6= ∅ (так как ~x0 ∈ E). Множество E замкнуто относительно областиG (то-есть его дополнение относительно G открыто). Покажем, что E —открыто. Действительно, пусть ~y 0 ∈ E, тогда по следствию 5ZZ Z10M = u(~y ) =. . . u(~x) dx1 . . .
dxnV (BR )BR (~y0 )и u(~x) 6 M и u непрерывна в B R (~y 0 ). Следовательно, u(~x) ≡ M в B R (~y 0 )и, значит, B R (~y 0 ) ⊂ E, откуда ~y 0 — внутренняя точка E и E — открыто.76Согласно топологическому определению связности, область G не может быть разбита на два непустых открытых непересекающихся множества, поэтому либо E, либо G \ E пусто. Так как E непусто, то E = G иu(~x) ≡ M в G.Наконец, докажем последнее свойство гармонических функций, изкоторого, в частности, вытекает бесконечная дифференцируемость гармонических функций (хотя изначально в определении предполагаласьтолько непрерывность и существование вторых чистых производных повсем переменным).Следствие 7.
Любая гармоническая в области G функция u(~x) вещественно аналитична по x1 , . . ., xn , в каждой точке ~x0 , и, в частности,бесконечно дифференцируема в области G.Доказательство. Достаточно доказать для шара BR с центром в нуле иточки ~x0 = 0. Согласно теореме 1, имеемZ Z n−2 21R (R − |~x|2 ) ~~u(~x) =...u(ξ) dS1 (ξ).n~cn|~x − ξ|SRДостаточно разложить в равномерно сходящийся степенной ряд внекоторой окрестности |~x| 6 d точки ~0 ядро ПуассонаRn−2 (R2 − |~x|2 )~ n/2(|~x|2 + R2 − 2(~x, ξ))x21 + . .
. + x2nR2=³.~ ´n/2(~x, ~x − 2ξ)1+R21−Числитель — конечный степенной ряд, поэтому на сходимость влиятьне будет. Так как ряд для функции (1 + t)−n/2 сходится равномерно иабсолютно при |t| 6 q для любого 0 6 q < 1, то мы должны потребовать,~ < R2 . Если это условие выполняется, то разложениечтобы |(~x, ~x − 2ξ)|имеет вид1³~ ´n/2(~x, ~x − 2ξ)1+R2=∞XkC−n/2k=0~k(~x, ~x − 2ξ).R2k(XIII.4)Чтобы получить полное разложение по x1 , .
. ., xn , мы должны возве~ ~x) в k-ую степень и потом получить общее разложениести (~x, ~x) − 2(ξ,(не обязательно по возрастающим степеням слагаемых) по x1 , . . ., xn .77Если |~x| 6 d, то |xl | 6 d. Мажоранта полученного разложения, полученная взятием модулей всех слагаемых, имеет для каждого слагаемого в(XIII.4) суммуn¡ 2¢kP|~x| + 2 |ξ~l ||~xl |l=1k(−1)k C−n/2,R2kпоэтому если все |xl | 6 d и |ξl | 6 R, то все слагаемое оценивается числомk(−1)kC−n/2³ nd2 + 2ndR ´kR2и ряд из этих оценок будет сходиться при nd2 +2ndR < R2 . Такое d легкоRподобрать; например, d = R/(3n).
Итак, при d =полученное разло3nжение имеет сходящуюся мажоранту, равномерно по ξ~ ∈ SR , поэтому по~ бупризнаку Вейерштрасса это ряд, умноженный на непрерывную u(ξ),дет сходиться равномерно по ξ~ и допускает почленное интегрирование.Полученный ряд по степеням x1 , . . ., xn сходится, к тому же абсолютно,при |xl | 6 d, а, значит, u(~x) аналитична в нуле.78Лекция XIVПараболические уравненияРассмотрим уравнение∂u∂ 2u= a2 2∂t∂x(XIV.1)— похоже на эллиптическое, решения всегда аналитические и задача Коши поставлена корректно (в отличие от эллиптических).Теорема 1 (принцип максимума).
Пусть u(t, x) — функция, непрерывная в ЦT = [0, T ] × [0, l] и удовлетворяющая (XIV.1) внутри ЦT .Тогда max u(t, x) = maxΓT u(t, x), где ΓT = [0, l]t=0 ∪ [0, T ]x=0 ∪ [0, T ]x=lЦT(только часть границы!).Доказательство. Пусть M = max u(t, x) > m = max u(t, x) и максимумΓTЦTM −m(x−достигается в (t0 , x0 ). Рассмотрим функцию v(t, x) = u(t, x)+2l2M −m 2M −mx0 )2 . Тогда при (t, x) ∈ ΓT имеем v(t, x) 6 m +l = m+=22l2m+M< M , а v(t0 , x0 ) = M . Пусть (t1 , x1 ) — точка, где достигается2max v(t, x). Тогда (t1 , x1 ) лежит либо внутри ЦT либо на верхней границе.ЦT2∂v∂ 2u∂u2∂ u(t1 , x1 ) > 0 и(t,x)60⇒−a> 0 в11∂t∂x2∂t∂x2222∂uM −m(M − m)a∂ v∂ u∂v2=−< 0,(t1 , x1 ). Но− a2 2 =− a2 2 − a2∂t∂x∂t∂x2l2l2противоречие.В обоих случаяхЗамечание 1.
Если (t1 , x1 ) лежит на верхней границе, то принцип максимума можно применить сначала к ЦT −ε для любого ε > 0, а потомε → 0+ (тогда max u(t, x) → max u(t, x) и max u(t, x) → max u(t, x) вЦT −εΓT −εЦTΓTсилу непрерывности u(t, x)).Следствие 1 (принцип минимума). min u(t, x) = min u(t, x), если u ∈ЦTC(ЦT ) и выполняется (XIV.1).79ΓTДоказательство. min u(t, x) = − max[−u(t, x)] = − max[−u(t, x)] =ЦTmin u(t, x).ΓTЦTΓTСледствие 2 (единственность). Решение I краевой задачи для уравнения (XIV.1) единственно в классе непрерывных в ЦT функций.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
