А.В. Субботин - Лекции по методам математической физики для физхимиков 211 группы (1120442), страница 4
Текст из файла (страница 4)
То же относится к6= 0. Более того, так как grad ϕ и grad ψ ор∂y√√2тогональны векторам (A, BB − B 2 − AC), соответ√+ B − AC) и (A,√ственно, и вектора (A, B + B 2 − AC) и (A, B − B 2 − AC) непропорциональны, то grad ϕ и grad ψ неколлинеарны ⇒ J(ϕ, ψ) 6= 0. Поэтому имеемправо сделать замену переменных (IV.2). Обозначив коэффициенты при∂ 2u ∂ 2u∂ 2ue 2Be и C,e соот,ив преобразованном уравнении через A,∂z 2 ∂z∂w ∂w2e2 −AeCe = (B 2 −AC)|J(ϕ, ψ)|2ветственно, заметим, что в силу тождества B(докажите его!) тип уравнения не меняется при невырожденной замене∂2uкоординат. Далее, так как коэффициент приравен∂z 2³√√¢ ´³¢ ´¡¡e = 1 A ∂ϕ + B + B 2 − AC ∂ϕ A ∂ϕ + B − B 2 − AC ∂ϕ ,AA∂x∂y∂x∂ye = 0 и аналогично Ce = 0, поэтому Be 6= 0 (так как Be2 − AeCe > 0) и,то Aeделя на 2B, имеем³∂ 2u∂u ∂u ´.= Φ z, w, u, ,∂z∂w∂z ∂wЭтот вид уравнения гиперболического типа также называется каноническим, он легко сводится к классическому с помощью замены½³z = z 0 + w0∂ 2u∂u ∂u ´∂ 2u00−=Φz,w,u,,.⇒1∂z 02 ∂w02∂z 0 ∂w0w = z 0 − w0II.
B 2 ≡ AC. Тогда A или C 6= 0 (иначе все A, B, C = 0). ДопустимA 6= 0. Тогда оба уравнения для ϕ и ψ сливаются в одноA∂ϕ∂ϕ+B=0∂x∂y22(IV.6)и так как (A, B) и (B, C) — пропорциональны (в силу случая II), то иBТеперь сделаем замену∂ϕ∂ϕ+C= 0.∂x∂y½z = ϕ(x, y)w = ψ(x, y),где ψ(x, y) — произвольная C 2 -функция, grad ψ 6= ~0, и такая, что заменаневырождена, то-есть¯¯¯ ∂ϕ ∂ϕ ¯¯¯¯ ∂x ∂y ¯¯¯¯ ∂ψ ∂ψ ¯ 6= 0.¯¯¯ ∂x ∂y ¯∂ϕ∂ϕТак как6= 0 (иначе из (IV.6) и= 0, что противоречит выбору ϕ),∂y∂x∂2uто в качестве ψ можно взять ψ(x, y) = x.
Тогда коэффициент при∂z 21 ³ ∂ϕ∂2u∂ϕ ´2будетA+B= 0, половина коэффициента приравнаA∂x∂y∂z∂w³ ∂ϕ∂ϕ ´ ∂ψ ³ ∂ϕ∂ϕ ´ ∂ψ∂ 2uA +B+ B+C= 0, а коэффициент прибудет2∂x∂y ∂x∂x∂y ∂y∂w∂ϕ ∂ϕ³´ ∂x ∂y 1∂ψ∂ψ 2A +B6= 0, так как иначе столбцы матрицы ∂ψ ∂ψ былиA∂x∂y∂x ∂yбы линейно зависимы и замена была бы вырождена. Поэтому получаем³´2e ∂ u = F1 z, w, u, ∂u , ∂uC∂w2∂z ∂we 6= 0 ⇒и делим на C³∂ 2u∂u ∂u ´= F2 z, w, u, ,.∂w2∂z ∂wЕсли первоначальное уравнение было линейным, то-есть³∂u ∂u ´∂u∂uF2 z, w, u, ,= A1+ B1+ C1 u + D1 , это уравнение∂z ∂w∂z∂wможно упростить, заменив неизвестную функцию u = vk, где коэффициент k(z, w) подберем так, чтобы уравнение на v приобрело ещё болеепростой вид.
Действительно, подставляем∂v ∂k∂ 2k∂v∂v∂ 2vk+2+v= A1 k + B1k + C2 v + D122∂w∂w ∂w∂w∂z∂w23и если 2∂k= B1 k, то-есть∂w1k(z, w) = e 2RB1 (z,w) dw,то уравнение перепишется∂v∂ 2v= A1+ C3 v + D22∂w∂zЭто простейший вид линейного уравнения параболического типа.24Лекция VПриведение к каноническому виду в области(продолжение)III. B 2 < AC. Тогда A и C 6= 0, так как B 2 не может быть меньшенуля. Тогда уравнения на нахождение ϕ и ψ — комплексныеAp¢ ∂ϕ∂ϕ ¡2+ B+ B−AC}=0|{z∂x∂y(V.1)<0и, к сожалению, чтобы найти решения такого уравнения, нам придется воспользоваться теоремой Ковалевской, и поэтому предположим, чтокоэффициенты A, B, C — аналитические в окрестности (x0 , y0 ). В этомслучае существует решение ϕ(x, y) = ϕ∗ (x, y) + iψ ∗ (x, y) уравнения (V.1),с C 2 -функциями ϕ∗ и ψ ∗ , причём grad ϕ 6= ~0.
Сделаем замену с помощьюфункций ϕ∗ и ψ ∗½z = ϕ∗ (x, y)w = ψ ∗ (x, y).Проверим, что эта замена невырождена. Отделяя действительную имнимую части в (V.1), имеемA∂ϕ∗∂ϕ∗ √∂ψ ∗= −B+ AC − B 2∂x∂y∂yи A∂ψ ∗∂ψ ∗ √∂ϕ∗= −B− AC − B 2.∂x∂y∂y∂ψ ∗∂ϕ∗Умножая первое уравнение на, второе наи вычитая из первого∂y∂yвторое, имеем∗∗AJ(ϕ , ψ ) =√B2h³ ∂ψ ∗ ´2³ ∂ϕ∗ ´2 i+AC −∂y∂y√h³³ ∂ψ ∗ ´2 i∗ ´22AC − B∂ϕили J(ϕ∗ , ψ ∗ ) =+.A∂y∂y∂ψ ∗∂ϕ∗∂ϕ∗∂ψ ∗==0⇒==0⇒∂y∂y∂x∂xgrad ϕ = ~0, противоречие с выбором ϕ.Поэтому, если J(ϕ∗ , ψ ∗ ) = 0, то25e Be и C.eПосмотрим, чему будут равны при замене коэффициенты A,Функция ϕ удовлетворяет уравнению³ ∂ϕ ´2³ ∂ϕ ´2∂ϕ ∂ϕA+C+ 2B=0∂x∂x ∂y∂yи выделяя действительную и мнимую части, имеем³ ∂ϕ∗ ´2³ ∂ϕ∗ ´2³ ∂ψ ∗ ´2³ ∂ψ ∗ ´2∂ϕ∗ ∂ϕ∗∂ψ ∗ ∂ψ ∗A+2B+C−A−2B−C=0∂x∂x ∂y∂y∂x∂x ∂y∂ye=Ceи⇒AA³ ∂ϕ∗ ∂ψ ∗ ∂ψ ∗ ∂ϕ∗ ´∂ϕ∗ ∂ψ ∗∂ϕ∗ ∂ψ ∗+B++C=0∂x ∂x∂x ∂y∂x ∂y∂y ∂ye = 0.
Поэтому уравнение перейдет в уравнение⇒B´³22e∂ u + Ce ∂ u = F1 z, w, u, ∂u , ∂u ,A∂z 2∂w2∂z ∂we=Ce 6= 0 (иначе бы уравнение стало первого порядка). Деляпричём Ae = C,e имеемна A³∂u ∂u ´∆u = F2 z, w, u, ,,∂z ∂wгде∂ 2u ∂ 2u∆u = 2 +— оператор Лапласа по двум переменным,∂z∂w2— канонический вид уравнения эллиптического типа.Формула Д‘Аламбера для одномерного волнового уравненияРассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения 22∂ u2∂ u=a ∂t2∂x2u(0, x) = ϕ(x) — начальный профиль струны ∂u (0, x) = ψ(x) — начальная скорость∂tПриведем уравнение к другому каноническому виду, из которого легче будет найти общее решение. Характеристический многочлен будет26A(ξ, ξ) = ξ02 − a2 ξ12 .
Характеристика — это такая кривая, нормаль к которой удовлетворяет характеристическому уравнению ξ02 − a2 ξ12 = 0. Есликривая представлена в виде x = x(t), то нормаль к этой кривой име³ dx ´³ dx ´2ет координаты − , 1 ⇒ уравнения характеристик− a2 = 0 ⇔dtdtdx= ±a ⇔ x = ±at+C± ⇒ первые интегралы уравнений характеристикdtбудут x ± at = C∓ . Делаем замену переменных с помощью этих первыхинтегралов³ ∂e∂uu ∂eu´½=a−ξ = x + at∂t∂ξ∂ηи u(t, x) = ue(ξ, η) ⇒∂eu ∂eu ∂uη = x − at=+∂x∂ξ∂η³´2∂ u∂ ∂eu∂ ∂eu=a(x+at,x−at)−(x+at,x−at)=∂t2∂t ∂ξ∂t ∂η³ ∂ 2ue∂ 2ue∂ 2ue´∂ 2u∂ 2ue∂ 2ue∂ 2ue= a2−2+,=+2+.2222∂ξ∂η∂ξ ∂η∂x∂ξ∂ξ∂η ∂η 2Следовательно, уравнение перепишетсяa2³ ∂ 2ue∂ξ 2−2³ ∂ 2u∂ 2ue∂ 2ue´e∂ 2ue∂ 2ue´∂ 2ue+ 2 = a2+2+⇔= 0.22∂ξ∂η ∂η∂ξ∂ξ∂η ∂η∂ξ∂ηПокажем, что общее решение последнего уравнения имеет следуюe(ξ, η) = f (ξ) + g(η), в котором f и g — произвольные функциищий вид uодного переменного, причем g — дифференцируема.
Для этого предпо∂ 2ueложим, что уравнение= 0 выполняется в некоторой выпуклой∂ξ∂η∂euобласти G плоскости Oξη. Обозначим функцию v(ξ, η) =(ξ, η), тогда∂η∂vуравнение перепишется(ξ, η) = 0. Зафиксируем переменную η = η0 .∂ξТогда функция v(ξ, η0 ) одного переменного ξ удовлетворяет обыкновенdv= 0, общее решение которогоному дифференциальному уравнениюdξимеет вид v = C, где C — произвольная постоянная.
При каждом фикси∂euрованном η = η0 эта постоянная своя, поэтому получаем(ξ, η) = C(η),∂ηгде C = C(η) — некоторая функция (в этом последнем выводе мы пользовались тем, что область G выпукла; если этого не предполагать, то∂euфункция(ξ, η) может зависеть и от ξ, однако так, что на каждой∂ξ27связной компоненте пересечения прямой η = η0 c областью G она постоянна).
Фиксируя теперь ξ = ξ0 , получаем дифференциальное уравнениеdeu= C(η), которое имеет решение не для произвольной функции C(η).dηЕсли точная первообразная у функции C(η) существует, то любое решение этого уравнения имеет вид ue(ξ0 , η) = F (η)+D, где F (η) какая-то однафиксированная (точная) первообразная функции C(η), а D — произвольная постоянная. Так как при каждом фиксированном ξ = ξ0 постояннаяD = D(ξ) может быть своя, то получаем общий вид решения, указанный выше.
Таким образом, любое решение ue(ξ, η) представляется в видеf (ξ) + g(η), где g — дифференцируемая функция одного переменного, аf — произвольная функция в интервалах, являющихся проекциями области G на оси координат. Непосредственная проверка показывает, что иобратно, для любых функций такого вида функция ue(ξ, η) = f (ξ) + g(η)является решением уравнения.Для того чтобы функция ue была дважды непрерывно дифференцируемой (что требуется, когда мы делаем замену переменных), нужно потребовать от функций f и g дважды непрерывной дифференцируемости,то-есть u(t, x) = f (x + at) + g(x − at), f, g ∈ C 2 (R).Теперь будем удовлетворять начальным условиям:u(0, x) = f (x) + g(x) = ϕ(x) и u0t (0, x) = af 0 (x) − ag 0 (x) = ψ(x)или½f (x) + g(x) = ϕ(x)⇒ 2af 0 (x) = ψ(x) + aϕ0 (x) ⇒ f (x) =00a(f (x) − g (x)) = ψ(x)ZxZx1ϕ(x)1ϕ(x)=ψ(ξ) dξ ++ C ⇒ g(x) = −ψ(ξ) dξ +−C2a22a200ϕ(x + at) + ϕ(x − at)1⇒ u(t, x) =+22ax+atZψ(ξ) dξФормулаД’Аламбераx−atЧтобы функции f и g были C 2 (R), нужно ϕ ∈ C 2 (R), ψ ∈ C 1 (R).И обратно, если ϕ и ψ такие, то формула Д’Аламбера удовлетворяетуравнению и начальным условиям с этими функциями ϕ и ψ.Пример 1.
Пусть начальный профиль струны имеет вид волны, показанной на рисунке, и нулевую начальную скорость.28ϕ(x + at)/2 — побежала влевосо скоростью a, ϕ(x − at)/2 —побежала вправо со скоростьюa, результирующее положениеaструны получается наложением(суперпозицией, интерференци( )xx0ей) этих двух полуволн.Если ϕ(x) ≡ 0 в некоторой окрестности x0 , то после того, как волнапройдет, решение u(t, x) будет в этой окрестности опять нулевым, то-естьпосле прохода одиночных волн над точкой не остается "след"волн или,как говорят, нет диффузии волн.uR(x)/0n(x)Пример 2.
Пусть теперь ϕ(x) ≡ 0, а ψ имеет вид, указанный на картинке ниже. Если Ψ — первообразная функции ψ, то, согласно формулеД’Аламбера, решение запишется в видеi1hu(t, x) =Ψ(x + at) − Ψ(x − at) .2a1Одна волнаΨ побежит вле2aRво со скоростью a, вторая вол1n(x)/0на − Ψ побежит вправо со ско2aростью a, получится горб и приR(x)t → +∞ он расширяется. После прохождения волн струнасдвинется на постоянную велиxчину. Пунктиром показано некоторое промежуточное положениеuволн и результирующего профиля струны.
Таким образом, еслиψ(x) 6≡ 0, то хотя u(t, x) в на1чальный момент времени в неко2aQторой окрестности x0 вместе сu0t (t, x) была нулевая, но волна( )после прохода над этой точкойxx0будет ощущаться (u(t, x) 6= 0) влюбой сколь угодно большой момент времени. Имеет место диффузия волн.На самом деле при некотором очень частном условии диффузия отсутствует. Это условие — финитность ψ (равенство нулю вне некоторого29конечного отрезка) иZ+∞ψ(x) dx = 0 (начальный импульс струны равен нулю).−∞Пример АдамараРассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа 2∂ u ∂ 2u+ 2 =0 ∂t2∂xn, k > 0.u(0, x) = 0 u0t (0, x) = sin nxnk−1Решение этого уравнения u(t, x) =sh nt sin nx. При этомnkа) оба начальных условия → 0 при n → ∞ вместе со всеми производными до порядка k − 1 не включительно;б) решение u(t, x) при любом t > 0 неограниченно при n → ∞.То-есть начальные условия (вместе со своими производными до скольугодно большого заранее заданного порядка) малы, а решение изменяется сильно в любой сколь угодной близости от начального момента времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
