semT4 (1120434)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 4Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения иметод характеристик№ 447, 449, 451, 448, 450, 452, 454, 453, 455, 456, 457, I, II, III, IV, V.1. Метод продолженияРассмотрим задачу Коши на прямой для простейшего случая волнового уравнения:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞).(1.1)Вспомним утверждения, доказанные в номерах 445 и 446:№ 445.Усл.f (x, t) ≡ 0.Утв.а) из нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) и ψ(−x) = −ψ(x) функций ϕ и ψ следует, чтоu(0, t) = 0;б) из чётности ϕ(−x) = ϕ(x) и ψ(−x) = ψ(x) функций ϕ и ψ следует, чтоux (0, t) = 0.№ 446.Усл.ϕ(x), ψ(x) ≡ 0.Утв.а) из нечётности f (−x, t) = −f (x, t) по переменной x функции f следует, чтоu(0, t) = 0;б) из чётности f (−x, t) = f (x, t) по переменной x функции f следует, чтоux (0, t) = 0.Это наблюдение и легло в основу метода продолжения.

Продемонстрируем его на примерах,а затем сформулируем в виде теоремы.2. № 447Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:2x > 0, t > 0; utt − a uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(2.1)ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;u(0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞);(2.2)vt (x, 0) = ψ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 4где функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) построены по функциям ϕ(x) и ψ(x) их нечётным продолжениемна всю числовую ось:при x > 0;при x > 0; ϕ(x), ψ(x),0,при x = 0;0,при x = 0;ϕ1 (x) =ψ1 (x) =(2.3)−ϕ(−x),при x < 0,−ψ(−x),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (2.2), то:1) из первого равенства (2.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (2.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (2.2) следует, чтоvt (x, 0) = ψ1 (x) ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 445, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2)справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) является также решением задачи (2.1) на полупрямой1 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (2.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае f (x, t) ≡ 0 получаем:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds.x−atОтвет:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds,x−atгде функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) определены равенствами (2.3).3.

№ 449Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(3.1)u(x,0)=0,x > 0;tu(0, t) = 0,t > 0.1То, что другого решения у задачи (2.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 4Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = f1 (x, t),v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞);(3.2)vt (x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),где функции f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её нечётным продолжением по переменной x на всю числовую ось:при x > 0; f (x, t),0,при x = 0;f1 (x, t) =(3.3)−f (−x, t),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (3.2), то:1) из первого равенства (3.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (3.2) следует, чтоv(x, 0) = 0 ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (3.2) следует, чтоvt (x, 0) = 0 ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (3.2)справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) является также решением задачи (3.1) на полупрямой2 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (3.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 получаем:1v(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ.0 x−a(t−τ )Ответ:1u(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функция f1 (x, t) определена равенством (3.3).2То, что другого решения у задачи (3.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 44. № 451Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия первого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(4.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tu(0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим две вспомогательные задачи на полупрямой:2v−av=0,x,t>0;wtt − a2 vxx = f (x, t),ttxxv(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = ϕ(x),иvt (x, 0) = ψ(x),x > 0;wt (x, 0) = ψ(x),v(0, t) = 0,t>0w(0, t) = 0,x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.(4.2)Как легко заметить, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (4.1).C другой стороны, задачи (4.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 447 и 449. Воспользуемся их результатами:1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+v(x, t) =22ax+atZψ1 (s)ds,x−at1w(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) ϕ(x),0,ϕ1 (x) =−ϕ(−x),и f1 (x, t) определены равенствамипри x > 0; ψ(x),при x = 0;0,ψ1 (x) =при x < 0,−ψ(−x),при x > 0; f (x, t),0,при x = 0;f1 (x, t) =−f (−x, t),при x < 0.при x > 0;при x = 0;при x < 0,(4.3)(4.4)Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (4.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствами (4.3) и (4.4), соответственно.c Д.С.

Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 45. № 448Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = 0,x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(5.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tux (0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞);(5.2)vt (x, 0) = ψ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),где функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) построены по функциям ϕ(x) и ψ(x) их чётным продолжениемна всю числовую ось:ϕ(x),при x > 0;ψ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =ψ1 (x) =(5.3)ϕ(−x),при x < 0,ψ(−x),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v –решение (5.2), то:1) из первого равенства (5.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (5.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (5.2) следует, чтоvt (x, 0) = ψ1 (x) ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (5.2)справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (5.2) является также решением задачи (5.1) на полупрямой3 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (5.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае f (x, t) ≡ 0 получаем:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds.x−atОтвет:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZψ1 (s)ds,x−atгде функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) определены равенствами (5.3).3То, что другого решения у задачи (5.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 46. № 450Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(6.1)ut (x, 0) = 0,x > 0;ux (0, t) = 0,t > 0.Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Кошина прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:x ∈ (−∞, +∞), t > 0; vtt − a2 vxx = f1 (x, t),v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞);(6.2)vt (x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),где функции f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её чётным продолжением по переменнойx на всю числовую ось:f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =(6.3)f (−x, t),при x < 0.Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (6.2), то:1) из первого равенства (6.2) следует, чтоvtt − a2 vxx = f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (6.2) следует, чтоv(x, 0) = 0 ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0;3) из третьего равенства (6.2) следует, чтоvt (x, 0) = 0 ≡ ψ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Наконец, в силу утверждения из № 446, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (6.2)справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) является также решением задачи (6.1) на полупрямой4 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.А для решения задачи (6.2) на всей прямой у нас есть формула Даламбера, по которой вслучае ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0 получаем:1v(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ.0 x−a(t−τ )Ответ:1u(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функция f1 (x, t) определена равенством (6.3).4То, что другого решения у задачи (6.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 47. № 452Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевогоусловия второго рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(7.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим две вспомогательные задачи на полупрямой:2v−av=0,x,t>0;wtt − a2 vxx = f (x, t),ttxxv(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = ϕ(x),иvt (x, 0) = ψ(x),x > 0;wt (x, 0) = ψ(x),vx (0, t) = 0,t>0wx (0, t) = 0,x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.(7.2)Как легко заметить, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (7.1).C другой стороны, задачи (7.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 448 и 450.

Воспользуемся их результатами:1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+v(x, t) =22ax+atZψ1 (s)ds,x−at1w(x, t) =2aZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствамиϕ(x),при x > 0;ψ(x),ϕ1 (x) =ψ1 (x) =ϕ(−x),при x < 0,ψ(−x),f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =f (−x, t),при x < 0.при x > 0;при x < 0,(7.3)(7.4)Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (7.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) определены равенствами (7.3) и (7.4), соответственно.Результаты номеров 447 – 452 сформулируем в виде теоремы:c Д.С.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций