semT3 (1120433)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 3Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера№ 370, 438, I, II, 385, 439, 445, 371, III, IV, 372, 446.1. № 370Найти общее решение уравненияutt − a2 uxx = 0.(1.1)Шаг 1. Находим замену переменныхСпособ 1 (через уравнения характеристик) Дискриминант характеристической квадратичной формы в данном случае равен a2 :∆ = a212 − a11 a22 = a2 > 0,⇒гиперболический тип.Так как a11 = 1 6= 0, составим уравнения характеристикdx= ±a,dtи первые интегралы имеют вид:⇒dxdt=√a12 ± ∆:a11x = ±at,x − at = c.x + at = c,Поэтому заменой, приводящей уравнние (1.1) к каноническому виду, является замена:ξ = x + at;(1.2)η = x − at.Способ 2 (через характеристическую квадратичную форму) В данном случае нам удобнее (и это верно всегда для уравнения гиперболического типа на прямой, если мы хотим явнонайти решение) привести квадратичную форму не к обычному её нормальному виду, а к видуQ̃ = µ1 µ2 .

Произведём необходимые преобразования:hiQ(λ1 , λ2 ) = λ21 − a2 λ22 = как разность квадратов = (λ1 + aλ2 )(λ1 − aλ2 ) = µ1 µ2 ,где µ1,2 связаны с λ1,2 по правилу µ11 aλ1=µ21 −aλ2Построим матрицу Γ замены переменных:Γ= AT −1=1−2a12−a −1=−a 11212a−12aОткуда, учитывая, что λ1 у нас соответствует производной по t, а λ2 – по x, получаем, чтозамену переменных надо произвести по правилу:111 (x + at); ξ = 2a22aξt=то естьηx111−η = 2a(x − at).22ac Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 3Итак, оба способа приводят нас к необходимости одной и той же замены (1.2) (с точностьюдо числового множителя).Шаг 2.

Приведение к каноническому видуПусть v(ξ, η) = u(x, t). Замена (1.2) даёт нам следующие соотношения для производных:ut = a (vξ − vη ) ,ux = v ξ + v η ,utt = a2 (vξξ − 2vξη + vηη ) .uxx = vξξ + 2vξη + vηη ,Подставив их в уравнение (1.1), получаем:utt − a2 uxx = a2 (vξξ − 2vξη + vηη ) − a2 (vξξ + 2vξη + vηη ) = 0,или, после сокращения,vξη = 0.(1.3)Шаг 3. Решение уравненияУравнение (1.3) решить легко. В самом деле, раз производная по η от функции двух переменных ∂vравна нулю, то ∂vне зависит от η, то есть:∂ξ∂ξ∂v= h(ξ).∂ξПроинтегрируем последнее равенство по ξ и учтём, что вместо константы интегрированиянадо поставить произвольную функцию от η, так как дифференцирование по ξ любую f2 (η)обратит в нуль.Zv(ξ, η) = h(ξ)dξ + f2 (η) = f1 (ξ) + f2 (η).| {z }=f1 (ξ)Переходя к исходным переменным, получаем:u(x, t) = f1 (x + at) + f2 (x − at),(1.4)где f1,2 – произвольные дважды дифференцируемые функции.Геометрический смысл равенства (1.4).Пусть f2 ≡ 0.

Тогда в момент времени t = 0 профиль струны задаётся равенствомu(x, 0) = f1 (x),в момент времени t = 1 – равенствомu(x, 1) = f1 (x + a),то есть график f1 к моменту t = 1 сдвинулся влево на величину a, и так далее.Если же, наоборот, f1 ≡ 0. Тогда в момент времени t = 0 профиль струны задаётся равенствомu(x, 0) = f2 (x),в момент времени t = 1 – равенствомu(x, 1) = f2 (x − a),то есть график f2 к моменту t = 1 сдвинулся вправо на величину a, и так далее.Вывод: Решение уравнения колебаний (1.1) представляет собой сумму двух волн,бегущих влево и вправо со скоростью a:u(x, t) = f1 (x + at) + f2 (x − at).| {z } | {z }←−c Д.С. Ткаченко-2-−→УМФ – семинар – К 5 – 32.

Формула ДаламбераРассмотрим задачу Коши на прямой для простейшего случая волнового уравнения:x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); utt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (−∞, +∞);ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (−∞, +∞).(2.1)Теорема 2.1.Усл.Функции f (x, t) ∈ C ((−∞, +∞) × [0, +∞)), ϕ(x), ψ(x) ∈ C(−∞, +∞).Утв.Решение задачи Коши (2.1) задаётся формулой Даламбера:ϕ(x + at) + ϕ(x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ(s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f (s, τ )dsdτ.(2.2)0 x−a(t−τ )Доказательство.

Полное доказательство мы приведём позже, в теме «Применение преобразования Фурье к решению уравнений математической физики», № 815, 816. Кроме того, егоможно получить элементарной подстановкой формулы Даламбера в равенства (2.1)1 .

А здесьограничимся случаемf (x, t) ≡ 0.Итак: мы убедились, что всякое решение уравнения utt − a2 uxx = 0 представляется в видеu(x, t) = f1 (x + at) + f2 (x − at).(1.4)Подставим в это равенство начальное условие:u(x, 0) = f1 (x) + f2 (x) = ϕ(x);ut (x, 0) = a (f10 (x) − f20 (x)) = ψ(x).=⇒ f1 (y) + f2 (y) = ϕ(y);Ry f1 (y) − f2 (y) = a1 ψ(s)ds + 2c.0Найдя полусумму и полуразность этих равенств, получим:Ryϕ(y)1 f1 (y) = 2 + a ψ(s)ds + c; f1 (x + at) =0откудаRyϕ(y) f2 (y) = 2 − a1 ψ(s)ds − c. f2 (x − at) =01ϕ(x+at)2+ϕ(x−at)2−12a12ax+atR0x−atRψ(s)ds + c;ψ(s)ds − c.0Заметим, что такой способ позволит убедиться лишь в том, что существует решение (2.1), задаваемоеформулой (2.2).

Но он не гарантирует, что нет других решений, задаваемых какими-то другими формулами.c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 3Наконец, подставим f1,2 в формулу (1.4):x+atx−atZZϕ(x + at) 1ϕ(x − at)1u(x, t) = f1 (x+at)+f2 (x−at) =+ψ(s)ds+c+−ψ(s)ds−c =22a22a0 x+at0x−atZZϕ(x + at) + ϕ(x − at)1ψ(s)ds −ψ(s)ds + c − c ==+ 22a| 0{z 0}x+atRψ(s)dsx−atx+atZ1ϕ(x + at) + ϕ(x − at)+=22aψ(s)ds.x−at3. № 438MНайти решение задачи Коши utt − a2 uxx = βx2 ,u(x, 0) = e−x ,ut (x, 0) = γ,x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞);x ∈ (−∞, +∞);x ∈ (−∞, +∞).(3.1)Чтобы найти решение, нам достаточно применить формулу Даламбера. Вычислим сначаласамый сложный входящий в неё интеграл:12aZtx+a(t−τZ )βf (s, τ )dsdτ =2a0 x−a(t−τ )Ztx+a(t−τZ )s2 dsdτ =0 x−a(t−τ )β=2aZt0x+a(t−τ )Ztβs3 33dτ=(x+a(t−τ))−(x−a(t−τ))dτ =3 x−a(t−τ )6a0Z t β32233223x + 3x (t − τ ) + 3x(t − τ ) + (t − τ ) − x − 3x (t − τ ) + 3x(t − τ ) − (t − τ )dτ ==6a0β=6aZth6x2 (t − τ ) + 2(t − τ )3 dτ = τ − t = p,idτ = dp =0β=6aZ0−tc Д.С.

Ткаченко6x2 (−p) + 2p3βdp =6a!2 p=04 p=0ppβ−6x2 + 2 =6x2 t2 + t4 .2 p=−t4 p=−t12a-4-УМФ – семинар – К 5 – 3Тогда, из формулы Даламбера получаем:ϕ(x + at) + ϕ(x − at)1u(x, t) =+22ax+atZ1ψ(s)ds +2aZtx−atx+a(t−τZ )f (s, τ )dsdτ =0 x−a(t−τ )e−x−at + e−x+at1=+22ax+atZγds +β6x2 t2 + t4 =12ax−at= e−x ·−ate+at+e2γ β+(x + at) − (x − at) +6x2 t2 + t4 =2a12aβ−x= e ch at + γt +6x2 t2 + t4 .12a4. № IНарисовать профиль бесконечной струныколебания описываются задачей Коши: utt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),в моменты времени t =1, 1 , 3 , 1, 2,4a 2a 4a a ax ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞);x ∈ (−∞, +∞);x ∈ (−∞, +∞),если её(4.1)где функцияψ(x) ≡ 0,а функция ϕ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.Решение: По формуле Даламбера (2.2) при f ≡ 0 и ψ(x) ≡ 0 получаем:u(x, t) =ϕ(x + at) + ϕ(x − at)2Отсюда можно сделать вывод, что функция u(x, t) есть сумма двух волн одинакового профиляf = ϕ2 , одна из которых бежит влево, а другая вправо.

Тогдапри t = 0:при t =1:4ac Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 3при t =1:2aпри t =3:4aпри t = a1 :при t = a2 :5. № IIНарисовать профиль бесконечной струныколебания описываются задачей Коши: utt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),в моменты времени t =11, 2a, a1 , a2 , a3 ,4ax ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞);x ∈ (−∞, +∞);x ∈ (−∞, +∞),если её(5.1)где функцияϕ(x) ≡ 0,а функция ψ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.Решение: По формуле Даламбера (2.2) при f ≡ 0 и ϕ(x) ≡ 0 получаем:1u(x, t) =2ax+atZψ(s)ds = Ψ(x + at) − Ψ(x − at),x−atгде Ψ(y) – некоторая первообразная функции1Ψ(y) =2aψ(x),2aнапример, функцияZyψ(s)ds.−1(В качестве нижнего предела мы взяли (−1), поскольку все изменения с функцией ψ(x) происходят только справа от этого числа.)c Д.С. Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 3Отсюда можно сделать вывод, что функция u(x, t) есть разность двух волн одинакового профиля Ψ, одна из которых бежит влево, а другая вправо.

Причём из волны, бегущей влево,вычитается волна, бегущая вправо. Найдём Ψ(y) для нашего случая:Zyкогда y ∈ (−∞, −1]; 0,1y+1Ψ(y) =ψ(s)ds =,когда y ∈ [−1, 1]; 12a2a,когда y ∈ [1, +∞).−1aГрафик этой функции выглядит так:Поэтому профиль струны будет принимать в различные моменты времени форму:при t = 0:при t =1:4aпри t =1:2ac Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 3при t = a1 :при t = a2 :при t = a3 :6.

№ 385Найти решение задачи: uxx − 2uxy + 4ey = 0,u(0, y) = ϕ(y),ux (0, y) = ψ(y),x ∈ (0, +∞), y ∈ (−∞, +∞);y ∈ (−∞, +∞);y ∈ (−∞, +∞).(6.1)Прежде чем решать эту задачу, заметим, что если переименовать переменную x в t, а y – в x,то получится обычная задача Коши для УЧП 2-го порядка.Шаг 1. Находим замену переменныхСпособ 1 (через уравнения характеристик) Дискриминант характеристической квадратичной формы в данном случае равен a2 :∆ = a212 − a11 a22 = (−1)2 − 1 · 0 = 1 > 0,⇒Так как a11 = 1 6= 0, составим уравнения характеристикdy= −1 ± 1 =dxгиперболический тип.dydx0,−2,⇒и первые интегралы имеют вид:y = c,c Д.С.

Ткаченкоy + 2x = c.-8-=√a12 ± ∆:a11y = c,y = −2x + c,УМФ – семинар – К 5 – 3Поэтому заменой, приводящей уравнние (6.1) к каноническому виду, является замена:ξ = y;(6.2)η = y + 2x.Способ 2 (через характеристическую квадратичную форму) В данном случае нам удобнее (как всегда для уравнения гиперболического типа на прямой) привести квадратичнуюформу не к обычному её нормальному виду, а к виду Q̃ = µ1 µ2 . Произведём необходимыепреобразования:Q(λ1 , λ2 ) = λ21 − 2λ1 λ2 = (λ1 − 2λ2 )λ1 = µ1 µ2 ,где µ1,2 связаны с λ1,2 по правилу µ11 −2λ1=µ21 0λ2Построим матрицу Γ замены переменных:Γ = AT−1=120 − 120 −1=2 111 2Откуда, учитывая, что λ1 у нас соответствует производной по x, а λ2 – по y, получаем, чтозамену переменных надо произвести по правилу: 0 − 12  ξ = − 12 · y;xξто есть=yη11 2η = 12 (2x + y).Итак, оба способа приводят нас к необходимости одной и той же замены (6.2) (с точностьюдо числового множителя).Шаг 2.

Приведение к каноническому видуПусть v(ξ, η) = u(x, t). Замена (6.2) даёт нам следующие соотношения для производных:ux = 2vη ,uy = vξ + vη ,uxx = 4vηη ,uxy = 2 (vξη + vηη ) .Подставив их в уравнение (6.1), получаем:uxx − 2uxy + 4ey = 4vηη − 2 · 2 (vξη + vηη ) + 4eξ = 0,или, после сокращения,vξη = eξ .(6.3)Шаг 3. Решение уравненияУравнение (6.3) решить легко – достаточно проинтегрировать его по ξ и η.

Сначала интегрируем по η:vξ = η · eξ + h(ξ).(Напомним, что функция h(ξ) появилась вместо и в качестве константы интегрирования.)Теперь проинтегрируем последнее равенство по ξ и учтём, что вместо константы интегрирования надо поставить произвольную функцию от η:Zξv(ξ, η) = η · e + h(ξ)dξ + f2 (η) = η · eξ + f1 (ξ) + f2 (η).| {z }=f1 (ξ)c Д.С.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций