semT5 (1120435)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 5Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой№ 582, 586, 588, 574, 581, 583, 585, 587, 584.1. Формула ПуассонаВ n-мерном Евклидовом пространстве En = {x = (x1 , . . . , xn )} рассмотрим задачу Коши дляпростейшего случая уравнения теплопроводности:ut − a2 ∆u = f (x, t),x ∈ En , t > 0;(1.1)u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ En .Опр. 1.1. Её решение задаётся формулой Пуассона:1√ nu(x, t) =2a πtZe−|x−ξ|24a2 tZt Z· ϕ(ξ)dξ +0 EnEnгде |x − ξ|2 =nP−|x−ξ|2e 4a2 (t−τ ) pn · f (ξ, τ )dξdτ,2a π(t − τ )(1.2)(xk − ξk )2 .k=1В частном случае, когда n = 1, формула Пуассона принимает вид:2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)Z+∞2 (t−τ )(x−ξ)2epe− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +· f (ξ, τ )dξdτ.u(x, t) =2a πt2a π(t − τ )1√(1.3)0 −∞−∞2. № 582Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия второго рода (условие теплоизолированного конца):x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(2.1)ux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),(2.2)где функция ϕ1 (x) построена по функции ϕ(x) её чётным продолжением на всю числовуюось:ϕ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =(2.3)ϕ(−x),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (2.2), то:1) из первого равенства (2.2) следует, чтоvt − a2 vxx = 0,c Д.С. Ткаченкоx ∈ (0, +∞), t > 0;-1-УМФ – семинар – К 5 – 52) из второго равенства (2.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая f ≡ 0:v(x, t) =1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ1 (ξ)dξ =Z+∞1√e2a πt−∞−(x−ξ)24a2 t−+e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.0ТогдаZ+∞(x−ξ)2(x+ξ)22(x + ξ)2(x − ξ)−−22−vx (x, t) =· e 4a t + −· e 4a t · ϕ1 (ξ)dξ,4a2 t4a2 t2a πt1√0откуда для vx (0, t) получаем:1vx (0, t) = 3 √4a t πtZ+∞−ξe0ξ24a2 t|−− ξe{zξ24a2 t· ϕ(ξ)dξ = 0.}=0Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt − a2 vxx = 0 иv(x, 0) = ϕ(x), краевому условиюvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) являетсятакже решением задачи (2.1) на полупрямой1 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.Ответ:u(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t−+e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.03.

№ 586Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия второго рода:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;(3.1)ux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = f1 (x, t),x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),1То, что другого решения у задачи (2.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С. Ткаченко-2-(3.2)УМФ – семинар – К 5 – 5где функция f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её чётным продолжением на всю числовую ось:f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =(3.3)f (−x, t),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v –решение (3.2), то:1) из первого равенства (3.2) следует, чтоvt − a2 vxx = f1 (x t) ≡ f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (3.2) следует, чтоx ∈ (0, +∞), t > 0.v(x, 0) = 0,Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая ϕ(x) ≡ 0:Z t Z+∞v(x, t) =0 −∞(x−ξ)2−e 4a2 (t−τ )p· f (ξ, τ )dξdτ =2a π(t − τ )Z t Z+∞0−e(x−ξ)24a2 (t−τ )2a0p−+e(x+ξ)24a2 (t−τ )π(t − τ )· f (ξ, τ )dξdτ.(3.4)ТогдаZ t Z+∞vx (x, t) =−(x − ξ)e−2·− τ)(x−ξ)24a2 (t−τ )4a2 (t02a0−+ (x + ξ)epπ(t − τ )(x+ξ)24a2 (t−τ )· f (ξ, τ )dξdτ,откуда для vx (0, t) получаем:=0Z t Z+∞vx (0, t) =z−}|ξ24a2 (t−τ )−+ ξe−2−ξep·− τ)2a π(t − τ )4a2 (t00{ξ24a2 (t−τ )· f (ξ, τ )dξdτ = 0.Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt −a2 vxx = f1 (x, t)и v(x, 0) = 0, ещё и краевому условиюvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) являетсятакже решением задачи (3.1) на полупрямой2 :Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)− 22 (t−τ )4a(t−τ )e+epu(x, t) =· f (ξ, τ )dξdτ.2a π(t − τ )020То, что другого решения у задачи (3.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 54. № 588Найти решение задачи для уравнения теплопроводности:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx + hu = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;ux (0, t) = 0,t > 0.(4.1)Шаг 1. Избавление от младшего слагаемогоЧтобы избавиться от слагаемого hu, которое отличает данную задачу от уже решённой в№ 586, сделаем замену:w(x, t) = u(x, t) · ehtwt = (ut + hu) · eht .=⇒(4.2)Умножим уравнение ut − a2 uxx + hu = f (x, t) на eht и получим для новой функции wwt − a2 wxx = f (x, t) · eht .Таким образом, введённая функция w(x, t) является решением задачи:x > 0, t > 0; wt − a2 wxx = f1 (x, t) ≡ f (x, t) · eht ,w(x, 0) = 0,x > 0;wx (0, t) = 0,t > 0.(4.3)Шаг 2.

Решение полученной задачиРешение этой задачи мы получили в № 586. Воспользуемся результатом:Z t Z+∞w(x, t) =0−e0(x−ξ)24a2 (t−τ )2ap−+e(x+ξ)24a2 (t−τ )· f1 (ξ, τ )dξdτ.| {z }π(t − τ )f (ξ, τ )·ehτВозвращаясь к функции u(x, t) = w(x, t) · e−ht , получаем:Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)− 22 (t−τ )4a(t−τ )e+epu(x, t) =· f (ξ, τ ) · e−h(t−τ ) dξdτ.2a π(t − τ )005.

№ 574MПоказать, что функцияu(x, t) =1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ,(5.1)−∞где ϕ(x) – непрерывная ограниченная на R функция, является решением следующей задачи:ut − a2 uxx = 0,x ∈ R, t > 0;(5.2)u(x, 0) = ϕ(x),x > 0.Шаг 1. Формальное дифференцирование (5.1)Найдём формально (то есть не задумываясь над правомощностью этих действий) производныеот функции u(x, t), входящие в уравнение (5.1).1ut = − √ 34a π t 2c Д.С.

ТкаченкоZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +−∞1√2a πt-4-Z+∞−∞2(x − ξ)2 − (x−ξ)4a2 t · ϕ(ξ)dξ;·e4a2 t2УМФ – семинар – К 5 – 5далее, так как2d2 − (x−ξ)4a2 t=edx222d − (x−ξ)2(x − ξ) − (x−ξ)4a2 t ,e 4a2 t = −·edx4a2 t1(x − ξ)2− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t,то для uxx получаем выражение1√uxx =2a πtZ+∞(x − ξ)21− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.−∞Шаг 2.

Подстановка формальных производных в уравнение теплопроводностиПодставив найденные формальные производные ut и uxx в уравнение ut − a2 uxx = 0, видим,что окрашенные одинаково слагаемые друг друга сокращают, и уравнение превращается вверное тождество:ut − a2 uxx1=− √ 34a π t 2Z+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +−∞1√2−a ·2a πtZ+∞2a πtZ+∞1√2(x − ξ)2 − (x−ξ)4a2 t · ϕ(ξ)dξ−·e4a2 t2−∞1(x − ξ)2− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ ≡ 0.−∞Шаг 3.

Формальная подстановка решения в начальное условиеФункция u(x, t), заданная формулой (5.1), не определена при t = 0. Однако, её можно доопределить в начальный момент времени по непрерывности, то есть считать её равной в моментt = 0 её пределу при t → 0 + 0:√Z+∞(x−ξ)2ξ=x+2aηt,⇒−√e 4a2 t · ϕ(ξ)dξ ==u(x, 0) = lim u(x, t) = limt→0+0t→0+0 2a πtdξ = 2a t dη1√−∞1= lim √t→0+0πZ+∞−η 2e√1· ϕ(x + 2aη t)dη = √π−∞1= ϕ(x) · √πZ+∞√2e−η · lim ϕ(x + 2aη t) dη =t→0+0−∞Z+∞hi1 √−η 2e dη = ϕ(x) · √ · π = как интеграл Эйлера – Пуассона = ϕ(x)π−∞Таким образом, мы убедились, что формула (5.1) действительно задаёт решение задачи (5.2),если все формальные действия Шагов 1 и 3 являются правомощными.Шаг 4.

Обоснование правомощности формальных действийПоскольку все интегралы, участвующие в наших формальных операциях, являются равномерно по параметрам x и t сходящимися в любом замкнутом прямоугольнике(x, t) ∈ [x1 , x2 ] × [t1 , t2 ], 0 < t1 < t2 для Шага 1, и в прямоугольнике (x, t) ∈ [x1 , x2 ] × [0, T ]для Шага 3, их можно в этом прямоугольнике дифференцировать по параметрам и переходить к пределу по параметру t.А равномерная сходимость этих интегралов легко показать по признаку Вейерштрасса, например, для Шага 3:Z+∞(x−ξ)21√e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ2a πt−∞c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 5в силу ограниченности |ϕ(ξ)| 6 M , можно мажорировать интеграломM√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t dξ,−∞сходимость которого легко проверить:ξ−x√ ,Z+∞Z+∞η=2a t(x−ξ)2MM2√e− 4a2 t dξ = e−η dη == √π2a πtdη = 2adξ√t−∞−∞√hiπMM=.= как интеграл Эйлера – Пуассона = √ ·2π 2Итак, все проделанные на шагах 1–3 формальные действия мы действительно имели праводелать.6.

№ 581Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия первого рода:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(6.1)u(0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),(6.2)где функция ϕ1 (x) построена по функции ϕ(x) её нечётным продолжением на всю числовую ось:ϕ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =(6.3)−ϕ(−x),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (6.2), то:1) из первого равенства (6.2) следует, чтоvt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (6.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая f ≡ 0:v(x, t) =c Д.С. Ткаченко1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ1 (ξ)dξ =−∞1√Z+∞e2a πt0-6-−(x−ξ)24a2 t−−e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.УМФ – семинар – К 5 – 5Тогда для v(0, t) получаем:v(0, t) =Z+∞1√−e2a πt0ξ24a2 t|−−e{zξ24a2 t· ϕ(ξ)dξ.}=0Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt − a2 vxx = 0 иv(x, 0) = ϕ(x), краевому условиюv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) являетсятакже решением задачи (6.1) на полупрямой3 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.Ответ:u(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t−−e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.07.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций