semT6 (1120436)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 6Метод Фурье для однородных уравнений на отрезке [0, l]1. Разложение в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма–ЛиувилляОпр. 1.1. Задача определения пары {λ, X(x)}, где X(x) 6≡ 0X00 (x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,x ∈ (0, l);(1.1)называется задачей Штурма–Лиувилля.При этом те значения λ, при которых (1.1) имеет нетривиальное решение X(x), называютсясобственными значениями задачи (1.1), а сама функция X(x) – собственной функциейзадачи Штурма–Лиувилля (1.1).Теорема 1.1 (В.А. Стеклов).Усл.{Xk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Xk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbf (x)Xk (x)dx(f, Xk )ack ==(1.2)Rb 2kXk k2Xk (x)dxaДоказательство.

Равномерную сходимость к функции f (x) мы обосновывать не будем, новыведем формулу для вычисления ck .В силу общих свойств рядов Фурье, их (как сходящиеся равномерно на любом отрезке, гденет точек разрыва f (x)) можно интегрировать почленно. Поэтому, в силу ортогональностисистемы {Xk } в L2 [0, l]:Zl(Xk , Xn )L2 [0, l] ≡Xk (x)Xn (x)dx =0,kXn k2 ,при k 6= n;при k = n.(1.3)0Преположим, что рядверно равенство:∞Pck Xk (x) действительно сходится на [0, l] к функции f (x), то естьk=1f=∞Xck Xk (x),x ∈ [0, l].k=1Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2 [0, l], то естьc Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 6• домножим его на Xn и• проинтегрируем по [0, l].В силу (1.3), получим(f, Xn ) =∞Xck (Xk , Xn ) = cn (Xn , Xn ) = cn kXn k2 .k=1Отсюда сразу получается доказываемая формулаck =(f, Xk ).kXk k2В силу данной теоремы, нам достаточно один раз вычислить kXk k2 для каждой задачиШтурма-Лиувилля, чтобы знать вид коэффициентов разложения ck .2.

№ 643Найти решение u(x, t) начально-краевой задачиutt = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(2.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(2.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T”(t) = a2 X”(x)T(t)Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T”(t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(2.3)(2.4)а для функции T(t) – уравнение:T”(t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(2.5)Задача (2.3)–(2.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (2.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(2.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2c Д.С.

Ткаченко√-2-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(2.7)(2.8)УМФ – семинар – К 5 – 6√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒X(x)=csin(λ x).1√Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что λ l = πn откуда имеембесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2λn = 2 ,ln ∈ N.(2.9)Им соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx ,n ∈ N.Xn (x) = sinl(2.10)√• При λ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒ X(x) = 2c1 sh −λ x.Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x. Поэтому извторого краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (2.3), (2.4). Стало быть, рассматривать задачу (2.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna Tn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,ll(2.11)(2.12)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (2.1).Будем искать решение задачи (2.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx n=1l πna πna An cost + Bn sint .ll(2.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(2.14)n=1Xn (x)T0n (0) =n=1∞XBn apλn Xn (x).(2.15)n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1c Д.С. Ткаченко∞Xn=1-3-βn Xn (x),(2.16)УМФ – семинар – К 5 – 6Выясним, какими должны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (2.16) на Xm =скалярно в смысле L2 [0, l]:sin πmxlZl(ϕ, Xm ) = αmsin2 πmx lαmdx =20Zl 1 − cos2πmxlαmdx =20Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sin πnx dx.(2.17)dx.(2.18)l0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin πnx l0То есть αn , βn вычисляются в точности по формуле (1.2)1 .Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (2.13) решения u(x, t), сопоставляя (2.14) – (2.16), получим:2An = αn =lZlϕ(x) sin πnx ldx;(2.19)0βn2Bn = √ =aπna λnZlψ(x) sin πnx ldx.(2.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (2.13) найденные коэффициентыAn , Bn из (2.19), (2.20).3. № 649mНайти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(3.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиями u(0, t) =ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T(t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X0 (l) = 0.(3.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T”(t) = a2 X”(x)T(t)1Можно было воспользоваться формулой (1.2) сразу.

Для этого нам пришлось бы вычислить kXn k2 , тоRlесть тот же самый интеграл sin2 πmxdx.l0c Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 6Предположив, что X(x)T(t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T(t) 6= 0:−X”(x)T”(t)=− 2= λ.X(x)a T(t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X0 (l) = 0,(3.3)(3.4)а для функции T(t) – уравнение:T”(t) + λa2 T(t) = 0,t > 0.(3.5)Задача (3.3)–(3.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Общее решение уравнения (3.3) имеетвид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(3.6)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(3.7)(3.8)√• При λ > 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=0,⇒X(x)=csin(λ x) ⇒21√√X0 (x)√ = c1 λ cos( λ x).

Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем,что λ l = π 12 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачиШтурма–Лиувилля:2π(2n − 1),n ∈ N.(3.9)λn =2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l(3.10)√• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=−c,⇒X(x)=2csh−λ x ⇒211√√00X (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условия X (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X0 (x) = c1 ).

Поэтому из второго краевого условия X0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =, Xn (x) = sinx , n∈N2l2lзадачи (3.3), (3.4). Стало быть, рассматривать задачу (3.5) имеет смысл только при λ = λn , имы получаем семейство задач:T”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π(2n − 1)aπ(2n − 1)aTn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,2l2lc Д.С. Ткаченко-5-(3.11)(3.12)УМФ – семинар – К 5 – 6где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (3.1).Будем искать решение задачи (3.1) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1π(2n − 1)x2lπ(2n − 1)aπ(2n − 1)aAn cost + Bn sint.2l2l(3.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =∞Xn=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞XAn Xn (x),(3.14)n=1Xn (x)T0n (0) =n=1∞XBn apλn Xn (x).(3.15)n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(3.16)n=1Выясним,какимидолжны быть коэффициенты αn , βn . Для этого домножим (3.16) на Xm =π(2m−1)x скалярно в смысле L2 [0, l]:sin2lZl(ϕ, Xm ) = αmsin2Zl π(2m − 1)αmπ(2m − 1)x dx =xdx =1 − cos2l2l00αm=2Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(3.17)π(2n − 1)x dx.2l(3.18)0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (3.13) решения u(x, t), имеем:2An = αn =lZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx;2l(3.19)0βn4Bn = √ =aπ(2n − 1)a λnZlψ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(3.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (3.13) найденные коэффициентыAn , Bn из (3.19), (4.4).c Д.С.

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 64. № 645Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,+ sin 3πx.u(x, 0) = x, ut (x, 0) = sin πx2l2l(4.1)Данная задача – частный случай рассмотренной в №649m . Поэтому мы можем сразу воспользоваться формулами (3.13), (3.19), (4.4) для получения ответа. Найдём по (3.19) коэффициенты An :2An =lZlx sinπ(2n − 1)x dx =2l0x=lZl2l(2n − 1)π 2l(2n − 1)π2x cosx +cosx dx == −l(2n − 1)π2l(2n − 1)π2lx=00"x=l #22224l(2n − 1)π 4l8ln+1==sinx (−1)(−1)n+1 .=22222π2l (2n − 1) π2ll(2n−1)π(2n−1)x=0(4.2)Для того, чтобы найти Bn , заметим,что заданная функция ψ(x) уже разложена в ряд по(2n−1)πфункциям Xn (x) = sinx :2ψ(x) = sinπx3πx+ sin.2l2l(4.3)2lСледовательно, β1 = β2 = 1, β3 = β4 = .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций