SLprob (1120430)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IЗадачи Штурма-Лиувилля в простейшем случае1. I рода слева – I рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями I-го рода: 00X (x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√(1.1)при λ > 0;√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2при λ < 0;при λ = 0;√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒X(x)=csin(λ x).1√Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что λ l = πn откуда имеембесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:π 2 n2,n ∈ N.l2Им соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = sin,n ∈ N.lλn =√• При λ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒ X(x) = 2c1 sh −λ x.Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x. Поэтому извторого краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (1.1).(1.2)2. II рода слева – II рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями II-го рода: 00X (x) + λX(x) = 0,X0 (0) = X0 (l) = 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2-1-при λ > 0;при λ < 0;при λ = 0;(2.1)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I√0• При λ > 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=0,⇒X(x)=ccos(λ x) ⇒12√√00X(x)=−cλsin(λx).ПоэтомуизвторогокраевогоусловияX(l)=0получаем,что2√λ l = πk откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля: πn 2λn =,n ∈ N.lИм соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx 2,n ∈ N.Xn (x) = cosll(множитель 2l появляется, чтобы система этих функций превратилась из ортогональнойв ортонормированную)√0• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=c,⇒X(x)=2cch−λ x ⇒121√√X 0 (x) = 2c1 −λ sh( −λ x).

Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 . Второе краевое условие X 0 (l) = 0 выполнено, поэтому задача Штурма–Лиувилля (??)–(??)имеет собственное число, равное нулю: λ0 = 0. Ему соответствует собственная функицяX0 (x) ≡ 1l .Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx πn 2, Xn (x) = cos,λ0 = 0, X0 (x) ≡ 1; λn =lln∈N(2.2)задачи (2.1).3. I рода слева – II рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием I-го рода на левом конце отрезка [0, l]и II-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(3.1)X(0) = X0 (l) = 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√при λ > 0;√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2при λ < 0;при λ = 0;√• При λ > 0 √имеем изкраевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 sin( λ x) ⇒√00X√ (x) = c1 λπ cos( λ x).

Поэтому из второго краевого условия X (l) = 0 получаем, чтоλ l = πk − 2 откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)xXn (x) = sin,n ∈ N.2l-2-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I√• При λ < 0 имеемизкраевогоусловияX(0)=0,чтоc=−c,⇒X(x)=2csh−λ x ⇒121√√X 0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем,что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x. Второекраевое условие X 0 (l) = 0 означает тогда, что c1 = 0, поэтому задача Штурма–Лиувилля(3.1) не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)xπ(2n − 1), Xn (x) = sin, n∈Nλn =2l2l(3.2)задачи (3.1).4.

II рода слева – I рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием II-го рода на левом конце отрезка [0, l]и I-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(4.1)X0(0) = X(l) = 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√при λ > 0;√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2при λ < 0;при λ = 0;√• При λ > 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, √⇒ X(x) = c2 cos( λ x).Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что λ p = π − 12 + k откудаимеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2k − 1)λk =,k ∈ N.(4.2)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2k − 1)x ,k ∈ N.Xk (x) = cos2l(4.3)√• При λ < 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = c2 , ⇒ X(x) = 2c1 ch −λ x.Поэтому из второго краевого условия X(p) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет нетривиальных решений при λ < 0.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 . Поэтому извторого краевого условия X(p) = 0 получаем, что c2 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилляне имеет нетривиальных решений при λ = 0.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2k − 1)π(2k − 1)λk =, Xk (x) = cosx , k∈N2l2lзадачи (4.1).-3-(4.4)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I5. I рода слева – III рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием I-го рода на левом конце отрезка [0, l]и III-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(5.1)X(0) = X0 (l) + hX(l) = 0,h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√при λ > 0;√− −λ xX(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2при λ < 0;при λ = 0;• При λ > 0 из краевого условия X(0) = 0 следует, что√√√c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 sin( λ x) ⇒ X 0 (x) = c1 λ cos( λ x).√√0Поэтому√ из второго краевого условия X (l) + hX(l) = 0 получаем, что λ cos( λ l) +h sin( λ l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может быть равен нулю, т.к.

тогда синусравнялся бы (±1), и равенство не было бы выполнено)√√λ = −h tg( λ l)Это уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений λn ,n ∈ N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может быть найденосо сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем, удовлетворившисьзнанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:√√λn > 0 − решения уравненияλ = −h tg( λ l),n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций:pXn (x) = sinλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ), и второе краевое условие X 0 (l) + hX(l) = 0 даёт требование c1 + c1 hl = 0,откуда c1 = 0, и у данной задачи нет нетривиальных решений при λ = 0.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийλn > 0− решения уравнения√√λ = −h tg( λ l),задачи (5.1).-4-pXn (x) = sinλn x ,n ∈ N (5.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I6.

II рода слева – III рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием II-го рода на левом конце отрезка [0, l]и III-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(6.1)X0 (0) = X0 (l) + hX(l) = 0,h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеемпри λ > 0;√− −λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)√И из краевогоусловияX 0 (0) = 0 следует, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 cos( λ x) ⇒√√0X 0 (x) = −c2 λ√sin( λ√x).

Поэтому√из второго краевого условия X (l) + hX(l) = 0 получаем, что − λ sin( λ l) + h cos( λ l) = 0, откуда (очевидно, косинус не может бытьравен нулю, т.к. тогда синус равнялся бы (±1), и равенство не было бы выполнено)√√λ tg( λ l) = hЭто уравнение, как легко увидеть из графика, имеет бесконечно много решений λn ,n ∈ N. Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое может быть найденосо сколь угодно большой точностью численно.

Мы их искать не будем, удовлетворившисьзнанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:ppλn tg( λn l) = h,n ∈ N.λn > 0 − решения уравненияИм соответствует бесконечное множество собственных функций:pXn (x) = cosλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X 0 (0) = 0, что c1 = 0, ⇒ X(x) = c2 ⇒ X 0 (x) =0), и второе краевое условие X 0 (l) + hX(l) = 0 даёт требование c2 = 0, т.е.

данная задачаШтурма–Лиувилля при λ = 0 также не имеет нетривиальных решений.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решенийλn > 0− решения уравненияppλn tg( λn l) = h,задачи (6.1).-5-Xn (x) = cospλn x ,n ∈ N (6.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I7. III рода слева – I рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием III-го рода на левом конце отрезка[0, l] и I-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(7.1)X0 (0) − hX(0) = X(l) = 0,h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 eX(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеемпри λ > 0;√− −λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)И из краевого условия X0 (0) + hX(0) = 0 следует, что√√c2λ c1 − h c2 = 0 ⇒λ=h .c1С другой стороны, из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что√√√c2c1 sin( λ l) + c2 cos( λ l) = 0 ⇒= − tg( λ l).c1Из двух последних равенств, наконец, получаем:√√√λ = −h tg( λ l),λc1 − hc2 = 0.√√Уравнение λ = −h tg( λ l), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно многорешений λn , n ∈ N.

Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое можетбыть найдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем,удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:√√λ = −h tg( λ l),n ∈ N.λn > 0 − решения уравненияИм соответствует бесконечное множество собственных функций: pppλn x + λn · cosλn x ,n ∈ N.Xn (x) = h sin• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − hX(0) = 0, что c1 − hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2 (hl + 1) = 0.Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√√λn > 0 − решенияуравненияλ=−htg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λn · cos λn x , n ∈ Nзадачи (7.1).-6-(7.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций