semT8 (1120438)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 8Метод Фурье в случае неоднородных краевых условий1. Сведение неоднородных краевых условий к однороднымРассмотрим неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с неоднородными краевыми условиями первого рода.ut − a2 uxx = f (x, t),u(0, t) = µ(t)u(l, t) = ν(t),u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)Её легко свести к аналогичной задаче, но уже с однородными краевыми условиями. Это делается при помощи подходящей замены переменных:xl−xµ(t) + ν(t) .(1.5)v(x, t) = u(x, t) −llВ самом деле, при x = 0v(0, t) = u(0, t) −l0µ(t) + ν(t) = µ(t) − µ(t) = 0.llА при x = lv(l, t) = u(l, t) −l−llµ(t) + ν(t) = ν(t) − ν(t) = 0.llЧто же после такой замены произойдёт с уравнением и начальным условием? Изучим этотвопрос.

Посколькуl−x 0x 0ut = v t +µ (t) + ν (t) ,uxx = vxx ,llто уравнение примет видl−x 0x 02vt − a vxx = f (x, t) −µ (t) + ν (t) = f1 (x, t).llНачальное условие преобразуется следующим образом:l−xxv(x, 0) = ϕ(x) −µ(0) + ν(0) = ϕ1 (x).llИтак, исходная задача свелась к задаче нахождения функции v(x, t) с однородными краевымиусловиями:vt − a2 vxx = f1 (x, t),v(0, t) = 0v(l, t) = 0,v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],гдеf1 (x, t) = f (x, t) −c Д.С.

Ткаченкоl−x 0x 0µ (t) + ν (t) ,ll-1-ϕ1 (x) = ϕ(x) −l−xxµ(0) + ν(0) .llУМФ – семинар – К 5 – 8Замечание 1.1. В случае любых краевых условий, кроме условий II-го рода на обоих концах,можно подобрать функциюw(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t)так, чтобы для функции v(x, t) = u(x, t) − w(x, t) выполнялись однородные краевые условиятого же вида.Отдельный случай представляют собой условия II-го рода на обоих концах. В этом случаефункцию w в виде w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t) найти можно не всегда, но всегда еёможно найти в видеw(x, t) = (a1 x2 + b1 x)µ(t) + (a2 x2 + b2 x)ν(t).Пример 1.1. Краевые условияux (0, t) − hu(0, t) = µ(t),ux (l, t) = ν(t)сводятся к однородным так:найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) − hw(0, t) = µ(t),wx (l, t) = ν(t).Тогдаw(0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),wx (0, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t),wx (l, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t).Из второго краевого условияν(t) = a1 µ(t) + a2 ν(t)получаем:a1 = 0,a2 = 1.А из первого краевого условия с учётом найденных a1,2µ(t) = (a1 µ(t) + a2 ν(t)) − h (b1 µ(t) + b2 ν(t)) = −hb1 µ(t) + (1 − hb2 )ν(t)находим:b1 = −1,hb2 =1.hНаконец,w(x, t) = −1xh + 1µ(t) +ν(t).hhПример 1.2.

Краевые условия II-го родаux (0, t) = µ(t),ux (l, t) = ν(t)сводятся к однородным так:найдём w(x, t) = (a1 x2 +b1 x)µ(t)+(a2 x2 +b2 x)ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) = µ(t),wx (l, t) = ν(t)Тогдаwx (0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),wx (l, t) = (2a1 l + b1 )µ(t) + (2a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = b1 µ(t) + b2 ν(t)c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 8получаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2ν(t) = (2a1 l + b1 )µ(t) + (2a2 l + b2 )ν(t) = (2a1 l + 1)µ(t) + 2a2 lν(t)находим:a1 = −1,2la2 =1.2lНаконец,w(x, t) =x2x−2lµ(t) +x2ν(t).2l2.

№ 659Свести задачуutt − uxx = 0,u(0, t) = µ(t), u(l, t) = ν(t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l](2.1)(2.2)(2.3)(2.4)к задаче с однородными краевыми условиями.Шаг № 1. Построение вспомогательной функции.Найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямw(0, t) = µ(t),w(l, t) = ν(t)Вид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаw(0, t) = b1 µ(t) + b2 ν(t),w(l, t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = b1 µ(t) + b2 ν(t)получаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2ν(t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t) = (a1 l + 1)µ(t) + a2 lν(t)находим:1a1 = − ,l1a2 = .lНаконец,l−xxxxw(x, t) = 1 −µ(t) + ν(t) =µ(t) + ν(t).llllДля построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt =l−x 0xµ (t)+ ν 0 (t),llc Д.С.

Ткаченкоwtt =l−xxµ”(t)+ ν”(t),ll-3-wxx ≡ 0,w(x, 0) =l−xxµ(0)+ ν(0).llУМФ – семинар – К 5 – 8Поэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:xl−xµ”(t) + ν”(t),llw(0, t) = µ(t), w(l, t) = ν(t),l−xxw(x, 0) =µ(0) + ν(0),lll−x 0xwt (x, 0) =µ (0) + ν 0 (0),llwtt − wxx =x ∈ (0, l), t > 0,(2.5)t > 0,(2.6)x ∈ [0, l].(2.7)x ∈ [0, l].(2.8)Шаг № 2. Сведение к задаче с однородными краевыми условиями.Для функции v(x, t) = u(x, t)−w(x, t), вычитая из (2.1) – (2.4) равенства (2.5) – (2.8), получимзадачуxl−xµ”(t) − ν”(t),llv(0, t) = v(l, t) = 0,l−xxv(x, 0) = ϕ(x) −µ(0) + ν(0) ,lll−x 0x 0vt (x, 0) = ψ(x) −µ (0) + ν (0) ,llvtt − a2 vxx = −x ∈ (0, l), t > 0,(2.9)t > 0,(2.10)x ∈ [0, l].(2.11)x ∈ [0, l].(2.12)3. № 660Свести задачуutt − uxx = 0,ux (0, t) = µ(t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = 0,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l],x ∈ [0, l]u(l, t) = ν(t),(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)к задаче с однородными краевыми условиями.Шаг № 1.

Построение вспомогательной функции.Найдём w(x, t) = (a1 x + b1 )µ(t) + (a2 x + b2 )ν(t), чтобы она удовлетворяла краевым условиямw(0, t) = µ(t),w(l, t) = ν(t)Вид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаwx (0, t) = a1 µ(t) + a2 ν(t),w(l, t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t).Из первого краевого условияµ(t) = a1 µ(t) + a2 ν(t)получаем:a1 = 1,a2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных a1,2ν(t) = (a1 l + b1 )µ(t) + (a2 l + b2 )ν(t) = (l + b1 )µ(t) + b2 ν(t)находим:b1 = −l,c Д.С.

Ткаченко-4-b2 = 1.УМФ – семинар – К 5 – 8Наконец,w(x, t) = (x − l)µ(t) + ν(t).Для построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt = (x − l)µ0 (t) + ν 0 (t),wtt = (x − l)µ”(t) + ν”(t),wxx ≡ 0,w(x, 0) = (x − l)µ(0) + ν(0).Поэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:wtt − wxx = (x − l)µ”(t) + ν”(t),wx (0, t) = µ(t), w(l, t) = ν(t),w(x, 0) = (x − l)µ(0) + ν(0),wt (x, 0) = (x − l)µ0 (0) + ν 0 (0),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)Шаг № 2. Сведение к задаче с однородными краевыми условиями.Для функции v(x, t) = u(x, t)−w(x, t), вычитая из (3.1) – (3.4) равенства (3.5) – (3.8), получимзадачуvtt − vxx = −(x − l)µ”(t) − ν”(t),vx (0, t) = v(l, t) = 0,v(x, 0) = ϕ(x) − ((x − l)µ(0) + ν(0)) ,vt (x, 0) = ψ(x) − ((x − l)µ0 (0) + ν 0 (0)) ,x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)4.

№ 655Найти решение u(x, t) задачиutt − a2 uxx = f (x),ux (0, t) = α, ux (l, t) = β,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),x ∈ (0, l), t > 0,t > 0,x ∈ [0, l].x ∈ [0, l].(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)Шаг № 1. Сведём эту задачу к задаче с однородными краевыми условиями.Найдём w(x, t) = (a1 x2 + b1 x)α + (a2 x2 + b2 x)β, чтобы она удовлетворяла краевым условиямwx (0, t) = α,wx (l, t) = βВид искомой функции w(x, t) даёт на концах отрезкаwx (0, t) = b1 α + b2 β,wx (l, t) = (2a1 l + b1 )α + (2a2 l + b2 )β.Из первого краевого условияα = b1 α + b2 βполучаем:b1 = 1,b2 = 0.А из второго краевого условия с учётом найденных b1,2β = (2a1 l + b1 )α + (2a2 l + b2 )β = (2a1 l + 1)α + 2a2 lβнаходим:a1 = −c Д.С.

Ткаченко1,2l-5-a2 =1.2lУМФ – семинар – К 5 – 8Наконец,w(x, t) =x2x−2lα+x2β−α 2β = αx +x.2l2lДля построенной таким образом функции w(x, t) имеем:wt = wtt ≡ 0,β−α,lwxx =w(x, 0) = αx +β−α 2x.2lПоэтому w(x, t) удовлетворяет равенствам:α−β,lwx (0, t) = α, wx (l, t) = β,β−α 2w(x, 0) = αx +x,2lwt (x, 0) = 0,wtt − a2 wxx = a2x ∈ (0, l), t > 0,(4.5)t > 0,(4.6)x ∈ [0, l].(4.7)x ∈ [0, l].(4.8)Поэтому для функции v(x, t) = u(x, t) − w(x, t), вычитая из (4.1) – (4.4) равенства (4.5) – (4.8),получим задачуvtt − a2 vxx = f (x, t) − a2α−β= f1 (x),lx ∈ (0, l), t > 0,(4.9)t > 0,(4.10)x ∈ [0, l].(4.11)x ∈ [0, l].(4.12)vx (0, t) = vx (l, t) = 0,β−α 2v(x, 0) = ϕ(x) − αx +x = ϕ1 (x),2lvt (x, 0) = ψ(x),Шаг № 2.

Решаем задачу с однородными краевыми условиями (4.9) – (4.12).Эта задача – частный случай решённой ранее задачи № 669M 2 . Её решение:v(x, t) =∞XTn (t) cos πnx n=0l,(4.13)гдеT0 (t) =ϕ0+2Zt ψ0 + 1220Zτf0 (κ)dκ  dτ.(4.14)0πnatlπnat+ ψncos+l  πnalZtZtl  πnatπnaτπnatπnaτ +sinf1n (τ ) cosdτ − cosf1n (τ ) sindτ .

(4.15)πnallllTn (t) = ϕ1n sin00При этом, в нашем случае f1 (x, t) = f1 (x) ⇒ f1n (t) = f1n ,ϕ1n2=lZlϕ1 (x) cos0 πnx ldx,2ψn =lZlψ(x) cos0 πnx ldx,f1n2=lZlf1 (x) cos πnx l0Наконец, поскольку f1n не зависят от времени, их в (4.15) можно вынести за знаки интегралов:Zt0c Д.С. Ткаченкоπnaτf1n (τ ) cosdτ = f1nlZtcos0-6-πnaτlπnatdτ = f1nsin,lπnaldx.УМФ – семинар – К 5 – 8Ztπnaτf1n (τ ) sindτ = f1nl0Ztπnaτlsindτ = −f1nlπnaπnatcos−1 .l0Кроме того, T0 в силу (4.16) и независимости f10 от t имеет вид:ZtZτψ0 f10ϕ10 ψ0f10 t2ϕ10+  +dκ  dτ =+t+.T0 (t) =222222 20(4.16)0Подставляя всё это в (4.13), получим:v(x, t) =ϕ10 ψ0f10 2+t+t+224∞ πnx Xπnatlπnat+ϕ1n sin+ ψncoscos+lπnalln=1∞ πnx Xf1nπnat2 πnat2 πnat+sin+cos−coscos.2(πna)lllln=1или, короче:v(x, t) =f10 2ϕ10 ψ0+t+t+224∞ πnx Xπnatπnatf1nπnatl+ϕ1n sin+ ψncos−coscos.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций