semT4 (1120434), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

№ 457Найти решение общей задачи для волнового уравнения на полупрямой с краевым условиемпервого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(13.1)u(x,0)=ψ(x),x > 0;tux (0, t) = ν(t),t > 0.Представим решение данной задачи в виде суммы решений двух вспомогательных задач:vtt − a2 vxx = f (x, t),x, t > 0;wtt − a2 vxx = 0,x, t > 0;v(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = 0,x > 0;и(13.2)v(x,0)=ψ(x),x>0;w(x,0)=0,x> 0; ttwx (0, t) = ν(t),t > 0.v(0, t) = 0,t>0В силу линейности этих задач, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (13.1).C другой стороны, задачи (13.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 552 и 554.

Воспользуемся их результатами:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть чётные по x продолжения функций ϕ(x), ψ(x) иf (x, t) на всю ось x ∈ (−∞, +∞).x > at > 0; 0,x−at− aRw(x, t) =−aν (r) dr,x < at.0c Д.С. Ткаченко-13-УМФ – семинар – К 5 – 4Поэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (13.1) получаем:Ответ:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22aZ t x+a(t−τZ )1ψ1 (s)ds +f1 (s, τ )dsdτ +2a0 x−a(t−τ )x > at > 0; 0,x−at− aR+ν (r) dr,x < at.−ax+atZx−at0где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть чётные по x продолжения функций ϕ(x), ψ(x) иf (x, t) на всю ось x ∈ (−∞, +∞).Задание на самостоятельную работу:111) I.

Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4a, 2a,если её колебания описываются задачей:utt − a2 uxx = 0,x, t > 0;x, t > 0; utt − a2 uxx = 0,а) б) u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;ut (x, 0) = 0,x > 0;ut (x, 0) = 0,x > 0;u(0, t) = 0,t > 0,ux (0, t) = 0,t > 0,9, 3, 5,4a a aгде функция ϕ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.112) II.

Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4a, 2a, a1 ,если её колебания описываются задачей:2x, t > 0;u−au=0,x,t>0; utt − a2 uxx = 0,ttxxб) а) u(x, 0) = 0,x > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;u(0, t) = 0,t > 0,ux (0, t) = 0,t > 0,где функция ψ(x) имеет вид, приведённый на рисунке.c Д.С. Ткаченко-14-2 4, ,a aУМФ – семинар – К 5 – 411, 2a,3) III. Нарисовать профиль полубесконечной струны в моменты времени t = 0, 4aесли её колебания описываются задачей:2x, t > 0;u−au=0,x,t>0; utt − a2 uxx = 0,ttxxа) б) u(x, 0) = 0,x > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;u(x,0)=0,x>0;u(x,0)=0,x> 0;ttu(0, t) = µ(t),t > 0,ux (0, t) = ν(t),t > 0,где функции µ(x) и ν(x) имеют вид, приведённый на рисунке.4) IV.

Решить задачи: utt − a2 uxx = Axt,а) u(x, 0) = sin x,ut (x, 0) = sin 2x,u(0, t) = 0, utt − a2 uxx = 0,б) u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = 0,ux (0, t) − hu(0, t) = U0 sin t,c Д.С. Ткаченко-15-x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.x, t > 0;x > 0;x > 0;t > 0.9, 3, 5,4a a a.

Характеристики

Список файлов лекций