semT4 (1120434), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 4Теорема 7.1 (Метод продолжения).Утв. 1. Решение задачиutt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),u(0, t) = 0,x > 0, t > 0;x > 0;x > 0;t>0задаётся формулой Даламбераx+atZ1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+u(x, t) =22a1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть нечётные по x продожения функций ϕ(x),ψ(x) и f (x, t) на всю числовую прямую.Утв. 2. Решение задачиutt − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),ux (0, t) = 0,x > 0, t > 0;x > 0;x > 0;t>0задаётся формулой Даламбераx+atZϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1u(x, t) =+22a1ψ1 (s)ds +2ax−atZtx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть чётные по x продожения функций ϕ(x),ψ(x) и f (x, t) на всю числовую прямую.Замечание 7.1.

Метод продолжения в приведённом виде не распространяется на• краевое условие 3-го рода и• на неоднородные краевые условия.При этом случай неоднородных краевых условий (при ϕ, ψ, f ≡ 0) мы научимся решатьметодом характеристик.8. Метод характеристикБудем рассматривать задачу нахождения функцииutt − a2 uxx = 0,u(x, 0) = 0,ut (x, 0) = 0,(КУ)c Д.С.

Ткаченко-8-u(x, t) на полупрямой x > 0 из условийx > 0, t > 0;x > 0;x > 0;(8.1)УМФ – семинар – К 5 – 4где краевое условие (КУ) имеет один изu(0, t) = µ(t), ux (0, t) = ν(t),ux (0, t) − hu(0, t) = κ(t),видов:t>0 −t>0 −t>0 −краевое условие I-го рода;краевое условие II-го рода;краевое условие III-го рода.(КУ)Поскольку решение уравнения utt − a2 uxx = 0 имеет видu(x, t) = f1 (x + at) + f2 (x − at)| {z } | {z }←−−→двух волн, одна из которых бежит влево, а другая вправо, внешней силы f нет, в начальныймомент струна справа от x = 0 имеет нулевое отклонение от положения равновесия и нулевуюскокрость, то обе волны f1 (x + at) и f2 (x − at) имеют в начальный момент t = 0 носитель (тоесть множество точек, где они отличны от нуля) слева от x = 0.

При этом волна f1 (x + at)при t > 0 побежит влево, и поэтому никак не повлияет на решение справа от нуля. Поэтомумы смело можем считать, что f1 (s) ≡ 0, s ∈ R.Вывод: Решение задачи (8.1) для уравнения колебаний на полупрямой представляет собой одну волну, бегущую вправо со скоростью a, вызванную движениемкрая x = 0:x, t > 0.u(x, t) = f2 (x − at),| {z }−→9. № 454Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае неоднородного краевого условия второго рода:utt − a2 uxx = 0,x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(9.1)u(x,0)=0,x> 0;tux (0, t) = ν(t),t > 0.Так как решение задачи (9.1) представляет собой одну волну, бегущую вправо со скоростьюa, вызванную движением края x = 0:u(x, t) = f2 (x − at),| {z }x, t > 0,(9.2)−→то нам осталось только найти функцию f2 (s).

Выясним, какие требования накладывают наf2 (s) условия задачи (9.1).1) Уравнение utt − a2 uxx = 0 выполняется автоматически для любой f2 (s) ∈ C 2 (R);2) начальное условие u(x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f2 (s) = 0 при s > 0;3) начальное условие ut (x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f20 (s) = 0 при s > 0;4) краевое условие ux (0, t) = ν(t), t > 0 требует, чтобы f20 (−at) = ν(t), t > 0 или, послезамены переменной s = −at, s0f2 (s) = ν −при s < 0.ac Д.С. Ткаченко-9-УМФ – семинар – К 5 – 4Заметим, что условие 3) следует из условия 2).

Таким образом, поведение функции задаётсяусловием 2) при s > 0 и условием 4) при s < 0.Из условия 4) найдём f2 (s) при s < 0:sZ− aZs ihppdp + f2 (0) = r = −= −aν (r) dr,f2 (s) = ν −| {z }aa0s < 0.0=0Подставляя вместо s выражение (x − at) и вспоминая условие 2), получаем:Ответ:x > at > 0; 0,− x−atRau(x, t) = f2 (x − at) =ν (r) dr,x < at. −a010. № 453Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае неоднородного краевого условия первого рода:utt − a2 uxx = 0,x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(10.1)u(x,0)=0,x> 0;tu(0, t) = µ(t),t > 0.Так как решение задачи (10.1) представляет собой одну волну, бегущую вправо со скоростьюa, вызванную движением края x = 0:u(x, t) = f2 (x − at),| {z }x, t > 0,(10.2)−→то нам осталось только найти функцию f2 (s).

Выясним, какие требования накладывают наf2 (s) условия задачи (10.1).1) Уравнение utt − a2 uxx = 0 выполняется автоматически для любой f2 (s) ∈ C 2 (R);2) начальное условие u(x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f2 (s) = 0 при s > 0;3) начальное условие ut (x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f20 (s) = 0 при s > 0;4) краевое условие u(0, t) = µ(t), t > 0 требует, чтобы f2 (−at) = µ(t), t > 0 или, послезамены переменной s = −at, sf2 (s) = µ −при s < 0.aЗаметим, что условие 3) следует из условия 2). Таким образом, поведение функции задаётсяусловием 2) при s > 0 и условием 4) при s < 0.Подставляя вместо s выражение (x − at), из условий 2) и 4) получаем:Ответ:0,x > at > 0;u(x, t) = f2 (x − at) =µ − x−at,x < at.ac Д.С.

Ткаченко-10-УМФ – семинар – К 5 – 411. № 455Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае неоднородного краевого условия второго рода:utt − a2 uxx = 0,x > 0, t > 0;u(x, 0) = 0,x > 0;(11.1)u(x,0)=0,x> 0;tux (0, t) − hu(x, 0) = κ(t),t > 0.Так как решение задачи (11.1) представляет собой одну волну, бегущую вправо со скоростьюa, вызванную движением края x = 0:u(x, t) = f2 (x − at),| {z }x, t > 0,(11.2)−→то нам осталось только найти функцию f2 (s). Выясним, какие требования накладывают наf2 (s) условия задачи (11.1).1) Уравнение utt − a2 uxx = 0 выполняется автоматически для любой f2 (s) ∈ C 2 (R);2) начальное условие u(x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f2 (s) = 0 при s > 0;3) начальное условие ut (x, 0) = 0, x > 0 требует, чтобы f20 (s) = 0 при s > 0;4) краевое условие ux (0, t) − hu(x, 0) = κ(t), t > 0 требует, чтобы f20 (−at) − hf2 (−at) =κ(t), t > 0 или, после замены переменной s = −at, sf20 (s) − hf2 (s) = κ −при s < 0.aЗаметим, что условие 3) следует из условия 2).

Таким образом, поведение функции задаётсяусловием 2) при s > 0 и условием 4) при s < 0.Из условия 4), котороеесть линейное ОДУ, найдём f2 (s) при s < 0.sОбозначим κ − a = γ(s). Тогда уравнение для f2 (s) примет вид:f20 (s) − hf2 (s) = γ(s).(11.3)Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения:0f2o(s) − hf2o (s) = 0df2o= hdsf2o=⇒=⇒f2o (s) = cehs .Далее, в соответствии с методом вариации постоянной, будем искать решение f2 (s) неоднородного уравнения (11.3) в видеf2 (s) = c(s)ehs .(11.4)Подставляем искомый вид решения в (11.3):c0 (s)ehs + hc(s)ehs − hc(s)ehs = γ(s)|{z} | {z }f20 (s)c0 (s) = γ(s)e−hshf2 (s)Zsc(s) =γ(p)e−hp dp + c1 .0c Д.С.

Ткаченко=⇒-11-=⇒УМФ – семинар – К 5 – 4Подставим найденную функцию c(s) в (11.4):Zshsf2 (s) = e ·γ(p)e−hp dp + c1 ehs .0Учитывая, что в силу условия 2) функция f2 (s) должна в точке s = 0 обратиться в ноль,найдём c1 :Z00f2 (0) = e · γ(p)e−hp dp + c1 e0 = c1 = 0=⇒c1 = 0.0Поэтому, окончательно,f2 (s) = ehs ·Zsγ(p)e−hp dp,s < 0.(11.5)0Вспомним, что γ(p) = κ −pa. Тогда после замены p = −ar получимsf2 (s) = −aehs ·Z− aκ(r)eahr dr,s < 0.0Подставляя вместо s выражение (x − at) и вспоминая условие 2), находим функцию u(x, t):Ответ:x > at > 0; 0,− x−atRau(x, t) = f2 (x − at) =h(x−at)κ(r)eahr dr,x < at.· −ae012. № 456Найти решение общей задачи для волнового уравнения на полупрямой с краевым условиемпервого рода:utt − a2 uxx = f (x, t),x > 0, t > 0;u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(12.1)ut (x, 0) = ψ(x),x > 0;u(0, t) = µ(t),t > 0.Представим решение данной задачи в виде суммы решений двух вспомогательных задач:2v−av=f(x,t),x,t>0;wtt − a2 vxx = 0,x, t > 0;ttxxv(x, 0) = ϕ(x),x > 0;w(x, 0) = 0,x > 0;и(12.2)vt (x, 0) = ψ(x),x > 0;wt (x, 0) = 0,x > 0;v(0, t) = 0,t>0w(0, t) = µ(t),t > 0.В силу линейности этих задач, функцияu(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t)является решением исходной задачи (12.1).C другой стороны, задачи (12.2) мы уже решили, соответственно, в номерах 551 и 553.

Воспользуемся их результатами:ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)1v(x, t) =+22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2ax−atc Д.С. Ткаченко-12-Ztx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ,0 x−a(t−τ )УМФ – семинар – К 5 – 4где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть нечётные по x продолжения функций ϕ(x), ψ(x) иf (x, t) на всю ось x ∈ (−∞, +∞).0,x > at > 0;w(x, t) =dr,x < at.µ − x−ataПоэтому для решения u(x, t) ≡ v(x, t) + w(x, t) задачи (12.1) получаем:Ответ:1ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)+u(x, t) =22ax+atZ1ψ1 (s)ds +2aZtx−atx+a(t−τZ )f1 (s, τ )dsdτ +0 x−a(t−τ )+0,µ − x−atdr,ax > at > 0;x < at.где функции ϕ1 (x), ψ1 (x) и f1 (x, t) есть нечётные по x продолжения функций ϕ(x), ψ(x) иf (x, t) на всю ось x ∈ (−∞, +∞).13.

Характеристики

Список файлов лекций