В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 75
Текст из файла (страница 75)
-. + а С„х,'") йхы где р)хг) = еяр( х, ь тч! а 2 +аахт ( ) + ° ° ° +а„х,"! ) =18ю+Ьахт ха+ ° ° ° +Ь„хд "х д )ахя) ' !,а„) Частный случай уравнения 15 8.1.5 при у Гхг) = а х,', д1хг) = 1й Ь,1хг) = Ь х, *. Полный интеграл: ю = хая!хг) и- 4 хпр„(х1) -1- !и1х1), где д1х~) = Сесе ' — ед ' / е ' )пях иря(хг) + ° + п„х. "р„!х1)1 ахи ато я,т дю та г б. +паха ( ) + +а х ( ) =схт+Ьгхя + ° ° ° +Ь х дхг дха "!а„) Полный интеграл: ю=С1 — ГСя4- .+С )хе+ х, -1- г)х 4- -1- " ",," г)хо с „., Г С, + бах, "- Р С -~-а * 2 я дю Частный случай уравнения 15.8.1,4 при Ях~) = п,е~'"', д1х~) = Ьед". Полный интеграл; ю=Чо(хг)(Сг+Сяха+ +С„х„) — фхг) / фхи)г!агСяе е" +. +а,С„е""*') дхы гЬ д„т где 1о(х~) = ехр( — е д д е дто ня Частный случай уравнения 15.8.1.5 при у, !хг) = и, е~ *', д1х1) = с, 6,1х1) = Ь,ев ".
Н 2 2 дго 2 + 2 (аихнтпх„п + Ьихттпха " Я) ( ) = нахит ю -1- сохиго дхт дха Частный случай уравнения 15.8.1.9 при ун!хг) = аях,и, д1хг) = Ьнхгн, а!х,) = сгх",', ди цх1) = тх"о дю т ,зи дю дю ти 10. — + еу аи х,' — = Ью+ мт си х," хих дх1 - ' дхи дх и, =2 и, =2 Частный случай уравнения ! 5.8.1.10.
396 НЯЛИНЕЙНЫЯ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ И БОЛЕЯ НЯЗАВНОИЧЫИИ ПЕРЕМЕННЫМИ 2 Ою 13-1-1 Замена и = ю' приводит к уравнению вида 15.7.1.4: 2 + пдх,г ( ) + + а„х," ( ) = Ь(15+ 1)хд и. ддя 12. — +агхд'и ( — ) + ° ° +а хд "ю ( — ) =Ью +схдю. дхд Ох2 дх Частный случай уравнения ! 5.8.1.13 при (,(хд) = ада, *, Ь(тд) = се',. Частный случай уравнения 15.8.1. 14 при (,(х,) = а, х, ', д, (и ) = и '*. Полный интеграл приь, ф2,т, ~-1: тд-1-1 т„-1-1 14. ад( — ) +аг( — ) + +а„( — ) =ю. ! Полный индедрал: ш = ~ ~— (хд 4- СА) .
Д вЂ” 1 4О . ОР .7итераирра: Л. М. Винол радов, Н. С. Красилледпик (1997). 15. адх,'( — ) + ° ° ° +а х "( — ) =Ьдх, '+ ° ° ° +Ь х Частный случай уравнения ! 5,8.1.16 при ((х,) = п,х, *, д(х,) = Ь,х,"ч . 16. адхд'( ) + ° ° ° + а х""( ) = (Ьдхд ' + ° + Ь х„")юи. Частный случай уравнения 15.8.1.18 при ((х,) = О,,х, ', д(х,) = Ь,х,"", Ь(ю) = юд. 17 "'"( О ) + + """"( О ) — ь ""+ "+ь Частный случай уравнения !5.8.1.1б при Д(хд) = алед'*", д(хл) = ЬАЕДА'дч 18. адед' '( — ) + ° ° ° + а„ех" "( — ) = (Ьдеп' ' + ° ° ° + Ь„еп" ")е' Частный случай уравнения 15.8.1.18 при ((хд) = адеде'", д(хд) = Ьдеад", Ь(ш) = ет"'. 15.7.2. Уравнения со степенной непинейностью по производным а о о 1.
— —...— =хдхг...х ах, Охг ' " ах„ Полный интеграл в двух различных формах: (а) ил = —,', ~ Слхд -1- —.'.4х„-1- С„, А = — 1 (Ь) (и — С„)" = ( — ) (хг — А) П(хд — Ся). Л.=д О О Ою дх1 Ох2 Ох Полный интсг!дял: п — ""' С А 1 С .
1 ).1. 4 4 — 1 1.1. Ч О х" +С„. 1 и — дп Й -1-! й -1-! (й Ч !)С С2 ° ° С 75.8 Иелидпйные уравнения г людылд чисти пдре пенных, соддрздсаиндв яро~дзводьиьдв функции 397 Ою Ою Вю Вю з. — —... — = хд— Охд Вхг Ох Охд Подшый интеграл: дю дю +хг — + +х Охз Ох и — ! д ю = (Сд... Ся) '-" (Сдхд + + С х ) "-' + С гд. гд Олпу из постоянных Сд,..., См можно положить равной единице.
дхд Охг дх ( Вхд ) ( дхг ) ( дх ™) Полный интеграл: 1п!ю~ = 2 Сдхь -бС„тд, где производьные постоянные Сд,...,Ся ь=д связаны одним соотношением СдСг... С„= (адСд — Ц(азСд — 1)... (а Сп — 1). Частный случай уравнения ! 5,8.2П. а ( — ) +аг( — ) + ° +а ( — ) =ю Полный интеграл: ю = ~ ~бь (хд + Ск) д д „„( дпд )д дде бк = ид тд Полный ингедрал: ю = ~ ~Скхь+аС, 'Сд ... С™". ь=-.д > Полные интегралы другкт ураеддений, содержашит произвольные паралдепдрьд, можно полу- чить используя результаты рпзд. 15.В, в котором расслотрены уравнения, содержаигдде про- извольные функции 15.8.
Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольные функции 15.8.1. Уравнения квадратичные по производным 1. +аз( ) + ° ° ° +а ( ) = з(хд)ю+д(хд). Полный интеграл: ид = Сдр(хд) + (Сдхз+ -ь Сях„)Г(хд) ь Е(хд) ( ' ' ' д)хд, з(х ) — бр'з(х ) р(х ) где е (х) = ехр(/ у(х) г(х~, б = а Сз -Ь . - -!- амСд. 2. — + аг( — ) + ° + а ( — ) = Ьид + )(хд)ю+ д(хд). 1'.
При б = О см. уравнение 15.8.1.!. Полный интеграл при Ь ф О: и = И(хд) -1-Сде(з;д) ехр(Сгхз+ - + С„х„). Здесь постоянные Сж..., Св связаны одним соотношением: агСгз + + а,Сз = Ь. Функция Зз = Зз(х) определяедся из обыкновенного дифференциального уравнения цз = Ьр~ -!- 7(х);з + д(х), (!) а функция ф = ф(х) выражается через функцию цз(х) с помощью формулы ф(х) = ехр( / '(2!дцд(х) -!- з" (х)) г(х ~.
398 Нелинейные РРлвнвния с ТРвмя и во11ее нвзАВНОНАРые1и пегеменными Уравнение Риккати (1) интегрируется в квадратурах для многия функций 1' и д, подробности см. в книгах ол Канве (1976), В.Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). Рассмотрим два частных случая. 2'. При д(х) = 0 для произвольной функции Г(х) решение уравнения (1) описывается формулой ЗР(х) = г (х) ~С„Е1 — Ь / Р(х) 11х~~, Г(х) = ехр ~/ Г(х) Р(х~ .
3'. При Д(х) = у = сопвц д(х) = д = сопя! в уравнении (1) разделяются переменные, Интегрируя, имеем лу =х+С.„. ЬХзт УЗ -~-д + 22(х1)( ) + ' ' '+ з (х1)( ) Полный интеграл: ю = Сзе" ' + е" '(Сзхя+ + С„х„) — е""' / е ' '(Сззз(х1) + +С„з„(х1)] 1!хз. оап ~'( ')(о,) ~"( ')(о* ) Полный интеграл: Рн = х(хз)(С1+Сзхз+ +С х ) — 22(х1) / у(хз)[С2)2(х1)+ -~-С„з" (х1)] Р(хы где ье(хз) = ехр ~/ д(х1) дх1]. о 'дю'2 ' онР 12 — +уя(хт)( — ) + +у (хг)( — ) =д(хз)ю+Ьг(хз)хя+..+Ь„(хз)х дмт (о*,) " 'то „) Полный интег11ал: ю = х272(хз) + -1- х 'Р (хз) ! ф(х1), где ль(хз) = СЛС(хз)-1-С(хг) 1 1' ' дхз, С(х1) =ехр'(/д(хз) дхз], й = 2,..., и; Г Ье(21) С(хз! И 1) =С С(х1) — С(хз) / Уя(хз) рз( )+ +Ы 1)1,',( )] С(х1) б.
+уа(ха)( ) + ° ° ° +у (х„)( ) =д(хт)+112(ха)+ ° ° ° +Ь (х ). Уравнения этого вида часто встречаются в механике, где переменная х1 играет роль времени, а хз,..., х„роль обобщенных координат. Полный интеграл: ю = Сз — (Сз+. Ч-С„)хз+ / д(хз) аРх1Ч- / ' Р)хз+ + / " " " с(хн. — + уя(хя)( — ) + ° ° + У (х )( — ) = Ьзня+д(хз)ю+Ь(хт). 1!хе Преобразование бь = / " ((с = 2,..., и) приводит к уравнению вида 15001.2. уг]УА (хь И 2 — + ~ ~~~я(хг)хь+ дь(хз)] ( — ) = а(хт)ю+ Ь(хт) + ~ ~Ьь(хт)хь. Ь=2 Ь=2 Полный интегрюс Рн = ~ ~921(хз)хь + ф(х1).
!5.8 Нелииейиые уравнения е люаыи числим аерешеииыт, еиоерлхаи>ив яраилваяьиыв ф> ивяии 399 Злесь функции зль(х>) и ф(х>) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений Зз' + Уь(х!)эль = п(хг)рь Ч- Ьь(хг), 6 = 2,..., и; (1) ф' Ч- 2т дь(х>)1агл = п(х>)>6 и- 6(х1), (2) где штрих обозначает производную по х>. Уравнения Риккати (1) интегрируются в квадратурах для многих функций уь(х>), Ьь(хг),о(хг) [например,при Ьь(хг) = О), см. кни> и ан Камке (197б), В.
Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (1997, 2001). Уравнение (2) линейно относительно ги н легко интегрируется (при известных Зль). — Огв 9. + ~~Яхт)х, " + дь(хт)х,,™ ~~ ( ) = а(хт)ш + 6(хт). ь=з 1'. Пусть все тг ~ 2. Преобразование Бь = х '"" (6 = 2,..., и) приводит к уравнению вида 15.8.1.8: дх га — -Е ~(2 — ть) [ль(хг)бя -1-дь(х>)) ( — ) = о(х>)ш -1-6(хг).
д*, (, а(,.) 2'. Пусть имеется пи — 2. Тогда вместо переменной х> вволим новую переменную 5> = 1п ~х>~, а остальные переменные преобразуются как в п. 1'. В результате получим уравнение вила 15.8.1.8. + ~ Ть(х,)— дш д О Охт Ох>, Ох гь =2 + ~ ~ ~ дь (хт)х + дь(хт)]— Ьь (хз)хьх + ~ Ьь(хз)хь + Ьо(х,). = л6(хт)то + ь, =2 Полный интеграл ищется в виде ц> = ~ 9>ьм(х>)хьх,и + ~ рь(хг)хь -Е 5ла(хг). я, =2 ь=з Подставляя правую часть этого выражения в исходное уравнение с частными производны- лги, для определения функций 1аьв,(хг), З>я(х>), Зло(хг) получим систему обыкновенных лиффереициатьнь>х уравнений.
Если все дь(хг) = О, Ьг(х>) = О, Ьа(тг) = О, то можно положить иль(х> ) = 0 и хо(х>) = О. 11. — + Ц~да(хь) ( ) — Ьь(хь)] = О. Охц дхь Уривиеиие Лнувитш. Полный интеграч: ш=-С>х>+~ ~ ь=я г(х +С где постоянные Сз,...,С„связаны одним соотношением: Сз+ + С = О. Отметим, что рассматриваемое уравнение описывает движение механической системы с голономными идеальными связями, когда кинетическая энергия Т и силовая функции (7 имеют вил Т = — '~~: 1я(хь)] [~: (*'г)з], Ег = Е Ьг(хь) Г Е Уь(хь) Злесь хг — время, хз,, х — - обобщенные координаты. Св> Литератгра. В.
Н. Березкин (1968), В. В. Козлов (1995). 400 Нвлинейныя уРАВнения с тРемя и Всяеь ньзАВноичыни ЯЕРемьнными + Уг(*1)(д ) +" + У.(~.)( — ) =д(*.)~ Й -)- 1 Замена и = ш приводит к уравнению вида ! 5 .8. ! .4: й -!- 1 + уг(х1)( ) + + 7„(х()(, ) = (к+1)д(х1)и. 13. д +ш Б(хг)(~~ ) + ° ° ° +и) У ( )(д ) = + +д(х) 1 Замена и = ш~~' приводит к уравнению вила !5.8.!.7 при !1(х() = 0: д -!- 1 -» )г(хг)(, ) -» -» 7"„(х„)(, ) = о(й+1)зи -» (й-» 1)д(х))и. 14.
— + 7я(х~)д (иэ)( — ) + ° + у (х )д~(ш)( — ) = О. Полный интеграш + ( (Сгдг()я)+ + С,',д„(ш)) дш = С)+Сг ~ ' + +С 7УЛ(х.) Х(х.) В произведениях функций уьдь полагалось, что )я ) О, а дь может быть любого знака. 15 — + У (х )д ( )( †) + " + 7'-(х-)д-( )( †) = й( ) Полный интеграж /' (!х /' йе)(ш)(йя х( э; Сг С/' С /' ° /' 1 + "+С./ ' +/ = С), ут*(г) РА,(.) у( ге( ) (и) где р(ш) = С,'дг(ш) + + Сгд„(и). 16. 17(хт)( — ) + ° ° ° + Р (х )( — ) = дз(хт) + ° ° ° + д (х ). Полный интеграл: = /~ "(х') "~'] Ь,+ "+~~'"(х"' ~*] д +С 71( )) Х (х„) гле произвольные постоянные С),..., С„связаны олним соотношением Сг-» -»С„=О. 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
