В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Д.З и Д.4 булст описано даа различных метода решения функггионазьнодифференциальных уравнений вида (6), (7). Замечание 1. В отличие ог обыкновенных диффсрснциальных ураансний я уравнение (бу (7) входят несколько функций (и их производных), зависящих от разных аргументов. Замечание 2. Полные интегралы с обобщенным разлслснисм переменных допускают также некоторые нслинсйныс уравнения более сложного, чем (5), аида (см. пример! и разя. Д5).
Д 4 Решение фунт!ионигьни-ляффнрннчяизьных Граиннний методом рисщтмнния 4ОВ уравнение (6) на Фь и продифференцировав по х, получим уравнение такого же вида, но с меньшим числом членов. Пример. Рассмотрим уравнение с квадратичной нелннейностью дн дш з дю — = и ( — ) 1- Ьш — -!. Лх), (9) дх ду ду гле Лх) -- произвольная функция, Ь Р' О.. любое, Ищем точное решение уравнения (9) с обобщенным разделением переменных вида ю — Зэ(х) -1- Уз(х)0(у). Г!одставнв (10) в (9), после элементарных преобразований имеем Лэ' + яз'„0 = (ир'„4- Ь0)0„'фз -1- Ьзээьр'„-~- Х(х).
(11) полелнм обе части этого выражения на ээз, а затеи продифференцируем по х н у. В результате получим (Х',)]ЬЗ)и0„'= Ь( р) р)',О,"„. Разделяя переменные, приходим к обыкновенным днффсренцишшиым уравнениям 0"„= С,0„', (ф„,')лрз)', = Ьсг(х!Ф)'„ где С произвольная постоянная. Интегрируя нх, нмесл~* 0= Р(С,Р), Р= —,— '+Сэр. ! ф' (13) ьс Г!одсгавив (13) в (]П, представим полученное выражение в аиде полинома гю сзепеням 0 = ехр(Сгу): сз(асг Ф ь)зазря -1-ьс сафар ф Лх) — ( — ) — сзчэ =-О. ьс ф (10) Чтобы улоалегворить этому равенству надо положил ь С,=- —, Си=о,, ( — ) =Л ).
(14) а' з ' ьс Учитывая лва первых соотношения (14] и вторую зависимость (13], проинтегрируем послелнее уравнение (14). В результате имеем Ьз Г зэ(х) = 1лх) г!х+ С4 ф(х) = свекр~ ) ш(х) г(х], а (! 5) Ьз Ь и~(х.п) = ээ(х) + сз ехР~ — — / Р(х) г!х] ехР( — — Р), где ээ(х) = / Лх) йх ч- ся. и а Замечание.
В вырожденном случае, что соответсгвуег С, = 0 в (12), получим ! Сз а 1п!х-~-Сз) 1 ОЬ)=Ю ф(*)= —,: ~( ) — ' ' ! У(:К Сз)г(х, Ь(х -1- Сз) х ф Сз Ь (х -1- Сз) (х -1- Сз) гле Сз, Сз — произвольные постоянные. Ои Лтяеринпри к разделу Д.З: Л. Д. Поляннн, А. И. Журов (2002], Л. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев (2002). Д.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления При уменыпении числа членов функционально-дифференциального уравнения (6) (7) с помощью дифференцирования возникают «пишниен постоянные интегрирования, которые надо убирать иа заключительном этапе. Кроме того, порядок полученного уравнения обычно выше порялка исходного. Чтобы избежать этих трудностей решение функционально- дифференциального уравнения удобно свести к последовательному решению функционального уравнения стандартного вида и решению системы обыкновенных дифферендиальиых уравнений (т.
е. исхолная залача расщепляется на две более простых задачи). Ниже дано краткое описание основных этапов этого метода. " Функция 0 определяется с точностью до произвольного растяжения н сдвига (этн элементарные преобразования приводят к соответствуюшел~у изменению функций зэ н Яг]. где Сз, Ся произвольные постоянные. «Собнраьш формулы (10), (!3), (15), находим полный интеграл уравнения (9): 410 Ыктод ововщкнного гкзлклкния лкгкмкнных Случай четного числа слагаемых в уравнении (б), ю. = 2в.
1'. На первом этапе рассмотриьз уравнение (6) как билинейное функциональное уравнение, зависящее отдвух переменпых Х и 1, гле Ф,(Х), Ф,(1 ) искомые величины. Это уравнение можно решить, например, методом дифференцирования, описанным в разя. Дрь Можно показап, что билинейное функционщзьное уравнение (6) имеет решение: Ф,(Х) = Сзф 41(Х) + Сзф+2(Х) -1- -1- С,,фъ(Х) (1 = 1,2,...,з), Ф,,ч,(1') = — С1,Ф1(1 ) — Сг,фя(1') — — С„Ф,(1 ) (1 = 1, 2,..., к), (16) которое солержит кз произвольных постоянных Со. Функции Фз+1(Х), -., Фм(Х), Ф1()'), ..., Ф,(1 ), стоящие в правых частях равенств (! 6), задаются произвольно. Существуют также вырожденные решения, зависящие от меньшего числа постоянных (см.
ниже пример 1). 2'. На втором этапе подставим в решение (16) зависимости Ф, (Х) и Ф, ()') из [7). В результате получим систему (обычно псрсопрелслснную) обыкновенных дифференциальных уравнений для определения искомых функций 9 в(х) и Фч(Ф). Случай нечетного числа слагаемых в уравнении (б), й = 2к — 1. 1'. Функциональное уравнение (6) в случае нечетного числа слагаемых й = 2я — 1 имеет два различных решения, зависящих от к(л — Ц произвольных постоянных.
Первое из них можно получить из формул (16), положив Фг, = 0 и отбросив последнее выражение лля Фзг. Второе решение можно получить из первого с помощью переобозначений Ф,(Х) Ф,(1 ). 2'. Дальнейший анапиз проволится лля каждого из решений по той же схеме, что и лля случая четного числа слагаемых в уравнении (6). Замгзчлнигь Важно подчеркнуть, что используемое в методе расщепления билинейное функциональное уравнение (6) при фиксированном й является одним и тем же для разных классов исходных нелинейных уравнений.
Пример 1. Приведем решения двух простейших функциональных уравнений вида (б), которые понадобятся далее лля решения конкретных нелинейных уравнений с частными произволнычи. 1 . Функциональное уравнение Ф1 = Азфз Фг — А21'3 Фз — Азфз Азфз Ф1 = Азфз, Фз —— ..42Фз, Фз = -Азф, — Агфз, тле А1, Аг - произвольные постоянные. Функции в правых частях равенств (18) считаотся произвольнычи. 2'. Функциональное уравнение (!9) Ф1Ф1, Ф2Ф2 ! Фзфз г Ф4Ф4: 0 гле все Ф, - -функции одного и того же аргумента, а все Ф, - - функции лругого аргумевта, имеет решение Ф, = А,фз -1- Азфз, Фз = Азфз ф А4Ф4, Фз — — — Л!Ф1 — АЗФ2, Ф4 — — — 42Ф1 — 44Ф2 (20) завися1цее от четырех произвольных постоянных А„, [см.
решение (30) при з = 2, С11 —— Аз, С12 —— Аг, С21 —— Аз. Сгз — — 44]. Функции в правых частях равенств (20) считаются произвольными. Уравнение (19) имеет также лва других решения, зависящих от трех произвольных постоянных: 4'1 = г!1Ф1 Фз = Азфз Фг = А1Ф4 Фз .= 424'4 Фз = Азфз, Ф1 = — -41Ф1 Азфз -4зфз] (21) Фз = Азф4 Ф4 =- -А,ф, — Лзфя — Азфз. Пример 2.
Рассмогрим уравнение со сгспснной нслинсйносгью дю дю — = а( — ) -]-)(х)ю, сэг, др (22) гле З"(х) -- произвольная функция. Ищем то1вое решение уравнения (22) с обобщенным разлелением переменных вида ПО). Имеем 12~ — )(х)Ф4- [Ф~ — )(х)ф]д — олэ~(д~„)Ь = О. (23) ф1Ф1 ф фгфз ф фзфа — 0 (17) где все ф, — функции одного и того же аргумента, а все Ф, — функции другого аргумента, имеет даа решения: Д.4 Решение функционагьно-днфференциатьныг уравнений методом рисщвгьзення 411 Зто уравнение можно представить в виде функционального уравнения (17], где Ф, = зт', — Г(х)92, Фз = ф', — Г(х)ф, Фз — — аф; Ф, =1, Фз = В, Фз = (В„') .
(24) Подставин выражения (24) в первое регпение (18), пояучим систему обыкновенных лифферен2зиатьных уравнений для опрелеления функций р = 44(х), ф = ф(х), 0 =- 0(р): 24 — Г(х)24 = — А2аф ь ф — Г(х)ф = — Лзаф (О'„)г = — Л вЂ” Л О, (25) Зта система легко интегрируется, поскольку второе уравнение представляет собой уравнение Бернулли, трсгье (после разрешении относительно производной) уравнение с раздеяяющимися переменными, а первое линейное уравнение относитеиьно зв. В частности, при Аз = — 1, Лз — — 0 имеем 42.= Сзр(х) -1-аСьр(х) /[Гг(х))" ' Нх, зв = Сзр(х), 0 = у, где Р(х) = ехр((/ Г(х) Нх~, Сз, Сз произвольные постоянные.
Учитывая формулу (10), получим полный интеграл уравнения (22) в ваде ш = Р(х)(Сз -1- Сзр -1- аС24 (' (Р(х))ь дх)1. Пример 3. Рассмотрим уравнение с квшзратичной нелинейносзью (9). Как и ранее, ищем решение с обобщенным разлелением переменных в виде (10). В резулыате приходим к функциональнолифференциальному уравнению (11), которое можно п1мдстави гь в виде функционального уравнения (19), где фз 44 Г(х) Ф2 "ф» Фз '" ф Ф4 6рф Фз — — 1, Фа = О, Фз — — (а0, '-г 60)0,', Ф4 —— В'„.
Подставив эти выражения в (21), приходим к переопределенной системс обыкновенных диффсренцишзьных уравнений дия определения функций р = зз(х) ф = ф(х) 0 = 0(р) 22~„— у(х) = — Агф — Лзбщф, ф = — Азф — Л46224р, (адк -1- ЬВ)0„= — А, — ЛзВ, Ви — — — Аи — Л4В. (26) Исследуем случаи, когда последние два уравнения для В совместны. Исключив из них производную В„', получим Л4(ал4 — 6)0 -1- (2аАзлз — А26-1- Аз)0-1- Азза -1- Аз — — О. Чтобы зто равенство удовлетворялось тождественно для всех В, все коэффициенты квадратичного миогочлена должны равняться нулю: Аз а -1- Аз = О. А4(ал4 6) = О, 2аА2А4 А26 Ф Аз = О, Зза алгебраическая система уравнений для А имеет два решения Аз — А26 Аз —— — Аяза, Аа- люоое Аз — — — А26, Аз — — — А,а, Аз--любое 2 Лв =О, А4 — — 67'а, (решение 1), 1рвиатив 2), которые порождают два различных совместных решения двух последних дифференциальных уравнений (26): (реигвнив 1), 0 = -Азу +сз 6 з а 0 = Сг вхр( — — у) — — Лз и 6 1рвшвнив 2).
Соответствующие региения двух первых уравнений (26) определяются выражениями 1 и 1 р(х) — (Сз 1- —, 1п1х-~-С21-~- Г(х)(х-~-С ) дх1, ф(х)— х -1- С, -' 62 ',Г ' ' А26(х -~- Сз) (решение 1), .42а 62 Г 22(х) .—. — зр(х) +Р'(х), ф(х) =-Сзехр~ — — 1 Р(х) дх~, р(х) = / Г(х) дх-~-Сз (решение 2), Ь а где Сш Сз — произвольные постоянные. Две последние группы решений лля 0(р) и зз(х) и ф(х) вместе с формулой (10) дают два различных полных интеграла уравнения (9) (в прутом порядке и лругих обозначениях зги интегралы выписаны в примере из равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
