В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 77
Текст из файла (страница 77)
дю О» О д Г(алхл+ ° ° ° +а х„,, ..., )+хт + ° ° ° +х =ю, Охз Ох Охт Ох Полный интеграл: гл~ = Слхз и-; — С х„->- за(я), я = алхл -1-.; — а х„., где функция р = зл(в) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г(я, аг9з', -!- Сл, ..., а„х', -1- С„) -!- я!а', = ях Г(п>,, ..., ) — О. Полный интеграч: ю=р(а), а=С,х, + +С„х„, где функция чл(а) определяется путем решения автономного обыкновенного дифференциального уравнения Г(зл, Сг р'„..., С за,) = О. Оя >>иллерали>ра: Э. Каллас (!966) 1'.
Полный интеграш ю = фа)., в = Слх! + + С„х„, гле функция р(я) определяется путем репюния обыкновенного дифференциального уравнения Г(9г., Сл9з„..., С„у~,) = С(я9л,). 2'. Пусть левая часть уравнения не зависит явно от та и является однородной функцией степени Ь относительно производных, т. е.
Г(Лрг,..., Лр„) = ЛьГ(р>,..., р„), а функция С линейна: С(6) = аб. Тогда полный интеграл дается формулой (оь Камке, 1965): и= ~, (~ С~х,) ~ ч-С~ы т.=л Одну из постоянных Сг,..., С можно положить равной единице. Ою дю л Г(алхл+ ° ° ° +а х +Ью,, ..., ) =О. д ' ' О > При 6 = О ем уравнение !5 84 !4. При 6ф О замена Ьи = агх>+ +а„х„+Ью приводит ди а, ди а к уравнению вида !5йй4.!6: Г(Ьи, — —, ..., — — ') = О. дх, Ь' ' дх„в) Оил Рь Охь Здесь Г представляет собой сложную функцию от п функций хг,...,9ь„каждая из которых зависит только от одной пары гамильтоновых переменных хл, рл., (й = 1,..., и).
406 Нвлннейныя уРАВнения с ТРямя и БОлее незАВнсичыни пеРБченнычи Полный интеграш ю = юг(хг, Сг) + юз(хг, Сг) + + ю„(х„, С ) + С Здесь постоянные Сг, Сг,..., С связаны одним соотношением Г(Сг, Сз,..., С„) = О, а функции юг = юь(хь, Се) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений грь (хь, 1 ) = СРП й = 1, 2, ..., и. Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
Оь Латераягура: Э. Камке (1966), А П. Маркеса (1990). дю Рг дхь 19. Г(гр~(х~,г)гр ), гр~(х~,г)гр ), ..., гр (х,грр )) =О, г)г=гй(ю), Замена и = / гр(гя) яйя приводит к уравнению вида 15,8РК !8: ди где дг. = д, Г(:р,( „д,), ря(, „дя),..., р.( ., д„)) = О, Оь Литература: Э. Камке (1966). 20. Гг(хг,...,хь,рг,...,рь) + Гя(хьчг,...,х, рь+1,...,р ) = ою. Полный интеграл можно представить в виле суммы двух функций ю = ю1(х1,..., хь) -1- юз(хь.!.1 ° ° ° г ) которые определяются путем решения двух более простых уравнений при гп = 1,..., й, при ш = й-1-1,...,11, гле Сг произвольная постоянная.
л 21. Гг(хг,...,Хь,рг,...,рь) + е ГЯ(хьйг,...,Х,рьйг, ° ° °,р ) = О. Полный интеграл можно представить в виде суммы двух функций иг = игг(хг,..., хь) -1- игз(хь~.г....., х„), которые определяются путем решения двух более простых уравнений дю! дх г! = д дх прн т=1,...,й, прн ггг = й Ч- 1,..., и, е 1 'Гг(хг,...,хт, дг,..., дь) = Сг, 1 г е 'ГЯ(хььг.....,х„,дгйг,....,д ) = — Сг, где Сг произвольная постоянная. дю рь дхь 22.
Г (...Гя(Гя(ГЕ(хтгР1),хя,Ря),ХЯ,РН),...,Х,Р ) = О, Полный интегршн ю = юг(хгг Сг) ч- юг(хз, Сз, Сг) й + ю„г(х„г, С„г, С з) + юа(хго С 1) -1- С„. Здесь функции юь определяются путем решения обыкновенных дифференциальных урав- нений Гг(хг, юг) = Сг, Гг,(СР г,хг,ю;,.) =Сг., й= 2,...,п — 1, 1'"„(С„г, х„, ю„) = О, где ит обозначает произвопную от юг. по переменной хь. Разрешив эти уравнения отно- сительно производных, получим линейные уравнения с разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
Оь З)атяратзра: А. П. Маркееа (1990). В. В. Козлов (1995). Гг (хг,..., хг,дг,...,дь) — аигг = Сг, Гз(хь+1,....,Х,дььг,..., д„) — агяг = — Сг, дюг дт д игз дх„, Дополнение Метод обобщенного разделения переменных" Д.1. Предварительные замечания Для простоты изложения будем рассматривать уравнения с часпзыми производными с двумя независимыми переменными х, у и зависимой переменной ю (олна из независимых переменных может играть роль времени). Интегрирование отдельных классов нелинейных уравнений с частными производными первого порядка основано иа поиске полного интеграла в виде суммы функций разных аргументов (см. равд. 15.1.2-2); ю(х, у) = уз(х) + т6(у).
(1) Решенно широкого «пасса линейных уравнений н задач математической физики базируетоя на поиске точных решений в виде произведения функций разных аргументов (см., например, А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, 1972!А. Д. Падании, 200!и): из(х, у) = зз(х)66(у). (2) Решения аида (1) и (2) будем называть решениязш с абьгчнььп ризделелиегг лершюлных, Простейшее обобщение решений (1) и (2) дается формулой ю(х у) = Зз(х)56(у) 6 Х(х) (3) (в правой части можно наменять местами переменные х и у).
В частном случае Х(х) = 0 формула (3) переходит в решение (2), а в случае уз(х) = 1 в решение вила (1). В последнее время было описано много нелинейных уравнений математической физики разных типов второго, третьего и более высоких порялков, которые допускают точные решения вида (3) и другие решения с обобщегшым разделением переменных, содержащие большее число слагаемых, см. цитируемую ниже литературу. Он Зуигаершнгри к ризг)еду Д.1: В. А.
Галактионов, С. А. Посашков (1994), В. А. !'алактнонов, С. А. Посаш«ов, С. Р Свнршевский (1995), М А. Са1а1сГ1опот (1995), Б. Р. Зк!гзисЬетзхн (1995), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин (1996), А. Д. Иалявнн (2001 6), А. Д, Валянии, А. И. Журав (2002), А. Д. Поляннн, В. Ф. Зайцев (2002). Д.2. Решения с обобщенным разделением переменных.
Рассматриваемые классы уравнений Линейные уравнения математической физики с разлсляющимися переменными попускают тОчныЕ решения в виде сумм ю(х,у) = Ззз(х)36!(У) + рз(х)фз(у) + + р„(а)ф„(д), (4) где ид = р, (х) сь(у) соответствующие частные решения. При этом функции зс, (х) [и функции ф,(у)) при разных значениях т не связаны друг с другом.
Многие нелинейные уравнения с частными производными первого порядка с квадратичными и степенными нслинейностями вида ~~(х)д~(у)П [из[+ зз(х)дз(у)пз[н~[+ + ~„(х)д„(у)П [ю[ = О, (5) зле П„[ю[ лифференциалыгые формы, представляющие собой произведения целых неотрицательных степеней функции ю и се частных производных д ю, даю также имеют точные решения и полные интегралы вида (4). Такие решения будем называть решения.ии с обобщенным Дополнение написано совместна с А. И.Журовым 408 Метод ояовщкнного гхзделкния пягкмянных разделение.и перс»генных. Для нслинсйных ураансний, и отличие от линейных, функции р,(х) при различных значениях г обычно саязаны друг с другом [н с функциями 15г (тг)].
В общем случае после полстаноаки выражения (4) и дифференциальное ураанснис (5) для определения функций зг, = зз,(х) и фг, = Ф,(у) получим функционально-дифференциальное уравнение Д.З. Решение функционально-диФференциальных уравнений методом дифференцирования Процедура решения функционально-дифференциальных уравнений состоит из трех послсдоаа- тельных этапов. 1'. Предположим, что Фг, у': О. Поделим уравнение (6) на Фь и продиффсрснцирусм по у. В рсзулыатс получим уравнение такого жс вида, но с меньшим чисгюм членов: Ф,(Х)Ф,( )-~Фз(Х)Ф,(У)+ "+Ф,,(Х)Ф,,(У) =О, Фг(Х) = Фг(Х), Фг(~ ) [Фг(1 )гфа(~ )]в.
Продолжим аналогичную процедуру... В итоге приходим к даучлснному уравнению с раЗдЕляЮщимиСя пЕрЕменными Фг(Х)Фг(1 ) -1. Фз(Л)Фг(1') = О. (8) Теперь надо рассмотреть дас ситуации, Невыражденпый серчай: [Фг(Х)[ Ф [Фг(Х)[ х О, [ Фг(У)[ Ф [Фг(У)[ х О. Тогда решения уравнения (8) определяются из обыкнонснных дифференциальных уравнений: Фг (Х) + СФз(Х) = О, СФ|(У) — Фг(1') = О, где С произнолыгая постоянная. Предельному случаю С = оо соотистстауют уравнения Фз=О,Фг =О. Лви выроэкдепных случая: Фг (Х) = О, Фз(Х) = О Фг(1') = О, Фг(У ) = О Фг г(1') -. любые: = Фгз(Х)--.любыс.
2'. Полученные решения днучлснного уравнения (8) надо подставить и исходнос функционально-дифференциальное уравнение (6), чтобы убрать «лишнис» постоянные интегрирования [они появляются из-за того, что уравнение (8) получено из (6) лугом диффсрснцирояания]. 3'. Случай Фг. = О надо рассмотреть отдельно (поскольку уравнение на первом этапе делилось на Фь). Аналогично следует исследовать асс другие случаи тождсстаснного обращения и нуль функционалов, на которые лепились промсжуточныс функционально-лиффсрснциальныс уравнения.
Замечание 1. Функнионально-диффсрснциальнос уравнение (6) может нс иметь решений. Замечание 2. На каждом эзапс число членов рассматриваемого функционально-лиффсрснциального уравнения можно понижать путем лиффсрснциронания как по переменной у, так и по переменной х. На первом этапе, например, можно предположить, что Фг., Х- :О. Поделив Фг(Х)Фг(У) + Фз(Х)Фз(У) +. Ч- Фь(Х)Фь(У) = О, (6) глс функционалы Ф, (Л) и Фг(У) зависят соозастстяснно от переменных х и у: Ф, (Х) = Фг (хррг, Згд,..., ~„, Ф ), (7) Фг(1') — = Р,(удф Аг, ",Уг,ф ) Далее а равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
