В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Д.З). Оа Литература к разделу Д.4: А. Д. Папанин, А. И. Журов (2002), А. Д. Папанин, В. Ф. Зайцев (2002) 412 Метод овоащьнного глздвлвния пвгкмвнных Д.5. Упрощенная схема построения решений с обобщенным разделением переменных Для построения полных интегралов нелинейных уравнений с частными производными первого порядка можно использовать следующий упрощенный подход. Как и ранее решения ищутся в виде конечных сумм (4).
Предположим, что система коорлинатных функций ф,(у) описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Наиболее распространенные решения таких уравнений имеют вид Уд(р) = у', ф,(у) = е *", Ул(у) = в)п(сцр), ф,(у) = сов()),у). (27) Конечные последовательности этих функций можно использовать для поиска точных решений с обобщенным разделением переменных вида (4), где Л„оо Д рассматриваются как свободные параметры. Вторая система функций )о,(х) определяется путем решения соответствующих нелинейных уравнений, получаемых подстановкой выражения (4) в рассматриваемое уравнение.
Указанный подход не имеет той общности, которой обладают методы, описанные в равд. Д.2- — Д.4. Однако явное задание одной системы координатных функций ф, (у) резко упрощает процедуру построения точных решений [при этом отдельные решения вида (4) ью) ут быть потеряныф Важно отметить, что полавляющее большинство известных к настоящему времени точных решений (с обобщенным разделением переменных) уравнений с частными производными, залаются координатными функциими вида (27) (обычно при и = 2).
Пример 1. Рассмотрим уравнение дю , дю , дю — -Г ру (:щ — ) -Ь С (х, — ) = О, да: де ду где Р'(х, н) и С(х, н) произвольные функции двух аргументов. Полный интеграл ищем в виде щ = чо(х)у 4- ф(х), (29) что отвечает простейшей последовательности фг (р) =- р, фа(р) .= 1 при и = 2 в формуле (4). Подставив (29) в (28), после перегруппировки членов имеем гГ)о',. -)- Р'(х, Го)] у -)- (ф' -)- С(х, Зо)] =- О. Чтобы удовлетворить этому равенству при вюбых значениях р, надо приравнять нулю оба выражения в квадратных скобках. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций зг = Чо(х) и ф = ф(х): зо' -)- г (х, чо) = О, ф' -)- С(х, щ) = О. (30) Поскольку общее решение второго уравнения (при известной ьо = чо(х)) описывается формулой ф =.
— / С(, р) д 4 С,, построение полного интеграла уравнения (28) сводится к решонию первого уравнение (30). Пример 2. Уравнение с квадратичной нелинейностью а д — =- ( — ) — аю ф Лх)ю д ау при а ) О допускает полные интегралы вида щ = ьо(х) -) ф(х) ехр(З:рьуа).
Здесь функции Зо = Зо(х) и ф = у)(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка чо„= — ар ф 7(х)чо, ф' = (Дх) — 2асг)ЧЗ первое из которых явгщется уравнением Бернуяли, а второе --линейно относительно ф. Интегрируя их последовазельно, получим (.) = (х)[С, - + (х) *) , (х) = -. [~ У(х) йх1, ф(х) = Св ехр( ~(У(х) — 2ащ(х)] г)х), где Сг, Сз произвольные постоянные. гБ5. Упроигеннпя схема построения региени11 с обобщенным риздехепнем переменньо 413 Замечание 1. При а < О полный интеграл уравневия (31) ищется в ниле ш —.— фх) -1- ф(х) в1п)уч/ — а -1- Ст). Замечание 2.
Для любого а полный ннте13гат уравнения (31) можно искать в виде произведения функпий разных врозь~оптов ю = П1х)1:1у), где С = С1х) н Ъ' = 'г'1ту) описываются уравнениями Б" — 31Х) 1г' = Сг Бтя, )1,,')з аггг С 13 Эти уравнения легко интегрируются, поскольку первое представляет собой уравнение Бернулли, а второе (после разрешения относительно производной) уравнение с разделяющимися переменными. Првмер 3. Уравнение дю дю г — -~-Дх)( — ) = у(х)тп + йфх)у -1- р(х)у-1-тЯ дх ду допускает полный интеграл с обобщенным разделением переменных вида ю =- 1т(х)ггз -1- чь(х)11 -1- Цх). > Большое кохичетпво конкретных нелинейных дифференлиапьных уравнений с частными производными первого порядка, долускаюигих потный интегрст с обобщенныиг разделенном переменных, приведено в гяават )3- 15.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Айзеке Р. Дифференцишзьные игры. Мз Мир, !967. Акуяепка Л. Д Асимптотические методы оптимального управления. Мз Наука, 1987. Аидреяпав Б. П Метод исчезающей вязкости и явное решение задачи Римана для скалярного закона сохранения. Л Вестник МГУ, сер.
мат. и мех., !999, Ззв 1, с. 3 — 8. Аппель ГЕ Тсоретичсскав механика, т. 2. Динамика системы. Аналитическая механика. Мг Физматлит, 1960. Арнольд В. И. Математические моголы классической механики. Мг Наука, !974. Арнольд В. И., Козлов В. В., НейштадтА. И. Математические аспекты классической н небесной механики.- -Мг Эдиториал УРСС, 2002. Барспблатт 1'. И., Ентов В. М., Рыжик В. М Движение жидкостей и газов в природных пластах.
— Мз Недра, 1984. Ьекзиан Р Динамическое программирование. Мг Изд-во иностр. литер., 1960. Ьерезкин Е. Н. Лекции по теоретической механике. —. Мз Из-во М1'У, !968. Виноградов А. И., Крас~тьщик И. С. (ред.). Симметрии и законы сохранения в математической физике. - -. Мз Факториал, 1997, 1алактионов В. А., 11осазиков С А. Точные решения и инвариантные пространства дпя нелинейных уравнений градиентной диффузии.
В Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1994, т. 34, Ззз 3, с. 374 — 383. Галактионов В.А., Посошков С.А., Свирщевский С. Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиазьными правыми частями. Л Диф. уравнения, 1995, т. 31, ЗЕв 2, с. 253-261. 1ант натер Ф. Р. Лекции по аназитическойз механике..
- Мг Физматлит, !966. Гвзьфанд И. М. Некоторые задачи теории ьвазилинейных уравнений. Л Успехи мат. наук, 1959, г. 14, Ззв 2, с. 87 — 158. Градштей~ И. С., Рыжик И. М '!'аблицы интезралов, сумм, рядов и произведений. Мз Наука, 1975. Зайцев В. Ф., Полинин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения..-- Мз Межлунаролная программа образования, !996.
Зайцев В. Ф., Поллини А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным лиффсренциальным уравнениям. Мз Факториал, 1997. Зайцев В Ф., 11озяиин А. Д. Справочник по обыкновенным лифферснциальным уравнениям.. Мг Физматлит, 1995, 2001. Ка,ике Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.
Мз Наука, 1966. Калке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мс Наука, 1976. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в1амильтоиовой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. Университета, 1995. Кружков С. Н. Обобщенные решения нелинейных уравнений со многими независимыми переменными. Л Мат.
сборник, !966, т. 70, 74 3, с. 394 — 416. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоби оГ Рле ейкопа! гуре. Л Мат. сборник, ! 975, т. 27, с. 406-446. Куликовский А. 1;, Свешникова Е. И. Нс.зинсйныс волны в упругих средах. - - Мз Моск. лицей, ! 998. Кузикаьскии А. 1:, Погорелов Н. В., Скиепов А. Ю Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. - Мз Физматлит, 200!. Курант Р. Уравнения с частными производными. - Мг Мир, 1964.
ЛайтхидлДж. Волны в жидкостях. М..' Мир, 1981. Ыаркеев А. 11. Теоретическая механика. --. Мг Наука, 1990, Сссиоок дитя лтя ы Мвзикян А. А. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого порядка. 0 Доклады 1'АН, 1996, т. 351, 7?в 1, с. 24 28. Отвар П. Приложения групп ?!и к дифференциальным уравнениям. — Мл Мнр, 1989. Олвер Ф.
Асимптотика и специальные функции. - Мл Наука, 1990. Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. 0 Доклады АН СССР, 1954, т. 95, 7?в 3, с. 451 — 454. Осейлик О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. 0 Успехи мат. наук, 1957, т. 12, Зчв 3, с. 3 73. Олейник О.
А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. 0 Успехи мат. наук, 1959, т. 14, з?В 2, с. 165 — 170. Петровской И. П Лекции об уравнениях с частными производными. Мл Наука, 1970. Полюти А. Д. Неполное разделение переменных в нестациоиарных задачах механики и математической физики. 0 Доклалы РАН, 2000, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
