В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 76
Текст из файла (страница 76)
71(хз)( ) + ° ° ° + у (х )( ) = ото+ дз(хз) + ° ° ° +д (х ). Полный ише)рал и = р,(х, С))-»" -» р.(х.„,С,.). Здесь функции рь = рь (хг, СР) опредедяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений уь(хг)(рь)г — прг — д),.(хь) = О, которые с помощью подсгановок Р = Р— Р( ) * Рм Р ДР ( грируемые случаи этих уравнений описаны в книгах В. Ф. Зайцева, А. Д, Подянина (1997, 200!)). У ( )(д ) + +7'-(х-)(д, ) = ~д (х )+ +д-(х-)3)з(то) (гн) Замена и = 7! приводит к уравнению вида 15.8.
!.16: ,~Л(ш) (дх ) (дх ) !5.8 Ншинттые уравнения с лтоыи кислом нсреиенныс, содерлкои>ив юроазвольныв ф> нкчии 401 19. 5т(шт)дт(ш)( ) + ° ° + 5" (Ф )д (и>)( — ) = )к(ш). Полный интеграш / -- '~ От=с,> ' + +С„/ ", +С.„ Одну из постоянных С>,..., С можно положить равной единице. 3» . = 'аз "СЫ Ь=Ьи.ыт, к ! (к = 2,...,п). Считается, что выполнено условие ! — ( )'2+" +*-У.) =Р( >, ). Задача Коши о стабилизации системы к фиксированному моменту времени в слое Я = (О < Ф> < Т < оо, — оо < Фь < оо) характеризуется начазьным условием ш=О при х! =Т, 22= =2„=0.
Решение задачи Коши имеет вид ш = / д(1,6(1, кг, г))р (г, х>,г) сй, где фУпкцни й = >>(! хм г) и Р = Р(! 2ы г ) опРсделаютса пУгем РешепнЯ кРаевой задачи для системы обыкновенвых дифференциальных уравнений Ь, = И(т, Ъ) + 2д(1, >с)р, с граничными условиями »=г при 1=2>, »=О при 1=Т (в которых величины г и х> играют роль свободных цараметров). Ов Литература: Л. Д. Акуленко (!987). 15.8.2.
Уравнения со степенной нелинейностью по производным Вш Вто Вто 1' ' ' ' .>1(жз).>2(хя) ° ° ° > (ш ). Вмт Вмя ВФ Полный интеграл'. =С> ~ У>(2>~),(ж>+".+С„! ~~„>(2„!) В .,+ > ) )о( .) Ок.+С.. с,с ...с„    — —... — = Ы*з)Б(шя) У-(Ф-)р( ). В* В В Полный интеграл: Иш = С>/~~(к>) >)хг -!- ->-С ! / 5о >(хо >)с(т„>~- с> >о(т) + 1' Уи(*о) д*„+ С..
с,...с„ В больших круглых скобках стоят произведения (и — Ц различных частных производных. Полный интеграл: Уь(кн) с(яь -!- С и>, ь=г тле произвольные постоянные С>,..., Си связаны одним соотношением С>...Сн > -ь -РС> ...Ст — >Сне!...С + +С>...С =О. 26 В.
СХ Зайцев, А Д Полинин 402 НЯЛИНЯЙНЫЯ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ И БОЛЕЯ НБЗАВНОИЧЫИИ ПЕРЕМЕННЫМИ (,'." ) '(,'. ) ' . (;." ) = и*.)ы*.)".у.(*.) ( ) Полный интеграл.' 1 1 1 [И( )1 . " - баю=с! [)г(хг)1 > йх,-Р" -ЬС. ~ [У„( „)~ - а..-РСЛНП У(*)(ахг) + +У-(*-)(Ох ) Полный интеграл; 1 ГЬ„, — 1 ю = 911(хг) + +у! (х ), где !р (х„,) = [ "' ~ з,л ь (х, ) 11х +с и„, ~(х ~(Р)"'+ +~-(*-~(:")" ='(х)+ Полный интеграл: ~~у,(х,)+С,]ПА! „~~у„(х„)-РС„]1ГА- 1 +С .Г(хг) Й" ь) тле произвольные постоянныс Сз,..., С„связаны одним соотношением Сз-Ь +С„=О. )!д(хз)дд(ю)( — ) + ° + Р (х )д (зс)( — ) = Ь(ю).
Полный интеграл: / ' '" - ] аз=С, 1 -Р -РС„~) " -РС„ ] "' ' / (Г(, ))1,1 '"/ (Р (х ))1/ь Одну из постоянных С1,..., С можно положи1ь равной единице. + зя(хя)дя(™~( д ) + + Р (х )д (ю)( ~ ) = О. Полный интеграш ! хз+С1+ / [С!уз(ю)+ +С у„(и1)1 11ю=СБ з + -ЬС [дь(хь) ( ) — гьь(хь)] = О. ь=з аю 1 Полный интегря н "-- Г ГОЛУБ(хь ) .-Ьь(хь) -' С 1 'Д-' „ « =-С,х +~~~~~ ~хь + С .1-1 уь( 'ь) где произвольные постоянные Се,..., С связаны одним соотношением С -Р -~-С„= О. ут(хт, )+уя(хя, )+...+у (х, )=О.
Полный интеграл: ю = 9!1(хг,С1)+!рз(хз,СА)+ +уз„(хь, С„,)+С Ьг, где С„= — С! — . — Сь. 1. Функции !рь = 9!А(хь, сг) определяются путем решения обыкновенных дифференциа1ьнык уравнений гь (хь, — А' ) = Сь (й = 1,..., и). Разрешив зги уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с разделлюшимися переменными, которые легко интегрирую!ел. Оь Лиямраяюра, Э. Камке (!966). 15.8.3. Уравнения содержат произвольные функции двух аргументов 2 ~'1(хчч — )ля(хя, — ) 2 (х, — ) = а, а Ф О. Полный ин>е>раш ю= ел>(х>,С>)е рч(хз,сз)+ +ил (а,Со)+С,ч, где Со= С Ся...С Функции >ль = з>н(ть, Сн) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений >ь (хч, ~ь ) = Сь (й = 1,..., и).
Разрешив зти уравнения относительно нроизводнык, получим линейные уравнения с разлсляюшимнся переменными, которые легко интегрируются. Ов Пнтервтури1 Э. Камки (>966). г вп> вю г вю аю Рч( — +ачуч,— +ачхч)+ ° ° +>е ( — +а у,— +а х )=О. 'г о*, ВУ1 "(,в „ ' ву Полный интеграл: и = — ачтчуч — — оих у -~- Агхч 4- -~- Ант -1- Вчу> 4- -Р В у, где Аь и В, †. произвольные постоянные, связанные одним соотношением >е>(А>, В>) -ь -Р >" (А„Во) = О. ; вю В1О г аю вю Гч ( — + ачуч, — + ачхч)... 2 ( — + а у, — + а х„) = Ь. (,в, Вуч )'" (в „ ' ву Полный интеграл; Ю = — и>Х>У> — — пот У + А>Х>+ Ч-А Хо -1-В1У1 -1 ' ' '+ В У где Аь и Во, произвольные постоянные, связанные одним сооч ношением 1>(А>, Вч)... 1о(А„, Во) = О.
15.8.4. Нелинейные уравнения общего вида Вю г Вю аю Вхч Вхг Вх Полный интегршч: ю = Сч -~- Сзхз + + С т — / с'(тч, Сл,..., С ) >чхч. Вю г вю вю — + В(хч, —, ..., — ) = аю. а*ч (, ' ахя ' '''' В „ > Полный интегрши ю = Сче"" 4-е'"'(Слтя-1- ->- С„т„) — е"*' / е ""Е(х>,С>е"',...,Сое"') е(т>.
Вю ' Вю ачо + е~ х„,..., ) = д(хч)ю. а*, (, ' а*, * '''' О со > Полный интеграл: и> = И(тч)(С> + Слхл Ч- Ч- С т„) — р(хг) / с(т>,С22>(тч).....,С З>(тч)) зч(тч) глс но(хч) = ехр(/ д(хч) с)тч~). вю г вю а + Х (Х1ч ч ° ° ° ч — ) = д(Х1)ю + )12(Х1)хя + ' ' ' + Ь (Х1)х а*, (, ' ахя ' '''' а „ >' Полный инте>рад: ю = Х22>2(хч) -~- . -1- Х 2> (Х>) -~- 1»(т>), где рн(х>) = СнС(х>)+С(хч) ) а>хч, у = 2,..., и; 1' "ь(т>) С(х,) ф>(х>) = С>С(хч) — С(хч) / Г(х>, З>2,..., Чо ) С(хч) С(хч) =ехр(/д(тч) е>х>~~.
26 !5.8 велинешчые уривненив с лыоыи числом вере ненныс, содерл1сои>>чв нрочывоны1ые гр> нкяии 403 404 Нялиньйныя уРАВнения с тРемя и Вояеь ньзАВнсичыми пеРемьнными дю дю ВЯО 5. — +юГ(хг, —, ..., — )+ Ох ' дха' ''' д „) Полный интегря е ю = 1р(хг, Сг,..., Со) -Ь ~ хь1111(Х„Сг,,, С ), 1=2 где функции 92, грз, ..., О1и определяются путем решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений УР ! Г(хг, 192, ° °, !и )92 г Аз (х1, з(12,..., Ю ) = О, зрь -и Г(хг, фз,..., Яы)грь ч- СА(хг, ОЯ,.,., 19 ) = О, й = 2,..., и.
Ш1рих обозначает производную цо х1. дю ВЯО дю 6. — + Г(х1~ 102(х2) — + т(РЯ(х2)Р ° .. Р 92 (х ) — + ЯРУ (х )) = О. в., дхя д Полный интеграл; Г Си — гри(21) Г Си — зи„(хи) ю = ) '-' '-' ' Ох -ь. —,'- Г " " " г)х — / Г(ХПС,...,Си)РГХ -!-С . мз(хз) зи„(х„) (дю дю ) Полный интеграз ю = С х + ... + С„х„-ь С„ Здесь постоянные С1,..., С связаны одним соотношением Г(С1,...,. С ) = О. ОЯ Лптерит>ри: ЯЯ Камкс (!966).
8. Г(хз, —, ..., — ) = О. Ох, ' '''' Вх Полный интеграл ю = С1 -!- С хз + -!- С„х„-!- р(хг), где функция 1р = 1р(хг) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г(хг, 92~, Сз,, С ) = О. дю ВЯЯ 9. Г(азхз+ ° +а„х, —, ..., ) =О. в* о ) Полный интеграл: ю=Сгхг-Ь . +С,х -ЬСЯАг-Ь1р( ), Я=азхг-1-.. -Ьа х„, где функция 91 = 1р(я) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г(Я, а191, -!- Сг,..., а 91' -1- С„) = О.
Одну из постоянных Сг,..., С можно положить равной единице. Г дю дзо т дю дю 10. Г( —, ..., — 11 + хт — + ° ° ° + х — = О. дх1 Вх ВХ1 Вх Полный интез рал: ю= 91(е)+С Я1, Я =С1хз+ -ЬС х„, где функция 92 = 1р(е) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г(с,р',..., С.9'„) + Еу'. = О. Одну из постоянных Сг,..., С„можно положить раввой х1.
75.8 Нюииатые >равнения с люоыв числом ллеие1ленныт, гадгрягащив лщолыяояьл~ьле ф> нхяии 405 11 12 13 14 15 16 17 г дю дю дю дю —, — )+хает + ° ° +х — =О. дхл дх д „~, " д Полный интеграш ю = С1х>+ ... + Саха+ фа) + С„т>, з = Сьтгхь-н+ + С„х где функция ул = ул(я) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г(С>, ..., Сл, Сл<.гу~,,..., С„з>() + взг~, = О. Одну из постоянных Сь.лг,..., С можно положить равной х1. ( дю длл ) дю дю дхт ' ' Ох дхз дх Ураввснлле Клеро. Полный интеграл: ю = Слх! + + С„х„+ Г(СП ..., С„).
Оь Ливерам>ра: Э. Камке (1966), А. М. Виноградов, И С. Красильщик (! 997). Ою (,, ) д Л д д Г хт,, ..., )+ха + ° ° +х =ил. Охт Ох ) дхя дх Полный ив гетрах ю = Сяхз-!- -гС„зш4-чл(х!), где функция 9л(х>) = ул(хг, Сг,..., С ) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением Г(хл, 9>', Ся, ..., С„) = га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
