В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Г ' 2*. Рассмотрим частный случай.' Ьл = О, Ьг = О. Кроме того, булем считать, что (~л = ог)(х), У~г = агз(х)+д(х), згз = азД(х) + 9(х), ггг = ал)(х), (4) 1де ( = Дх), д = д(х) произвольные функции, а аы аг, аз, ал произвольные числа. При этих условиях общее решение линейной однородной системы уравнений (1), (2) имеет вид рг = Сг ехр(Лг / 7' л(х) + Сг ехр(Лг / г' г(х), рг = — г ' Сг ехр(Лг / г" г(х) — г г Сг ехр(Лг / г агх), ил ил (5) Полный интеграл ищезся в виде и = Зг(х)у + го(х)г + Цх). +Г(х, +ах, +ау) =О. Полный интеграл ю = — ау + Сг у + Сг — ( р'(х, Сг, Сг) дх + Сз. + й'(х д (У) ду + Полный интеграл: С, — Ь,(у) дгЬу) Ьг(у), дг(х) + Ьг(х)) = О. Иу-1- /' С, — !лг(г) г(г — (' Г(х, Сг, Сг) дх + Сз.
дг (г) Полный интеграл: 1 ю = Сгу+ Сгг + Сз + —, ~ ( — Г(гй Сы Сг) + гг(гп Сг, Сг) — 4С(х, Сг, Сг) ~ л(х. где Лг, Лг корни квадратного уравнения (Л+ аг)(Л+ аз) — озал = О. 3'. Пусть Ьз =6~(х) и Ьг =Ьг(х) произвольные функции, афункции г"„=)н(х) описываются форлзулами (4).
В этом случае общее ре~лсние линейной неолноролной системы уравнений (1), (2) можно получить методом вариации постоянных или с помощью детерминанта Вронского (см., например, С. М. Мцгрйу (1960), оь Камке (1976), П. Кзпййпйег (1993)). 390 1О Полный интеграл Г аю Оеп х'( — + арх, — + ахх, (,д ' ар Полный интеграл.' иг = — ахря дю дю х'(ах + Ьр+ ох, —,— ах Ор Полный интеграл.' 15 16 17 Полный интеграл 18 12 13 14 Нвлгзнвйныя уРАВнения с ТРВмя и БОлее нвзАВноимыми пеРеменными Полный иггзеПзал: ю = Сгх+Сгр+Сзх+СА, где первые три постоянные связаны олним соотношением Г(сг, С, Сз) = О. СЯ) Лапгератчра.
Э. Камке(!966). таю аю а т аю а а — 4 — )+х — +р — +х — =О дх ' др ' ая дх др дя ю = Щ) -1- Сп, 6 = Сг х + Сз зг -1- Сз з, где функция 9Р = уг(6) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения й(С,р',, С,р',, С,з',) ьфр', =О. Одну нз постоянных Сг, Сз, Сз можно положить равной елиницс. ( Ота Ою Ою 1 Ою Ою аеа )+х +р +х =ю.
ах др ах дх Ор ах Ураяпеяие Кзера. Полный интеграш и~ = Сгх + Сер+ Сзя+ Ь(сг, Сз, Сз). ОЯ Лаюерам)ра: Э. Камке !!966). Ою Ою Ою т Ою Ою й(х, —, —, — ) + р — + я — = иг. " ах ' ар ' а ) ар ах Полный интеграл: ю = Сз р-нсзз44р(х), гле функция зг(х) = ЗР(х, Сг, Сз, Сз) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения г'(х, 94'„Сз, Сз) = ег. дю Оиг Ою т ( х' ах+ Ьр+ сх... ) = О. Полный интеграл: и~ = Сг х + Сер + Сз + уг(б, Сг, Сз), 6 = ах + Ьр -1- сз, где функция 94(х) = зг(х, Сг, С ) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения азарт -Ь Сг, Ь рс + Сг, сгрз) = О. а — + ахр) = О. а Я- Сер г- СЕЯ + Сзз 4- Сп, где Г(сг, Сг, Сз) = О, Ою т дза диг дзп , — )+х — +р — +х — =ю.
' а ) ах ар а ю = Сгх -1- Сгр+ Сзз+ зг(6), 6 = ах+ Ьр+ сх, где функция 9Р = 94(6) определяется путем регнения обыкновенного ггифференциазьного уравнения Ь'(С, а9РС -1- Сг, Ьугт -1- Сг, ср! -1- Сз) -1- 69Р, = За. Г( д" деа д ) =О. еа = зг(б). б = Сгх -!- Сзр -1- Сзз, где функция 94(6) определяется путем решения автономного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка Г(р, Сглаз, Сззгс, Сззге) = О. ОЯ Лапгерапдра: Э. Камке 1!966). с'(ах+ Ьр+ ох+ мю...
) = О. При Ь = О см. уравнение 15.5.4. !4. При й ф О замена Ьгг = ах -1- Ьр -Ь сз -Ь Ью приводит ди а ди Ь ди с т к уравнению вида 15.5.4.!7: г'(Ьи, — — †, — — †, — — †) = О. дх Ь ' ду Ь ' дя и 391 15.6 Нвюнсйныезривнения с нетырьпя незивисшвыпи перененньпии дю дю д 19. Г(х, —, — + ах, — + ау) = О. ' д* ' Ор ' О Полный интеграл: п~ = — ау- -Ь Сгр -Ь Слз + Эз(х) + Сз, где функция Эп(б) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порялка с'(х, р~„сы С ) = О. Ою Ою Ою Ою Ою Ою Л е \ю~ ,х +у +х ) =О. Ох Ор Ох Ох Ор Ох Полный интеграл: ю = Эз®, б = Сзх и'- С у -1- Сзя, где функция рЯ определяегся путем решения обыкновенного дифференциально1 о уравнения первого порядка Р(р, С, р',, Сяд',, Сз;р',, бр',) = О.
зь р(, О,С(~, О ),Н(, О ))=О. Полный интеграл: и = у(х, Сы Сз) и'- ф(у, Сз ) -~- т(з, Са) -с Сз. Здесь функции Ээ, ЗЗ, т определяются путем решения обыкновенных диффсрснциальных уравнений с (х,9з,СПСз) = О, С(р,фи) = Сы Н(з,х.) = Сз. Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с риделяюшимися переменными, которые легко интегрируются.
22. е (С(Н(х, ),у, ),х, ) = О. Полный интеграл; ю = р(х, С1) + ф(р,С,сз) +х(з, Сз) + Сз, Здесь функции 9з, ф, т определяются путем решения обыкновенных дифференциызьных уравнений Н(х,эз ) =Сы С(сыр,ф ) =Сз, Е(сз,з,Л.) =О. Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения с раэделяюшимися переменными, коз орые легко инте~ рируются. Оь Лтпература. Л. П. Маркеса (1990). 16.6.
Нелинейные уравнения с четырьмя независимыми переменными ы В этан раздеяе рассматриваются отдельные нееинейные уравнению с нетырьлт независи.ны.ии иеретеннылги, содержащие произвольные параиетрьь Нелинейные уравнения, содержащие произвольные Озункции, сис в равд. 15.8 при п = 4.
15.6.1. Уравнения квадратичные по производным :., +а(.'.,)'+ (.'..)'+ (.':.)'="* -+ *- Полный им страд: т = Сз Е(х;) + (Сзхз + Сзхз -Ь Слхл)Г(х1) + Г(х1) / ' ' ' дхы р(х1) где с (х) = охр( х",~ ), Л = асз -~- Ьсзз + сСлз. ' п+1 392 Нвлггнейиыя уРАВнения с ТРями и БОлея ньзАВисимыни ЛИРеменнычи Частный случай уравнения ! 5Л. !.2.
2а в!из хз Это уравнение описывает движение материадьного твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа Пуассона (хд время; хд, хз, хд углы Эйлера; и функция Гамильтона; а = Ь ~ с моменты инерции, й произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до неподвижной точки). Полный интеграл.' и = — Сдхд+Сзхд+Сзхд+СА~ / 04 Лищерамури Б. Н. Березкин !!962!. ддо 1 ( Вш ')2 1 )' ди ')2 1 !' Ви ')2 а Это уравнение описывает движение планеты в центральном ньютоновском поле притяжения (хд "-время, хд - - радиальная координата, тз и хд — удтювыс координаты, и функция Гамильтона).
Полный интеграл. Ра Сз, Сд пг = — Сдхд Ч- Сдх4 -1- Сз х / 2Сд Ч- — — — 4 г)хг х / С4 — "д г)хз. ха хда ХП Хз 04 Лаогерапгураг Н. Дппезь !!960), Б. Н. Березкин !!962). +ахд( ) +Ьхд( ) +схд ( ) =ехчдш. Полный интеграл: и = гр(хг)(Сд л-Сдхд + Саха + Саха) — 'р(хд) / р(хд)(аСдхг + ЬСдхд -б сСАхда) г)хд, ( з Рчд1 где р(хд) = екр( х, , 9-!- ! = Ьхд до + с2хд х2 + сзхд хз + с4хд *х4.
Частный случай уравнения !5.8.!.5. = СЕХд + С2ХЯ + Сзхз + С4Х4 Частный случай уравнения ! 5.4.2.6. 2 А Вго А Вдо Полный интеграл; и = 94(хд)(Сд + Сдхд + Сзхз+ Сдхд)— — Р(хд) / уд(хд)(адСЯЕ ' ' + азСзе ' ' + азС4е ' ') г)хд, где р(хд) = схр( — е' г' Ь в*г1 зоз 15.8 Негимеймыегривнегыы ь четырюьм нюивиьюеыми нерьлеммыии и4С4, и,ть 2 Ши па -1- 1 Частный случай уравнения 15.8.1.15. 15.6.2. Уравнения содержат степенные функции по производным 1. + = О. д Полный интеграл: ю = — Ахг -1- Сг2 1 + Сзхз -!- Сзх4 -!- Саь .4 = ,гьь+ь,( ) 4,11ь+ь,( ).ь,т ьь,( ) =а Полный интеграл: ю = Ах 1 -!- Сгх1 + Сьхз -1- Сзх,ь -1- Сь, глс А = аг У11 + Ь1С, -~ аз Уь 1 -1- Ь2Сзг ч- аз ) г 1 -)- Ьз Сз.
дю Вю Ваи дю и = ахгхзха ха. Вх1 Вх2 Вхз Вх4 и -1- 1 Полный ингеграл: ю = ' х,+ -1- ' хз+ + хз' + ха Я -1-1 п.1-1 т.иг з С1СгСг(з-1-1) 24 д г д г Вю ти г Вю 1МЗ 4. +аг( +Ьхзха) +аз( +Ьхзха) +аз( +Ьхяхз) =схг. дхг дхз Вхз Вх4 Полный интеграл нь = — Ьхгхзха-!-С\ля+Саха-!-Сзеь — !игСгг -1-игС2" Ч-изСз~)хг-1- 21 -1-Са. п -1-1 5. агхг'( ) +азха'( ) +азха*( ) +а4х44( ) Ьгха + Ь2хз + Ьзха + Ь4х4 Частный случай уравнения 15.8.2.6. ,*", ( В ) *+,х;"( В ) '+,," ( дю ) '+ а4 , "( дю ) ' = Ь ".
Часпгый случай уравнения 15.8.2.7. днг Нь дю Мз даи мз Вю иа аг( — +Ьхз) +аз( — +Ьхг) +аз( — +сх4) +а4( — +схз) =в. Полный интегрхн иь = — Ьхгхг — схзх4 + Сгхг + Сгх2 + Сзхз + С4х1+ Сз, глс агС,' + азС '-' + азСзз -1-а4С.,' = з. а( — ) ( — ) +6( — ) ( — ) +хг — +хз — +хз — +х4 — — ю. Полный интеграл: ю = Сг ха -!- Сг ха + Сзхз + Сах4 -!- иС,"Сг + ЬС1" Са. Полный интегрхс 2С Сг — хг+ 2 хг " '+ 12 2 д В„„2 2С вЂ” з- 2С з . 2 ! 4 .
г 2 — 12 з 2 — 144 4 ,Юнзтг + 3 'З Ю За иС2 „, и Сз, 1 п2 1 пз -!-1 394 нвлинеяные РРЯВнения с ТРВмя и БОлее нБ34Вноичыми ЛЯРЕИВнными 9. а»( +6хг) ( +Ьх») +аг( +сх4) ( +схз) =я. Полный инте»раш ю = — Ьх»хг — схзх4+ С»х» + С хг+ Сзхз + С»х4 + Сз, где Я,»С, С., +а»СЕ С4 = Я, Ь2» 2 1й. а»( — + 6хз) ( — + сх4) + аг( — + Ьх») ( — + схз) Полный интеграл: и» = — Ьх»х2 — схзх4 -1- С»х» -!- Сгх2 -1- Сзхз -!- С»х4 -!- Сз, " (;™,)"'(;.,)" (;™,)"'(;..)"' =.* '* '* '* '- Частный случай уравнения 15,8.2.4. Полный интеграл. й» -»- 62 -»- ЬЗ Х 64 — » я»-~-ьлтьзть4 и» = ' 2 4 4 !»С»х» + Сгхг+ Сзхз+Ах») ь»4.'гт'4884-» + С», ЬЬЯ ~ЬЗ ! Ь4 А ( Сь» СЯЗС»з) — ~»~4 ( Ою )ь»( Ою )ь2( Ою )»'з( д»я )»'4 Ою д»и дю ди» Полный интегра и ю = С»х» -1- Сгхг + Сзхз+ С»х4 + НС,'Сг'Сз'С4'.
Полный инте»рал: ю = — ах»хг — Ьхзх»+ С»х»+ Сгхг+ Сзхз+ С»х»+ СБ, тле С,'Сг'Сз'С4' = с. 15.7. Нелинейные уравнения с произвольным числом переменных, содержащие произвольные параметры 15.7.1. Уравнения квадратичные по производным 1. +аг( ) + ° ° ° +а ( ) =Ьи»+ох». Часп»ый случай уравнения 15.8.1.1 при Д»х») = Ь, д1х») = схь. Полный инте»ра и 'и» = »С» + Сгхг+ + С„х„)е ' — — »»»гС22+ + Н„С„)е ' +се»~ е *'х, »12»», Ь Частный случай уравнения 15.8.1.2 при У(х») = сх"„д12»») = О.
Полный интеграл: ю = 52(х») -~- С»»/:(х») ехрЬСгх -1- -1- С х„). г г Здесь постоянные СЗ,...,С связаны олним соотношением ОЗСЯ ч- -Ь О„С„= Ь, а функции фх) и ф(2») определяется формулами: Ч»(х) = г"(х) [Сят» — Ь / 1"Ьх)»12»~, ГЬх) = ехр( — хят ), й»1х) = ехр®2ЬИ»х) Ч- сх") г!х). 15.7. Нетнейные уривненип г произволиным ниепом переменном год!ермепщие параметры 395 2 д„г Полный интеграл.' ю = Сее " 4-е "'(Сяхя Ч- Ч- С хо) — е *'/ е"*' 1и Сах,' 4- 4-а С х,") дхы дю и,г а и„т дю та 4. — +аахти( — ) + ° +а хт" ( — ) =Ьх~ ю. дхт ахя ),а„) Частный случай уравнения 15.8.1.4 при ~, 1х~) = а;хг*, д1хг) = Ьх",". Полный интеграл: и, ю = 1о(хг)(С1 + Сяхя + ' ' '+ Спхп) — 1о)хг) / Чв(хг) 1аяСах",е +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
