В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 70
Текст из файла (страница 70)
15.2.2. Уравнения с произвольным числом переменных а Ою дю 1. + Уя(хг,ю) + + У (хг,а>) = д(хт). а ' а ' а Общее решение: Ф(ам ищ..., и„) = О, где и> = ю — С(х>), С(х) = ( д(х) дх, >' 1 аь = хь — / Ун(1,С(!) — С(х>) + и>) Ф., й = 2,...,п. При интегрировании и> рассматривается как параметр, а выбирается произвольно. дю дю дю + Уя(хт ю) + ' ' + У (хт ю) д(ю) а дха ' дх Общее решение: Ф(а>, из,..., и„) = О, где и> = х> — С(и>), С(ю) = ! вю ./ д(ю)' '" Уа(а(!) — С( ) Фх„г) 9(!) При интегрировании и> рассматривается как параметр, а выбирается произвольно. Ою дю Ото +Уз(хг,ю) + +У (х,а) =д( ))в( ) а а, " ' а* в!ю Замена х = / д(х>) в!з>г приводит к уравнению вида !5.2.2.2.
Замена ю = .> л(ю) приводит к уравнению вида 15.2,2.1 для ю, НвлинБйныя уРАВнения с тРемя и БОлее ИЯЯАВИОНИБВ1и леРеменными Ою О О 4. — + Гг(хз, ш)дг(хг,и) — + ° ° ° + Ь' (хг,и)д (х,ю) — = О. Ох дхг Ох Общее решение: Ф(ю, иг,..., Н„1) = О, где НВ = / ГА(х1,ю)г!Я1 — ~, Я=2,...,п. Г аЯА ЛА(ЯА и) При инте1рнровании ю рассматривается как параметр. НА = х11РА(х1, ш) — / ГА(х1, ю)С1(Я11, ю) РЬЕ1, СА(х1, НР) = ехр ~ — / д1 (х1, ю) 11х1~ . Г!рн интегрировании ю рассматривается как параметр; й = 2,..., и.
Яг дю — + [Х г Уг(ХА, И) + Хгдг(ХА,И)] — + ° ° ° + дхг Охг + [х„" Г (хт, ю) + х д„(хз, ю)] — = О. Ох 1 ,1 А Преобразование Е1 = хз, яг = хг ',..., я„= а„приаолит к уравнению вида 15.4.3.4: дю дю дш — -Н(1 — йг) [Гг(еп ю)+Ягдг(ез, ю)] — + Ф(1 — й ) [Г" (Я1, Ле)+» д (Яз,ю)] — =О. дг1 д.я " " ' " " ' дя„ + [е ' 'Гг(хг,и) + да(хт, и)) + ° ° ° + Охт Охг + [е " "Г' (хт, и) + д (хт, ю)] — = О. дх Преобразование Е1 = хт, ЯЯ = е "*', ..., Ел = е '**'" приводит к уравнению вида 15.4,3,4: дш дю дш — аз[ГЕ(ез.,ю)+егд (ез,ю)], — .— а [Г" (Я1,ю)+е„д (Я1,ю)] =О.
дю ОЯЯ О 8. — + уг(агхт + Ьгхг,из) — + ° + 1' (а юг+ Ь х, и) — = О. дхт дхг Ох Общее решение: Ф(ю, из,...,и„) = О, где Ж НА = Х1— аА л-ЬА ГА(г,ю) 1 Г-» НА = ЕА — — 21 !Я(1, и1) Ф,, ЯА = агхт+ ЬАхг, при Ьг ~ О, ЯА = агхг при ЬА=О, с» любые. 9. -1- ~г ( — г, ю) ю -1-... -1- у„ Общее решение: Ф(ю, из,..., и„) = О, =.С, щ ня = — !п !Я1[, ГА(1,1Я) -1 (,и) = О. гле — ОВ любые, й=2,...,п. Я1 10. — + —,6(хггх~ ', и) — + О *, „,, О Ох1 х1 Охг Общее решение: Ф(1Я, иг,..., и„) = О + — 1 (хз" х ",и) — = О.
Ох где и, = — !п !Я1), =Е щ 1(1НЕ,Г,(й,ю) -1- й,) А. любые, 1 = 2,, п. 5. — +[Ха(хт,и)+хада(хт,и)] — + +[Л (хг,и1)+х д (хт,и)] — =О. Ою ОЯЯ О дхг Охг ' Ох Общее решение: Ф(ю, иг,, и„з) = О, где 153. Нтдпнвйныв удиви»ни» второй степвни отнотдтв»ьно производны с трал» пор»ив»ныли 369 + е " "г" (хде " ",ю) — = О. дх где зи = х|сь""", .сд -- любые, Ь = 2,..., и. + х Х (е " 'х„"",ю) — = О. а где 2, =с""х,', с, любые, д= 2,...,п. азм дхг Ох Общее решение: Ф(п, пг,..., и ) = О, где дд ,"ь пи =) — хд, хь =хдс '', сь -любые, )4=2,...,п.
Ль Ги(йю)+аиг =О 13 !4. — + — Гг(хд е,ю) — + иг г г ах Ох2 Общее решение: Ф(ю, пг,..., и„) = О, -Г" 4! пт = — 1п [х д[, ![в -1- а Г,„(й ю)) + — г" (х,"е " ", ю) — = О. хд о где 15. Уд(хд,ю) + Уг(хд,ю) + ° ° ° + У (хд,ю) = О. Ою а а ах, а*г " ' а „ Общее решение: Ф(пг,пз,...,п,ю) =О, где пд =хи — ) ' ' г(хд. Г Гь(хд, Г (х,ю) При интегрировании ю рассматривается как параметр; А = 2,..., и. 1б. Хд(хдд ю) + Уг(хгд ю) + ° ° ° + Х (х, ю) = О.
д дх2 Ох Общее решение: йд д, дхя где пд = Ф(пыпг,...,п„д,ю) = О, При интедрировании до рассматривается как параметр; Ь = 1,..., и — 1. 15.3. Нелинейные уравнения второй степени относительно производных с тремя переменными 15.3.1. Уравнения содержат квадраты одной или двух производных Г!олный интегРал: ю = Сдх -1- СгУ -1- Сзз -1- С4, где Сд 4- аСг Ф ЬСз Ф сСг = Е Полный интеграл: ю = Сду+ Сгз — г (аСд + ЬСг)х + (й — сС, )х -'; Сз. дю а аю гатти 3. — +ау — +бу — +с( — ) = й. а ау ах (. ау ) Полный интеграл: пд = аСдз Ф (Сге ' — бСд)у Ф(б — Ь сС,)х — — 'СдСгс ' -Н вЂ” '" с "' Ф Сз. г г 26с „, сСз а 2а 24 В. Х.
Валиев, А Д Полинин 11. — + е г грз(хде ' ',ю) — + дхд дх2 Общее решение: Ф(ю, иг,..., и„) = О, 'д 44 пд, .=, — 1п[х1[, Д[аьГГ»(б ) Ф !! 12. — + х~~у(е ' 'х ', ю) — + ° а дх2 Общее решение; Ф(пй пг,..., и„) = О, .=Г йд с[он + Й,Г,(д, ю)) з,„=х,я"с "" "', с, любые, да=2.....,п. НВЯ14нейныя уРАВнения с тремя и Вояеь незАВноичыми пеРемьннычи Полный интсграх и = (Сле~" + Сзс ')у — — [Сле — Сзе ')з -!- 6 1 2 сС4 зл,. сСЯ вЂ” глт 2 2 й — йх -1- 14Я вЂ” 2сС4Сг)х — ' е ' -6 е -1- Сз, 2 2Л 2Л Л = ъ'аЬ. Полный интсграл: Ри = у[СР ехр!Лх ) -1-СЯ Вхр! — Лх )) — — я[СУ ехр!Лх ) — Сз ехр! — Лх )) й 2 2Л 2 Ь +,4 йхз+ ях — с / [С1 яхр44Лхл) + Сзехр! — Лх )] с!х+ Сз., Л = флгаЬ.
К этому уравнению сволитсв задача о движении материальной точки под действием силы тяжести !где х -- время, а у и я -- продольная и поперечная пространствснныс координаты, а ускорение силы тяжести). полный интегра н НР = — Слх+ Сзу+ Сз х —,12С4 — С, — 2аз) 1 2 212 Зи, Ои дитсритури: Г. К. Суслов 11946). Ох 2(др) 2(дя) Рсрг ! г К этому уравнению сводится задача о движении двух тел, притягиваюгпихся по закону тяг отения Ньютона. Псрехоля к полярным координатам у = г соя д, я = г з)п В, получим уравненис с раздсляюплиллися переменными: Полный интеграл: и = — Слх — СЯВ ~ / (2С4 Оя Лиляеритури: Р.
Курант 11964). 2и, Сзз л Пз Ч- — — — ') Вг 4- Сз. г — + а( — ) + Ь( — ) = си + 1сх Частный случай уравнения ! 5.5.1.2 при у1х) = с, д1х) = йх". Полный интеграл: и = 1С4 + Сзу+ Сзз)е'* — — 'гаСРЯ+ ЬСЯ)сл'" + йс'*)' х" е "' с)х. с 10. — +а( — ) +Ь( — ) =си+йед .
Частный случай уравнения 15.5.1.2 при Дх) = с, д1х) = йсп'. Полный интсграл: ю = 6С1 + Сзу+ Сзя)еи — — ЬНСЯ +1РСЯ)е ' + е '. 1 2 2 2* й р. с  — с 11. — + ад~ — ) + аз( — ) = Ьи + сх"и+ йх д. 'Лд,) 1О.) = Частный случай уравнения !5.5.1,3 при у1х) = сх", д1х) = йх 4. — +ау +Ьх +с( — ) =й.
дю Ою дю дю Ох Ор Ох Ох Полный интеграл: и = Слх -1- СЯ 1и [у~ -1- Сз~ 4 -6 СА, где Сл -6 аСЯ -1- ЬСз -6 сС42 — — й. Ого Ою 2 О О О 12. — + ад( — ) + аг( — ) + Ь» — + Ьг — = О. Ох Оу Ох Ор Ох Полный и»»гагра»»» ю = — (н»Сг 4- агСгг+ Ь,С, + Ь»Сг)х+ С»у 4- Сгг+ Сз. Ого Он» О Огв Ою 13. — + а»( — ) + аг( — ) + Ь»х — + Ьгу — = О.
дх Оу Ох Ор О Полный интеграл» ю = ур» (х) -!- з рг(х) — / [а»»р, (х) + из»рг (х)]»!х + Сз, тле р»(х) = С»ег' -!-Сге ', »рг(х) = — — (С»е ' — С2е и), Л = »»Ь»Ьг. йг 14. +а ( ) +аг( ) +(Ь„у+Ь„) О»о + О + (Ьг»у + Ьггх) — = вю + с»у + сгх + со. О !5,5.1.1 7. Частный случай уравнения 15. +а»( ) +аг( ) +Ь»х х — +Ьгх р =ох Полный интеграл: ю = др,(х) + гггг(х) + х ' — / [а»р»(х) + агр,(х)]»!х+ Сз, и -1- 1 тле уг»(х) = С» ехр(Лх»Ю) -»- Сг ехр(-Лх 4 '), Л = Ь -!- 1 угг(х) = — [С» ехр(Лх ) — Сг еяр( — Лх )]. Л(й -1- 1) и'» г т» бг 2 Ою 1б. — + ад( ) +аз( — ) + Ь»ер х — + Ьгев у = О.
Ох Ор Ох Оу О Полный инте»ри с »о = у»о» (х) + хрг(х) — / [о»уг» (х) + аг»ог (х)]»гх + Сз, тле р»(х) = Ьг[С» ехр(Ле ) -!- Сгехр( — Ле *)], Л = рг (х) = »гоЛ [ — С» ехр(Ле» и) + Сг ехр( — Лере)] . 17. + ах" ( ) + Ьх" ( ) = сх ю, Полный интеграт» и» = »о(х)(С»+ Сгу+ Сзг) — фх)/ р(х)(аСггх" + ЬСзх")»!х, О г,гдю»2 „ГОю»2 18. +а»х ( ) +агх" ( ) = Ью+сгх у+сгх'х. О Ор (Ох! = р(х) = ехр( ). Полный интеграл: ю = е * [у»о» (х) + г»ог(х) + ю(х)], гле »р»(х) = С» + с» / х» е Ох, »рг(х) = Со+со / х»е с!х, '~(х) = Сз — / е *[а»х»р»(х) + игх" »рг(х)]»)х.
24 15 1 Нюинейные уривнвнин второй степени относитегвно производнпа с трепа перс иеннпыш 371 Нвлинейныя уРАВнения с ТРяйя и Волея незАВнсичыни пеРемьнными ах ( +ох) +Ьх"( +су) =вх интеграл: ю = — сух+С( у+Сзз — х — х + х +СЕ. йс, йт( ЬС и -(-1 й-11 гй -(- 1 ау (д ) +а "(д ) =Ьх™+ у +% дю — + дх 19 Полный дю д Полный 20 Ии ГЕ1 РХН Из=С( (С21сз)х.з х т .! ) 2 '1 й(у+ ! з 2 (!2 Ь 1 Сз -(- с,да Сз ь сзза Рй Е 1 йз д й 2 2 ди7 +азу ( ) +азх" ( ) =Ью +сх ю+вхч.
Частный случай уравнения 15.5.1.10 при 1"1(у) = йгу", 12(з) = йзз", д(х) = сх 6(х) = зхз. 21. дю йз 7 гдютз йя — + (азх 'у+Ьзх ')( — ) + (азх 'у+Ьзх ')( — ) = сгх ю+сзх'. дх 'зду) дх Частный случай уравнения ! 5.5.1.12. 2 Ою — +А(ах+Ьу+ох)" ( — ) +В(ах+Ьу+ох)" ( — ) =В(ах+Ьу+ох) дх ду д Частный случай уравнения ! 5.5.1.14 при )(и) = Аий, д(и) = Ви", Ь(и) = Ви". 23.
24. 2 1 Полный интеграл: ю = Сге' -1- е' (Сзу -1- Сзз) — е " — — 'е йсз (2 ьл( Ьсз (2, В1 с -1- Л с-(- 13 + ае ( ) + Ьев ( ) = сет ю. По7шый интегра и ю =1р(х)(С1+Сзу+Сзз) — 97(х) ((1р(х)(йсззе '+ЬСзе ) (!х 92(х) = ехр( — ез*) . т д,л 2 В /ди11 12 1 + азел ( — ) = Ью+ сзе у+ сзе х. 'Ла ) Полный иитеграз( ю = е * (урз(х) -ь 2(аз(х) + Ф(х)], где с, + " .."-"'., у,( ) =СЕ-Ь т — Ь ' ' ' л — Ь' Сз — ) е к (йге 1р,(х) + йзе ' 1рз(х)] Ртх. (х) = 7Р(х) = — +ае ( — +сх) +Ье~ ( — +су) =йет +в. дх ду дх 27.
Полный интеграл: ю = — суя+Сгу+Сзз — — С,е — — СЯР -1- — е -ЬН21+Сз. а эльзе й Л 28 К этому уравнению сводится задача о движенни стержня, опираюшегося на горизонтальную пзюскость и вертикальную ось (х время, у и я у(новые координаты). С2 Ь 1(2 Полный интегрш(1 ю = — НСгх+ Сзу х / (С1 — 2 — — сов 2) 7!2+ Сз. з!и з й Оь Лаюераайра: Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
