В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Ов дйитвратура: Э. Камке 11966!. 2. +Е(х, ) =ииь Полный иитеграш ю = е'*(Сгу + Сз) — е'* / е '" Г(х, Сге"*) дх. а ~ а Полный интеграл; дх ш = но(х)(С1 У+ Сз) — 9о(х) / Р(х, Сг!о(х)) р(х) уо(х) = схр [/ д(х) дх~ . " (:™.)'+ (:"„)'= ~(*:„-'™.) Полный интегРал: ю = Сг иге!К вЂ” '-1-Св-1- ) !е(Сг)Л вЂ” Сг —, гпе Л = трт' + У'.
у !' 2 2 — 2 2 х я 348 Нвлииейныь игьвивввя с давил иезхвионмыии пегвь~внвыьш свювго вида — + х'(х, — ) = д(х)та + !ь(х)у. Полный интеграл: = ур(х)+ Их), гле ьа(х) = СзС(х) -1- С(х) )', дх, С(х) = ехр() д(х) Лх], ф(х) = СяС(х) — С(х) / г'(х,за(х)) —, С(х) ' — Г( —, ) О. Частный случай уравнения !4.5.4.6. — нзх'(х, — ) = О.
Полный интеграл: ш = Сз ехр(Сзу + / Е(х, Сз) Лх~. ( „( д ) д дх ду ду Переходя к новым переменным ! = / д(х) дх, х = у+/ Ь(х) Лх, получим более простое ди Г дтт уравнение — — Гг~ ш, т, ) = О, которое является частным случаем уравнения!45зй4. д! дв (Й)'"(*)Й = (*%) = — — 1!ит+ д'и! ~ги,иа)за+с, 2,/ Полный интеграл.' дза дьа х. ( дзи дта ) д "ду д* ' ду Уравнение Ктера. Полный интесрал: и = С1х+ Сзу+ Г(СН Сз).
Оь Литерат»ра: Р. Курант (1964), Э. Камке (1966). 1О. Уравиение с раздешюииьиися неретеииьыш. Г!олный интеграл: ю = р(х) -Р ~ (у) -Р Сы где функции 1а = р(х) и ф = ф(у) определяются из обыкновенных дифферснцишзьных уравнений гз(х, р,') = С, Рз(у,Я = С . Оь Литвратира; Э. Камке (1966). ш = С, х 4 Сзу -1- Сз, где Са - произвольная постоянная, а постоянные Сз и Сз связаны соотношением Е(СНСз) = О. Ои Лии~аратура: Э. Камке(!966). 349 44.5 Урддвнвннв с нроздзвоз ноа зовьсиностыо от нроизводныз 12.
Гд (х, — ) + Гя (у, — ) + атс = О. Уравнение с раздедяюдадьддися нвренвннымн. Полный интедраю ю = Фх) Ь ф(у). Здесь функции у = р(х) и ф = де(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гд(х,зр,) 4- ауз = Сд, Гз (1д дзд'„) -Ь азР = — С, где Сз произвольная постоянная. Если и ~ О в этих уравнениях можно положить Сз = О. Ов Гдздтвротуро: оь Каллас (!966).
13. Гд (х, — ) + нд Гг (у, — ) = О. Полный интеграж ю(х у) = р(хИ'(у) Здесь функции р = р(х) и Уз = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями фьрз(у, Я =-С, р-"Г, (Х, Рз ) = С, дде С произвольная постоянная. 14. Гд(х,— )+е" Гг(у,— ) =О. Полный интеграл; 'Г (х,Р'.) =С,,' Гз(„.ф тле С произвольная постоянная. (* — ' — ')+ (' — ' — '") ="'"- из Ох Ву Полный интегрь с ю(х, у) — УММУ). Здесь функции дз = р(х) и ф = дзз(зу) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями Г, (х, — ) — й )п д = С, Г, (у, — ") — И да = — С, сз ф где С---произвольная постоянная.
16. — + уГд (х, — ) + Гя (х, — ) = О. Полный интеграл: ю = у(х)у — ~Г (х,р(х)) д)к+С, где функция 9з(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением сз,. + Гд(х,:р) = О. до(х,у) =Их)+Ф(у). Здесь функции р = 9з(х) и ф = ф(у) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями 350 Нвлииьйныа тгзвнвния с Летия наззвнсимыии пегвмьнаымн овщьго вйдз 17. — + юГт (х, — ) + уГя (х, — ) + Гз (х, — ) = О. Потный интеграл ю = Эо(х)у+ гр(х), где функции 1о = !о(х) и ф = ф(х) описываются системой обыкновенных лифференциальных уравнений Ьо', + Гг(х,1о)|р+ Гз(х, р) = О, тб, -Й Гг (х,.
р) ф -1- Гз(х, ьо) = О. (1) (2) Уравнение (1) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то реше- ние уравнения (2), которое линейно относительно гр, находится элементарно. 1й. Г,(у, †) — + Г,(у, †) + .Г.(у, †) + Г.(у, †) О. Полный интеграл и =х9(у)+ф(у), тле функции р(у) и ф(у) описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений Гг(у,1о)р'„ + Гз(у,то)р + Гз(у,!о) = О, (1) Г (у,Зо)зр,', Ч-Гз(у,эо)Ю Ч-Г (у, р) = О. (2) Уравнение (1) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, зо решение уравнения (2), которое линейно относительно г)л находится элементарно. 19. Г( — + ау, — + ах) = О.
дх ду Полный интеграл: ю = — аху-Й Сгх+ Сзу Ч- Сз, тле Г(СН Сз) = О. 20. Г( — +пах у, — +аах у ) =О. / дю ь — з дто (,д ' ду Полный интеграл: ю = — нхьу" + Сгх+ Сзу+ Сз, где Г(СН Сз) = О. Полный интеграл: у 1 яке ю = — С! агстк — ч- — ( бГ(Я, Сг) — Сз — ч- Ся, х 2,/ б=х +у. !ч) Лимеромурю гх Камке (19бб). 14.5.3.
Уравнения содержат произвольные функции трех переменных 1. — + Г(х, у, — ) = д(х)ю. Замена ю(х,у) = С(х)и(х,у), С(х) = ехр(/ д(х) г(х~, приводит к аналогичному уравнению, которое не зависит от и явно: — + У (х, у, †) = О, где ь(х, у,р) = Г(х, у, С(х)р).
дх ' ' ду С(х) Отсюда следует, что исходное уравнение имеет полный интеграл следующей структуры: ю = С!С(х) -1- ю(х, у, Сз). 2. Г(х, —, — ) = О. Полный интеграл: ю = Сгу ~- р(х,Сг) ч- Ся, где функпия ьо = р(х,Сг) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением Г(х, !о'„С~) = О. Зб1 >4.5 Уривнения с протвоввной зивиеииоетлт от производных 3. Г(ах + Ьу, —, — ) = О. ' д* ' ду При Ь = О см.
уравнение 14.5.3.2. Полный интеграл при Ь ф О: ю = Сзх+ сз(з, Сз) + Сз, з = ах+ Ьу, где функция со = чз(х) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением Г(-,ачз', -1- Сг, Ьзр',) = О. Данное уравнение описывает цилиндрические поверхности, направляющие которых параллельны плоскости х, у. Частное решение ищем в виде ю = ю(х), = Сзх+ С!у, где Сз, Сз произвольные постоянные. В результате приходим к следующему обыкновенному зтифференциатьззому уравнению для функции ю = ю(х); Г(ю, Сзю', Сзю.'.) = О. Разрешив его относительно произволной, имеем юз = >(ззз). Интегрируя последнее уравнение, получим полный интеграи исходного уравнения с частными производными в неявном виде: дю — = Сзх -1- Сзу + Сз.
у(ю) Св) Лппзеритуро! Э. Камке (1966). диз дю т 5. Г(ах+ Ьу+ сю, —, — ) = О. дх' ду При с = О см. уравнение 14 5 3 3. При с ф О замена си = ах+ Ьу+ ею приводит к уравнению ди а ди ЬХ вида 14.5.3.4: Г(си, — — —, — — — ) = О. Вх с' Вк е б. Г(х, +ау, +ах) = О. Полный интеграл ю = — ах у -1- Сг у 9 зо(х) -1- Сз, гле функция сз(х) определяется путелз решения обыкновенного лифференциального уравнения Г(х, сз', Сз) = О. Г(ю, 5(х) —, д(у) — ) = О. з(х ! ду Преобразование б = (, В = ( ' приводит к уравнению вида 14.5.3.4; / Пх) ' ./ 9(П) Г(юзюш юп) = О.
Ов Литературо. Э. Камке (1966). г Виз дю дзю Виз х 8. Г(л —, —,х — +у — 1=0. Вх ' ду дх Ву Частный случай уравнения !4.5.4.3. гд д дю диз Х 9. Г( —,—,ю — х — — у — >1=0. (. Вх ду дх ду> Уравнение Кверо (в неявной (Ьорие). Полный интеграл: ю = Сзх '; Сзу + Сз, где постоянные Сз, Сз, Сз связаны соотношением Г(Сз, Сз, Сз) = О.
Ов Литеризп> ри: Р. Курант (1964), Э. Камке (1966). 352 Нклииьйнык кгквивиия с двккгя ивзквггснкгыми пегкмьниыми сяюьго вида Функция Е(у) определяется путем решения обыкновенного дифференциазьного уравнения Г(у, !а(у), бггг + Ду)тгг -1- )г(у)) = О. ( Вю дю ) дю ,( Вю Ою ) ( Ою Вю ) Преобразование Эйлера х = И'х, у = У, ю = ЛИ'х — Иг, тле И' = И'(Л, У) привозит исходное нелинейное уравнение к более простому квазилинейному уравнению Г(1; Х, И') — — С(1, Х, 1й') = Н(У, Х, И').
дЛ ' дУ Уравнения этого типа рассматриваются в главе 12. Оя Литератури: Э. Камке (!966! 12 Г( дю дю ) + а( Ою дю ) И( Ою Ою ) дю + дю Преобразование легканлра х=й1 х, у= И!, юииХйух-йУ)Ут — йУ, тле И'= И'(Х, У), приводит исходное нелинейное уравнение к более простому квазилинейному уравнению Г(11',Л,У) -ьС(И;Х,1'), = Н(И;Л,У). дХ ' ' дУ Уравнения этого типа рассматриваются в главе 12.
Лигиератэра: Э. Камке (!966). 14.5.4. Уравнения содержат произвольные функции четырех переменных О дю а ' дх ' Оу ' Оу Полный интеграл ш = Сг у -1- гр(х), гле функция гр(х) определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Г (х, гр~„Сг, уг) = О. Ои Литература: Э. Камне (!966). ою о Ою т 2.
Г(у,—,—,ю — х — ) дх ду дх Полный интеграл гс = Сгх -1- !а(у), где функция га(у) определяется путем решения обыкновенного дифференциального урав- нения Г(у, Сг, Ик„, гр) = О, Оь .ггггагераалраг Э. Камке (!966). аю Ою а 3. Г(ю,, —,х +у Ох ду дх Полный интеграл: !а(9) С = Сгх+ С у, путем реп!ения обыкновенного лифференциального урав= О. где функция гр(6) опрелеляется пения Г(гр, Сгуг,, Сзйа~е, б!ас) 1О. Г(у, —, — + у(у)ю+ хд(у) + !к(у)) = О.
Полный интегразг ю = х~гр(!г) -~-г)г(у), где гр(у) = СгГ(у) — Г(у) у! —,' г)у, Г(у) = ехр~ — / ((у) г)у~. р у(у) Г(у) 14.5. Ургтненин о нрошиот ной иииисииооп~ыо озп ироизиодныг 5. й'(Ф,,С(у, )) = О. Полный интегршз ю = эо(х, Сг) -1- нр(у, Сг) + Сз, где функции но и ф описываются обыкновенными дифференциазьными уравнениями Г(х, уо'„Сз) = О, С(у, т1„) = Сг. Разрешив эти уравнения относительно производных, получим линейные уравнения, кото- рью легко интегрируются. / и дю дю дю дю б. Г( —,—,—,х — +у — — ю) = 'Гх' дх ' ду ' дх ду Полный интеграл ю = ю(х, у, Сг, Сз) можно дю дю х — + у — — ю = Сп дх ду относителызо производных —.' и —." с д ои Лагранжа- Шарип (см.
равд, 14,1,!). Ои Литеритури: оь Камки (19661. О, найти путем разрешения уравнений 6 ( — ", д"', д, С,) = О, дх ду последующим определением ю методом 23 В. Ф. Ваянии, А д. Полинин д д дю дют 4. Р(ах+Ьу, —, —,ю — х — — р — ) =О. дх ду д* ду ) Полный интеграл: ю = Сгх -Ь Сву -Ь Эо(6), 6 = ах Ф Ьу, где функция !о(6) опрелеляется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения Е(б, оуэн+ Сп (ире+ См уо — 6!ос~) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
