В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Теорема существования и единственности. Пусть функция Г = Г(хг, ..., х„, ю,рг,... 2р„), с помощью которой задается уравнение (12), является дважды непрерывно дифференнируемой функцией по всем (2п + 1) аргумецзам в рассматриваемой области, причем 2 (аар ) ~ О. Пусть функции Ь (Рг,...,б !), ар, гп = 12..., и -1- 1, определяющие начальные данные (8), дважды непрерывно лифференцируемы по всем дн а функции рлв(ег,...,5„!), задающие дополнительные начальные условия (19), уловлетворяют системс (20) — (21).
Кроме того, считаем, что выполнено условие ар а,, ал, ВЕ! ар ггр2 ал. ВЕ! аг ар„ ал ВЕ, ал аг„! фО, (25) ал аЕ„ алз ВЕ„ в котором фигурируют функции из (8) и (19). При выполнении сделанных предположений существует единственное дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (12), удовлетворяющее начальным условиям (8), (19).
Замечание 8. Эта теорема носит локаэьный характер: существование единственного гладкого решения залачи Коши гарантируется лишь в некоторой окрестности линии, задаваемой начальными данными (8) вместе с дополнительными условиями (19). Замечание 4. Алгебраическая (или трансцендентная) система (20), (21) может иметь несколько решений, что приводит к различным дополнительным начальным условиям для производных (19). Каждое из этих лополнительных условий будет порожлать свое собственное решение задачи Коши (!2), (8). Звмечаггнв 5. Для нелинейных уравнений глобальное решение задачи Коши (12), (8) может оказаться многозначным также из-за пересечения характеристик. Подобная ситуация на более простых уравнениях обсуждалась в равд. 12.1.3 — 12.!.4.
относительно рш,..., р„о! Ь„, = Ь„,(52,...,5„!). Уравнение (20) получено в результате подстановки начальных данных (8) в исходное уравнение (12). Уравнения (21) линейны относительно искомых функций р„о и являются следствием зависимости и = ю(хг,..., х ) и формул дю х дю дх„, для вычисления частных производных "', где все величины опрелеляются дел дх дел 15.1. Пребеарнтельнмн заиьенаннн 15.1.2-6. Уравнение Гамильтона — Якоби.
Г!риложения в механике. Уравнением Гамильтона Якоби называется уравнение (12), не зависящее явно от иь и разрешенное относительно одной из производных: дш г диь дю Злесь по тралиции использованы обозначения 1 = х и т = п — 1. Уравнения вила (26) часто встречаются в различных разделах механики, теории управления, вариационном исчислении и диффереьшиальных играх, где переменная 1 обычно играет родь времени, а переменные хь,...,х роль пространственных координат. Уравнению Гамильтона Якоби (26) соот- ветствусг функция Г(хь,...,х,и,рь, .,р ) =р„-1-'Н(сь,...,х„.,рл,...,р ь) в уравнении (12).
Функция 'Н называется гамильтонианом. Характерно!пиесках система (22) для уравнения (26) сводится к более простой системе г!хл дз( дрл дН (27) д! дрл. ' Ж дхл. которая дополняется двумя уравнениями (28) — рь, Ш ~ дрь ' Ш д! Злесь было опушено одно уравнение г(1(г(г = 1, вместо которого использовано равенство г = 1 4- сапам При записи первого уравнения (28) были слсланы простые преобразования с учетом соотношений: г = рн 4- 'Н, р = — 'Н. Система (27) называется канонической системой дифференциальных уравнений.
Если функции хл = хл. (1) и рл = рл. (1) являются решениями системы (27), то функции ш = ш(1) и р„= р„(1) получаются из (28) простым интегрированием. Во многих задачах механики и математической физики встречаются канонические системы обыкновенных дифференьлиальных уравнений (28). Обычно эти системы сложно интегрировать непосредственно.
Нередко оказывается, что проще найти полный интеграл соответствующего уравнения с частными производными (26) (например, методом разделения переменных, см. разл. ! 5.! .2-2). После этого можно путем лифференцирования и исключения решить каноническую систему дифференциальных уравнений. уеорема Якоби. Пусть известен полный интеграл уравнения Гамильтона Якоби (26): иь = Е(хь,...,х„,,б,Сь,...,С ) +С хь., (29) где Сь,..., С„, ьь произвольные постоянные. Тогда 2гп-параметрическое семейство решений канонической системы дифференциальных уравнений (27) зшлается неявно с помощью уравнений д:— дВ =Вл, =рл (8=1,...,т), дСл дел где Вл -- произвольные постоянные.
Выразив из первой ьруппы уравнений (30) координаты хь,...,х как функции переменной 1 (и параметров Сь, Вл) и подставив полученные выражения во вторую группу уравнений, найдем искомые функции хл. = хь(1) и рл, = рл(1), зависящие от 2гп произвольных постоянных Сь,..., С, Вь,..., В .
Эти функции представляют собой общее решение канонической системы (27). Замечание б. Нелинейное уравнение общего вила (12) может быть сведено к уравнению, которое не зависит явно от неизвестной функции. Для !того надо искусственно увеличить на единицу число независимых переменных, положив ьь~ = хньь. После этого решение уравнения (12) ищем в неявном виде: ч(хь,...,з:„ьь) = сопчш Дифференцируя это равенство по переменным хл и учитывая, что хнычь зависит от хь,..., х, имеем С,.ь 4- рь~,„чь = О, где рь = ьо,.
Выразим отсюда производные рь = — ( ь,лб,,„э„и подставим их в уравнение (12). В результате получим уравнение с переменными хь,..., х„ь, которое пе зависит явно от неизвестной функции ~. Разрешив это уравнение относительно одной из независимых переменных, приходим к уравнению вила (26). (вь) Лмнернткаи к раздшу !5.1.2: Р. Курант (1964), Э.
Квмке (1966), Ф. Р. Гантмахер (!966), И. Г. Петровский (!970), Л. П. Мвркеев (!990), В. В. Козлов (1995), Л. М. Виноградов. И. С. Крвсвлыпик (1997). Нелиньйныь РРАВнения с ЕРемя и Вольв неэАВноичыми ВВРеменнымн 15.1.3. Обобщенные вязкие решения 15.1.3-1. Предварительныс замечания. В равд.
15.!.1- 15.1,2 изучаэись классические гладкие решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. В теории оптимального управления, дифференциальных и1рах и других приложениях часто возникают задачи, решением которых являются непрерывныс, но негладкие функции, см., например, А. И. Субботин (!99!), РУ.
Н. Р!еш(п8, Н. М. Зопег (1993), А. 1. 8НЬЬойп (1995), Л. Л. Меликян (1996), Л. Л. Ме!Рмуап (1998), М. Вагб1,!. С. Оа!Ее!!а (1998). Для анализа таких ситуаций вводяз обобнгенные вязкие решения. Отметим, что первоначально вязкие рен1ения вволилнсь как предел решения некоторой сингулярно возмущенной задачи, полученной путем добавления к (1) или (12) второй производной (лапласиана), умноженной на ма1ый параметр (мш1ую «вязкостья), см.
например, С. Н. Кружков (1966, 1975), Р.-1.. !Яопз (1982), М. О. Стала!1, Р.-1.. 1яопз (1983). Для квазилинсйных н нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными такой способ определения вязких решений описан в равд. !2.!.3, 12.!.4, !4.!.3. ! 5.1.3-2. Вязкие решения, основанные на пробных функциях и неравенствах. Обобщенные вязкие решения улобно вводить с помощью пробных функций и интегральных неравенств, см. например, М. О.
Сгапба!1, Е. С. Егапя, Р. Е. Еюпя (1984), Р. Е. Еюпз, Р. Е. Зоцйашгйе (!985), А. А. Ме1цйуап (1998). ОЯ11еделеяие. Непрерывная функция ш =и1(яг,..., х„) называется вязким решением задачи с начальными данными (12), (9) в слое 0 < х1 < е, если выполнены следующие условия: 1'.
Функция ш = И1(хг,..., ЕВ) удовлетворяет начальному условию (9). 2*. Пусть ЯР(яг,...,яР) любая пробная непрерывно лифференцируемая функция. Если (Я1..., х,',) --. точка локяньного экстремума разности функций ш(гг,..., Е„) — О(тг, ., Я„), то в этой точке должны выподняться неравенства г'(Яз,...,х„,и1 .,ф,,...,з(1 ) > О, если (жы...,я„) -точка минимума, (32) г'(я„...,я„,ц1,ф,и,...,91, ) < О, сслн (кгы...,е,',) точка максимума.
Здесь ф,'.е частная производная функции ЗР по нсрсменной яь, взятая в точке (я;...,а'„). Проверке подлежат только те точки локального экстремума, которые находятся внутри рассматриваемого слоя (О < х; < Е). Отметим, что необязательно должна существовазь пробная функция Ш(кг, ..,, Я„), для которой разность (31) имеет локальный экстремум. Однако, если такая функция существует, то должно выполняться условие (32). Если залача Коши имеет глалкое классическое решение, то оно совпадает с вязким обобщенным решением.
В теории оптимального управления и дифференциальных играх помимо задач с начальными данными встречаются также задачи с конечными данными, в которых решение уравнения (12) ищется в слое 0 < я < Е, а искомая величина ш задается на правом конце слоя при т = Е. Для этих задач в определении вязкого решения неравенства в (32) следует изменить на противоположные. Задачи с конечными данными сводятся к задачам с начазьными данными путем введения вместо яг новой независимой переменной е = Š— яг.
Отметим. что эквивалентные, но более сложные определения вязких минимаксных решений, использовались в работах А. И. Субботина (1991), А.!. 8ИЬЬопп (1995). 15.!.3-3. Докаяьная структура обобщенных (вязких) решений. Обобщенное решение ш = ш(хг,..., Я„) состоит из регулярных н сингулярных точек. В некоторой окрсспюстн ре1 улярных точек функция ш является решением В классическом смысле (такне лважды непрерывно дифференцируемые решения обсуждаются в теореме существования и единственности из равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
