В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Тогла полный интеграл можно прелсталить а виде суммы лаух функций иг1хг,...,хг, хг,г,..., х„) = игг(хг,, .'гь) + глгггхь.; г,..., х,„), которые определяются путем решения двух более простых уравнений д, при т, = 1,..., к, 5гг(хг,..., хь, Чг,..., Чь) = Сг, дх дш 5вз(хььг,...,х,чь г ч ) сз з при ггг= ли-1, уп, дх„ где Сг — произаольная постоянная, а Сг определяется из выражения Г(Сг, Сг) = О.
4'. Пусть уравнение имеет аид Ггггхг,...,хь.,рг,...,рь) + Ггггхььг,...,х„,рьтг,...,р„) = аш. Полный интеграл можно представить и виде суммы двух функций ш = гггг(хг,..., хь) -1- гггг(хььг,..., т ), которые определяются путем решения двух более простых уравнений Чь = д,,"' при т = 1,..., й, при т = !с -ь 1,, и, Гг (хг,..., хь, Чг,, Чь) — ашг = Сг, Гз ггхььг,..., х, г!ьь г,..., Ч ) — агаг = — Сг, где Сг.
-произвольная постоянная. 5'. Пусть и уравнении можно разделить асе переменные и представить его и виде Г1Чгг(хг,рг)., ьгг1хмгрг),..., ьг (хв,рм)) = О. Тогда полный интеграл можно представить я виде суммы ш = шг(хг, Сг) -Ь шг(хг, Сг) -1- 1 ш баггам, См) -1- С„~-г, где постоянные Сг, Сг,..., С„саязаны одним соотногленцем Г(Сг, Сг,..., С ) = О, а функции игг = шг (хь, Сь) определяются путем решения обыкновенных дифференциальных ураанений Чвь (хь, ! = Сь! 'й = 1, 2, ..., л. Иш~ 'г Ихг, Разрешив эти ураансния относительно производных, получим линейные ураинения с разделя- ющимися переменными, которые легко интегрируются. Метод разделения переменных заключается и том, что полный интеграл ищется и виде суммы функций различных аргументов.
Опишем структуру полного интеграла некоторых классоа нелинейных уравнений, допускающих разделение переменных. 1'. Пусзь функция Г не зависит явно от искомой леличины ш, т. е. уравнение (12) имеет лид Г(хг,...,х„,рг,...,Р„) = О. Тогда полный интеграл содержит одну аддитианую постоянную: ш=Б(хг,...,х„,Сг,...,С г)-1-С . 2'. Пусть уравнение не зависит явно от переменных хг,..., хг и искомой величины ш: Г1хььг,...,хм,рг, ..,,рь,уьг г, р ) = О. Тогда полный интеграл можно представить я виде ш=Сгхг+ +Сьхь+и, где полая функция и определяется путем решения более простого уравнения с частыми производными, зависящего (п — Й) независимых переменных: 358 Ввлннвйныь РРАВнвния с 'РРВНИ и Вонее ньзАВноичыми ПИРВньннычи б'.
Пусть уравнение можно представить в ниле Х' (... Ргг»иаг»Р»г»х»,Р»), хз,Рг), хз,уз),..., х„,Р„) = О, где каждая функция г». зависит от предыдущей функции гь» и «своейь пары переменных хы р». Тогла полный и»»тс~ра» можно представить в виде суммы ю = ю»»х»,С») ч-игг»хз,С»,С») + ч-ю»»х»,С»,С„г) + ю„»х„,С„.») -1- С . Здесь функции и»» определяются путем решения обыкновенных лифферснцнальных уравнений г»Гх»,иг,) = Сг., Р» (Сл», х», ю») = Сь, й = 2,..., п — 1, г,»С»,хн,ю„') = О, где ю» обозначает производную функции тн» по переменной х». Разрешив эти уравнения относительно произволных, получим линейные уравнения с разлсляющимися переменными, которые легко интегрируются.
7'. Для построения полных интегразов нелинейных уравнений специального вида с тремя и более независимыми переменными можно использовать следующий способ. Пусть известны полные инге» ралы двух нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными: дю г' дю '» Уравнсннс: — -~-Р»!х, у, †) = дг»х)ю дх '' ду дю Г дю '» Уравнение: — -~- гз ! х, у, — ) = д»х)ю дх '' ди !1олный интеграл: ю = =»»х, у, С», Сг). =Р Полный интеграл: и» = г»х, у, С», Сг). Тогда полный интеграл 4»составногов нелинейного уравнения с тремя переменными — + Е» (х, у, —,) -!- Нз (х, з, —,) = д)х)ю будет даваться формулой ю = Е»»х, у, С», Сз) + "з»х, х, Сз, С4), !5.!.2-3.
Метод Лагранжа Шарип. Преобразование 1!ежандра. В общем случае для построения полного интеграла нелинейного уравнения с частными произ- волными »!2) надо рассмотреть характеристическую систему обыкновенных диффере»»циа»Н- ных уравнений [сл». далее систему»22)]. 1'. Пусть найдены»п — Ц независимых первых интегралов характеристической системы: Ф, (х»,..., х.„, ю, р»,..., р„) = С„! = 1,,, и — 1. Обозначим через !Г", д] скобку Майера: »16) дГ дд дГ дд дГ дд дГ дд дх» др» др» дх» ( дю др„др». дю г' Ьудем считать, что интегралы (16) находятся в инводюции друг к другу, т. е. выполняются тождества )Ф,, Фг) с— в О, 1 ~ (й ! ( Р» — 1 для всех значений х»,..., х„, ю, р»,..., р„.
Пусть исходное уравнение (12) вместе с инте»радами (16) можно разрешить относительно производных: р» = »Рь»х»,..., х, иг; С»,..., С»). )!7) где С», Сз, Сз, С4 — произвольные постоянные (две из этих постоянных могут быль объединены в олну). Сказанное легко обобщается на случай «составного» нелинейного уравнения с произвольным числом переменных. Указанный способ позволяет использовать резулыаты глав 13 и !4, где были приведены полные интегралы нелинейных уравнений с двумя переменными, для построения полных интегралов нелинейных уравнений с тремя и более переменными. 15.1. Предварительмые ваиемимим Тогда полный интеграл уравнения (12) является общим решением вполне интегрируемого уравнения Пфаффа: дш = Х ~лрл(хл,...,л .,ш; Сл....,С л)г!хл, л — л (18) в которое войлет еще олив произвольная консталыа С„.
Отметим, что можно интегрировать непосредственно систему (!7), аншюгично толлу как это лслшюсь для уравнения с двумя независимыми переменными (см. Равд, 14.1.1). Замечание 1. Соотношение Р(хл,..., в„, ш, рл,..., р„) = С является очевидным первым ицзеграчом характеристической системы (22), поэтому функции Ф, в интегралах (16) должны бьггь отличны от функции Р, задающей уравнение (! 2). 2'.
Если исходное уравнение (12) ие содержит явно искомой функции ш, т. с. имеет вил Г(тл,..., х,рл,...,р ) = О, то интегралы (!6) тоже можно искать а аналогичной форме Ф, (хи..., т, рл,..., Р„) = С,. В этом случае правые части (17) также не зависят от ш, г. е. рл. = улл(тл,.... к„; Сл,..., С л), а общее решение уравнения (18) дается формулой ш = ~ / !ал(вл,...,хь.
„!л,хмел,...,х„:, Сл,...,С л)Жл+С„, ь=л где константы в;,..., х„' можно выбрать любыми. 4'. Будем считать, что функция ш(хл,...,х ) дважды непрерывно дифференцируема по всем переменным в рассматриваемой области. Выделим две группы независимых переменных тл,..., тл. л и хл,..., хл-. В общем случае преобразование Лежандра вводится так: дИ' дИ' д1И, дИ' лл =Лл, ..., жл-л =Хл-л; жл =,,, в„=; ил= Хл + .+Л вЂ” И"; дХл дХм дХл, дх„ при этом частные производные преобразуются по формулам: дю дм дю дю дИ' = — Р,, ..., = — Рл П = Хл, ..., , = Х , где Р дел ' ' дел ' двл ' ' дхм дХ С помолцью преобразования Лежанлра уравнение (12) переходит в уравнение Р(Хл,...,Хь-л, Рл,, Р, ХлРл -1- .
-1-Х Р. — Иг, — Рл,, — Рл-л; Хл:,,Л ) = О которое иногда проще исходного уравнения. Замечание 2. При использовании преобразования Лежандра отдельные интегралы могут пропадать, если в некоторой подобласти якобиан ь''''' " тожлествеино равен нулю. 15.1.2-4.
Задача Коши. Процедура решения. Различные способы залания начальных данных в задаче Колпи лля уравнения (12) описаны в равд. 15.1.1-3. Длля определенности будем рассматривать уравнение (12) с начальными условиями общего вида (8). Будем считать, чло функции Р и й (т = 1,..., и + 1), определяющие уравнение (12) и начальное условие (8), дважды непрерывно дифферснцируемы по своим аргументам. 3'. Пусть найдены п независимых первых интегразов Ф, = С, характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений и все эти илпелрачы находятся в инволюции друг к другу т с.
!Ф„Фв ) = О для 1 ( л, ! (и. Разрешим равенства Фв = С, относительно производных рл = рл(хл,..., хм, ш; Сл,..., С ) и подставим полученные выражения для рл. в исходное уравнение (12). В результате находим полный интеграл в неявном виде.
Отметим, что для поиска первых интегралов и точных решений нелинейных уравнений первого порядка можно использовать методы группового анализа, см, например, П. Олвер (1989), В. В. Козлов (1995), А. М. Винолрадов, И. С. Красильщик (1997). 800 НВЛПНЕЙНЫЬ УРАВНЕНИЯ С '!РКМЯ И ВОЛЕЕ НЬЗАВНОИЧЫНИ ПКРЬЧЕННЫЧИ Решение задачи Коши осуществляется в несколько этапов; 1'. Сначала определяются лополнительные начальные условия гпгя частных производных р =рго(6, ",6.— ), ", р =р ВЖ,",б — ) (19) Для этого решают алгебраическую (или трансцендегпную) систему уравнений Г(ЬЕ,,Ь,Ь ъг,рго,...,р В) = 0; д(л ч дал р В (Ь = 1,..., — 1) (20) (2Ц по начатьным данным (8).
2'. Решается характеристическая система обыкновенных лифференциальных уравнений лиг х ЕЭà — =~ рл —, Д ~-, др,' арл др дг — = — — — р!.—; Ь = 1,...,и,. (22) Д дх, ' д ихл др и! ар!,. 3'. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий: хл = !П(бг,...,б„!), га = Ь .нЖ,...,( !), рл =рлоЯ,...,б„г) при т = О, (23) которые получены объедннением условий (8) и (19); Ь = 1,..., п. В результате нахолим (2п+1) функцию: хл = Ел(т,бг,...,5„!), Ег = га(т,52,...,( — !), рг, = рл(т,(г,...,б„— !). (24) ! 5.1.2-5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
