В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В частном случае Г(у) = сопя! после разрешения относительно производной оно представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. 342 Нвлннвйиые згьвнвння с двямя незлвнснмыии пвгвмвиными овщвго видя — /(х)е~ ( ) — д(х) = О. Преобразование ю(х,у) = и(з,у) + С(х), з = / Дх) ехр[СзС(х)] с!х, С(х) = / д(х) сСх, ди В,тдить приволит к более простому уравнению — — е ( — ) = О, которос допускает полный дз ( ду С интесрал и = — !и( Сз — — у) — — 1п(С вЂ” с)з). д к д !2. — У( )( ) =О.
1 Подный интеграл в неявном виде; / [Д(ис)] Я-' с!ю = С, х+ Сзу -1- Сз. 13. — 2(ю)( ) — [уд(х) + !с(х)] = О. Преобразование С = / сз (т)сСх, з = !з(х)у + / 6(х)!з(х)сСх, !з(х) = сир[ / д(х)сСх~], дю гд приволит к более простому уравнению вида 14.4.1. !2: — — Дю) ( — ) = О. дс д 14. — — 2(ю) ( — ) + д(ю) — = О. дю дю дю д* ду ду Полный интеграл в неявном виде; / [ ] сСю = Сзх -!- у 4- Сз. Дю) з ь-з С -!-у(ю) 15. — — /(х)д(у)Ь(ю) ( — ) = О. Полный интесрюс в неявном виде: ! 1 / [6(ю)] "-' с!ю = С," / /(х) с)х -!- Сз /[д(у)] " с!у -1- Сз.
16. Х(х) +д(у)( ) + Ь(х) = О. 4У С Сзь -Ь а(х) Полный интеграл; ю = Сз /, „— / з дх -1- Сз. Пх) (ф)'+ х(*)ф = д(*)(ф)" + (*) 1 С* Полный интеграл; ю = Сзу — — / [! (х) х 2,/ ]сСх-ЬС. 1й. ( ) + Йу) = д(у) ~ + хСз(у) + х(у). Полный интеграл.' = хз (у) -ь ф(у), где функции Зз(!С) и ф(у) определяются путем рспзения системы обыкновенных дифференциальных уравнений /(у'уж, '= д(у)ч'+ сз(у), (1) /(у)срсуя — — д(у)ф — !з + г(у). (2) 343 14.4 Ураонениж содерогсащие произеогьныс функции неготгснмыт переменнык Уравнение Абеля (1) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то решение уравнения (2), которое линейно относительно ф, находится элементарно. В простейших случаях решения уравнения (1) имеют вид р(у) 1~ г!у С р у(у) для й(у) = О д(у) .
- любое, 4'(У) г л(у) г г'г Цг(У) = х[2 / " с(дц-Сг] дла д(!4) = О Ь(У) .-любое. ./ Х(у) 19. ( ) = ну+ у(х). 1 и Полвый интеграл: ш = (п(к+ Цх+Сг~ нт' у+ / Дх)(п(к+ Цх+Сг~ Ят' с(к+ Сг. 20. — ( — ) = 4'(х)у+ д(х). Подный интеграж 1 И(х) = (((й+ Ц / )'(х) с(х+ Сг~ и~ = цг(х)у ч- / ', с(х+ Сг, д(х) — ( — „) = Х(х)д(у). !' 1 ! гть Полный интеграл; ш = С~ 4! Д(х) пх -1- —, ( [д(гу)) с!у+ Сг. 1 22.
( ) = анг+ у(х), Полный интеграш ш=(пйх+Сг) г (у+Се)+(акх+Сг) и 4! Д(х)(пкх+Сг) н йх. Уравнение (!) может рассматриваться независимо. Если его решение получено, то решение уравнения (2), которое линейно относительно ф, находится элементарно, 14.4.2. Уравнения содержат две и три произвольные степени производных )'(*)(;.)" +д(у)(;„) =й.(*)+й.(у) 2. 4 (х)( ) + д(У)( ) = ото+ гьг(х) + гьг(У). Полный интеграл: = Фх) -~ ф(у), 23.
( ) = 4'(х)тс + д(х)у + !г(х). 1!одный интеграл: га = уцо(х) -1- ф(х), где функция цо(х) и ф(х) опрслеляются путем решения системы обыкновенных лиффсренциальнык уравнений цг цо, = )(х)!о+ д(х), (Ц р"ф.' =.(( )ф-У!(х). (2) 344 Нвлннвйныя тгхвнвння с двгня нвзхвнсвмыми пвнвмвнными овщвго видя где функции х(х) и гз(у) определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений г(х)(за',) — ах — Ь~(т) = С, д(у)Я„) — аф — Ьз(у) = -Сг. Последние с помощью подстановок а = / фх)~ ах и 1 = / ~д(у)~ г!у соответственно прнволятся к уравнениям, разрешимые случаи которых указаны в книгах В.
Ф. Зайцева, А. Д. Полянина (!997, 200 !). ( ) — У( )( ) =0, 1 Полный интеграл в неявном вила: / [Д(и~)] "— ь г!ю = С,'х+ С, у+ Сг. ( ) — у(х)д(у)Ь(ю)( ) = О, гг ф Ь. Полный интеграл в неявном виде. 1 1 1 / [!г(п~)] "— г' г!га = С,"'/ [У(х)] ь г!х+ С,' / [д(у)] " г!у+ Сз. ~(у)( ) +д(у)( ) Полный интеграл ю = хгэ(у) -!- / д(у) гэ" (гг) г211 -~- Сг ! Ээ(у) = [(1 — Ь) / Г(у) г!у Ч-Сз~ при Ь ф 1, у(у) = Сг ехр[/ )(у) ду~ при 1=1. 6. у(х)ю" ( ) +д(у)ю ( ) = ю"~ 1пю. Полный интеграл г: ю = ехр( [ /'[1'(х)] ь' г!х Ч- Сз~ Ч- [ / [д(у)] " лгу Ч- Сз~ 7. ~ ( ~ ) + [ут(х)у+уз(х)] ( 9 ) +да(х) =дт(х)ю+дя(х)у+уз(х).
Подлый интегрщз этого уравнения ищется в ниде тс = уфх) + ф(х). ( —;) ( — ',„) =Х(*).() (ю) Полный интеграл в неявном виде: г г / [!г(ю)] ьг дш = С," / [!'(х)] г йх -1- — „ / [д(у)] " г!у 1- Сз. 1 9. ( — ) ( ) = 2(х) + д(х). Полный интегрюс н~ = Сгу+ С, 7 / [СгД(х) + д(х)] йх+ Сг.
10. и( + су) + Ь( + сх) = У(х) + д(у). Полный интеграл: ю = — сху+ / [ ' ] г!х Ч- / [ ' ] Иу -!- Сз. 345 14.5 Уруувнеууив с лроиувольной уивисииосл~ыо оул лроидводных 11. ( + ау) ( + ах) = 5(х)д(у). Полный интегршу: ю = — иху+ С," у [г(х)~ у)х+ — уу [д(уЯ ду+ С . Пь 1 С,н,/ 12. [ — + Рт(х)~ [ — + уа(у)~ = дт(х)да(у). Полный инзеграш ю = ( [С,"д У (х) — гу (х)] дх+ ! [ — ьдн (у) — гз(у)~ е(у+ Сз.
-'1 |. д ду,( )~д,( )д( — )'ьу,( )уй )д( — )"= Уравнения этого вида встречаются в теории оптимального управления и дифференциальных играх (й = п = 2), см. А. А. Мс!Рхуац (1998). ° '-* р:.=о„сь-1]ун )~дыо+с ~ун |еыд с ]уш ' (:. )" (:. )" (:„ ) =- 15. ( ) ( ) = 5'(х)( ) +д(х). Г!олный интеграх и, = Сгу Ч- С, У / [Сг"'/(х) -Ь д(х)1 бх -1- Ся.
14.5. Уравнения с произвольной зависимостью от производных 14.5.1. Уравнения содержат произвольные функции одной переменной — +у( — ) =о. Это уравнение встречается в теории оптимального уцравления и дифференциальных играх, см. Л. И. Субботин (1991), Л. 1. биЬЬог]л (1995). 1'. Полный интеграл: ю = Су !у — у'(Су )х -1- Сз. 2'. Дифференцируя уравнение по у, получим квазилинейное уравнение ди, ди дю — + 5 (ду) — = О, и = —, ди ду ' ду которое подробно рассматривается в рази.
12.1.3 (см. также уравнение 12.4.2.1). 3'. Решение задачи Коши с начальным условием ю(бд у) = дд(у) записывается в цараметрической форме У = У (Ч)х Ч- С, ю = [Ьу (Ч) — 5(Ч)1т -1- Зс(С), гДе Ч" = Р (Е). См. также примеры 1 и 2 в равд. 14.1.3. 2. + 5( ) = д(х). Пошый интеграл: ю = Сгу — у(Су)х+ / д(х)е(х Ч- Су. 3. — + 5( — ) = д(х)у+ Цх). Полный интеграл: ю = зс(х)у+ / [й(х) — ((чд(х))1дх-1-Сы чу(х) = / д(х) у)х+ С . нелинейные кгьвнввия с двтыя независимыми пвввмвнными овщвго вида — + у ( — ) = д(х) ш + 7ь(х).
Полный интеграл ю = (С1 у + Сг) х(х) + сг(х) / (!г(х) — ~(Сг р(х))1 чг(х) ' — + 7'( — ) = д(х)ш+ 7г(х)У+ в(х). Частный случай уравнения 14.5.2.4 при г'(х, и) = Г(и) — в(х). — (ау+ д(х))у( ) = О. у(х) = ехр [ / д(х) ах) . Полный интеграл ш =:р(х) у + / Д р(х)) д(х) г!х -!- Сг, ср где функция чг(х) определяется неявно с помощью выражения ( = от+ Сг. ~ у(р) 7. — (д(х)у+ Цх)~У( ) = О. Полный интеграл ш = У(х) у -!- ( ~ (р(х)) й(х) 4х Ч- Сг, Г вр где функция р(х) определяется неявно с помощью выражения ( = д(х) г!х+ Сх г'(р) у — + ггдт(х)У+ до(х)~Х( ) + !гг(х)то + !гт(х)У + !го(х) = О.
дх ду 1'. Полный интеграл: )г (~') + '-'(х)р+ !г1(х) = О, ф. и-дс(х)Ы) 4. !гг(х)ф 4. й,(х) 2'. При д| (х) = О общие решения уравнений (1) и (2) имеют вид р(х) = СгН(х) — Н(х) / ' йх, Н(х) = екр[ — / !гг(х) йх~, ( ) = С,Н( ) — Н( ) / "'(') дс')~( '*)' !х. Н(х) 9. — игу( — ) = О. Полный интеграл; ю = Сг ехр(Сгу + 1(Сг)х~. 1О.
д — у( ид ) =О. При Н = — 1 см. уравнение !4.5.1.9. Полный интеграл при Н ~ — 1: ш = ((! 4- Н)у 4 Сг1 гьн тг(х -1- Сг), ир где функция р(х) определяется неявно с помощью выражения х = ! И(рл+г) 11. — — у(е~ — ) = О. дх ду Полный интеграл: — !и(!гу+ Сг) + р(х+ Сг), 1 д где функция р(х) определяется неявно с помощью выражения х = у! р г" (елн) ш =:р(т) у 4- ф(х), где функции р = р(х) и ф = ф(х) описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (1) (2) 347 !4.5 уравнения с ироизвоетной зовиеииоетьт оеп производных 12. — — д(х)тон,(( — — ) = Цх)то. ах ис ду Преобразование го(х, у) = Н(х) и(х, у), х = / д(х)Н (х)с1х, Н(х) = ехр~/!с(х) с!х~, ди и Г1 дит приволит к более простому уравнению — — и 5 ( — — ) = О, которос путем разрсп!ения д.
'! . ду) ди относительно †,можно записать в вине уравнения 14.5.!.10. ау' 13. — — д(х)е~ у( — ) = !з(х). дх ду Преобразование ю(х,у) = и(в у) -Н Н(х), 2 = ) д(х) ехр[15Н(х)~ с!х, Н(х) = / !с(х) сЬ:, ди и„ р ди т приводит к более простому уравнению —, — е "5" ( — ) = О, которое путем разрешения дв ! ду ) ди относительно †, ,можно записать в вине уравнения 14.5.!.11. ду !с — ! Полный интеграл: го = [5(Сг)) '-!' (х+Сгу) !' — ' +Сз. у 16. Ф ( + уз(х))Ф ( — + 52(у)) = дг(х)д2(у).
Полный интесрал: ю = / [!о(Сгдг(х)) — 5с(х)] Пх-'г / [!р(Сг дя(у)) — 52(у)1с"У+ Се глс И вЂ” обратная функция к Ф, а ф - обратная функция к Ф. 14.5.2. Уравнения содержат произвольные функции двух переменных — Р[х, ) =О. Полный интеграл: ю = / г'(х, Сг ) с!х -1- Сг у + Сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
