В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 59
Текст из файла (страница 59)
аю 2 а о дю дю Ою 12. Хд(х)( — ) +Уг(х) — — +Уз(х)( — ) +дт(х) — +дя(х) — +Ь(х) =О. Полный интегрхн % (х) .1- Сл 72(х) х (91(х) Ь С1 72(х)) — 471(х)13(х) ю = Слу + С2 1~ л(х, 2!'1 (х) лз(х) = Сл уз(х) -'; С,дг(х) -Ь 6(х), 13. 71(ах + Ьу)( ) + уг(ах + Ьу) + Б(ах+ Ьу)( ) + Ою Ою + дт(ах+ Ьу) — + дг(ах+ Ьу) — + Ь(ах+ Ьу) = О.
о ау При Ь= О см. уравнение !3 3 7 12. При Ь~ О преобразовавие нл(х, у) = нЯ,х), 5 = ах-ЬЬу приводит к уравнению вида 13.3.7.12: [а )1 Я+ аЬ|2Я + Ь ~з(б)~ ( — ) + [2аг"1® -'г Ь|2(()~ — ' — '+ ~1(б) ( — ) -ь + [пд (р) Ььдг(б)~ —,'" -Ь д,(б) — "' + Ь(б) = О. д1 дх 14. 1'(х~+у )[( — ) + ( — ) ~ = (х — +у — — и) . Полный ин геграл: ю = Сг окр(С2 агав!п )лу(х -1- у ).
х 1 2 Я~2 ! уг Здесь Ф = Ф(2) рсгненис нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (22лр', — Ф)2 = 7(2) [4гг(лр) -Ь Сгг луг), где г = хг -1- у'. В частности, при 7(з) = г имеем О-ауул 15. Ут(ю)( — ) +22(ю) — — +Уз(ю)( — ) +дг(ю) — +дг(ю) — +6(ю) =О. о Ох ду оу о оу Полный интеграл в неявном виде.
Сгх + Сг у -1- 2д(ю)дю — Сл, (-) - ЪТ=(=)~1. где Г(ю) = С~2~1 (ю) -1- С1 С272(ло) -1- Сгдгз(п1), С(ю) = Слдл(ло) -1- Сгдг(ло), 16. Хт(ю+ах+Ьу)( ) +Ха(ю+ах+Ьу) +Уз(ю+ах+Ьу)( ) + а О 1 +от(ю+ ах+ Ьу) +да(то+ ах+ Ьу) + Ь(ю+ ах+ Ьу) = О. дх ау Замена и(гд у) = ю(х у) + ах + Ьу приводит к уравнению вида 13 3 7 ! 5 для функции и. 14. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными общего вида 14.1.
Предваритепьные замечания 14.1.1. Методы решения !4.1.1-1. Полный, общий и особый интеграл. Общее нелинейное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными имеет вид ш = В(т,у,Сг,С ), (2) зависящее от двух произвольных постоянных Сг и С . Двухпараметрическое семейство реше- ний (2) называется полным ишезраюм уравнения (1), если в рассматриваемой области раш матрицы и= [':= 1=з -.3 =из/ (3) равен двум [это справедливо, например, приз,га„з — Б,завз фО].
В матрице(3) а обозначает частную производную по Св (и = 1, 2), Б,в вторую частную производную по арзументам х и С, Вв . — вторую частную производную по аргументам у н С . В ряде случаев полный интеграл удается найти методом неопределенных коэффициентов, задав подходящим образом структуру частно! о решения. Пример 1. Рассмозриы уравнение — = а( — ) -1-Ь. дх ду Частное решение ищем в виде суммы ш = Сзу Р С ф Сз.е. Подставив зто выражение в уравнение. находим связь лзежау коэффициентами Сг и Сз. Сз — — аСз" -1- Ь. Отсюда получам полный интеграл: ш = С у -1- (аС" -~- Ь) х -1- Сз.
Полный интеграл уравнения (1) часто записывается в неявном видев Б(х, у, ид Сз, Сз) = О. (4) 2'. Общий интеграл уравнения (1) можно представить в параметрическом виле с помощью полного интез рада (2) [или (4)] и двух уравнений Сз = г"(Сг), да да — — у'(Сг) = О, дС дС (б) * В формулах (2) и (4) символом = обозначены разные функции. дш дш Г(х,у,ш,р,б) =О, где р= —, 4= —, (1) дх ду Твкис уравнения часто встречаются в аналитической мсханикс, вариационном исчислении, теории ознимавьног о управления, дифференциальных играх, динамическом программировании, геометрической оптике, дифференциальной геометрии и других областях. В этом разделе будем рассматривать гладкие решения ш = ш(х, у) уравнения (1), имеющие непрерывные производные по обоим аргументам (в равд.
14.1.3 будут рассмотрены нешадкие решения). 1'. Пусть известью часязое решение уравнения (1): 81В 14.1. Пуедваритгльныс занечамия ю = Сгу+ (оСг ЭЬ)х ' Сз, Сз —— . 1(Сг), у ! опС з ~ У (Сг) = О. Исключая отсюда Гз и переобозначая параметр Сг через С, удобно представить общий интеграл в более наглядной форме ю = Ср -1- (аС" -1- б) х -1- 1 (С), р = — опС" х -!- 1~(С). 3'. Особый интеграл уравнения (1) находится без использования полного интеграла путем исключения р и р из системы трех уравнений где первое уравнение совпадает с (1).
14.!.1-2. Метод Лщранжа Шарип. Пусть найден адин первый интеграл Ф(х, у, ю, р, г1) = Сг (6) характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений гзх гзу Ню Йр (7) рр„з-р~<, 1.—,— рр. 1„-1-СР., где 01г д1г дд дд ду д ' " др' " дю' " др' ' дя' Считаем, что интеграл (6) вместе с уравнением (1) можно разрешить относительно производных р, рд р = ззг(х,у,ю,Сг), д = грг(х,у,ю,Сз). (8) Первое уравнение этой системы можно рассматривать как обыкновенное дифференцишгьное уравнение с независимой переменной х и параметром у. Получив общее решение этого уравнения, зависящее от произвольной функции зл(у), подставляют его во второе уравнение.
В итоге приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению лля 1х Определив функцию ф(у) и подставив ее в общее решение первого уравнения (8), находим полный интеграл уравнения (1). Аншюгичным образом решение системы (8) можно начинать со второго уравнения, рассматривая его как обыкновенное дифференцвальное уравнение с независимой переменной у и параметром х. Пример 3. Рассмозрнм уравнение дю дю где р= —, д= —. дх др уюр — д = О, Характеристическая система (7) в ланном случае имеет вид др ор Вд 2уир 1 2уюрг д урз юрз ж урву Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего отношения и получаем интегри- руемую комбинацию: г1ю1'(рюрз) = — Нр1'(урз).
Отсюда находим первый интеграл р = С 1'ю. Разрешая его вместе с исходным уравнением огносительно р и д, получим систему С,яр е = ю С, р= ю Общее решение первого уравнения ииеет вид иР = 2С х + ф(р), где ф(у) произвольная функция. Подставляя это решение во второго уравнение системы, имеем ру (р) = 2Сзр. Поэтому ю(р) = Сз уз -Ь Сз. В итоге получим пояный интеграл в видо игз =- 2Сг х + Сг Уз -1- Сз.
где 1" --. произвольная функция, а штрих обозначает производную. Общий интеграл в опредслегшом смысле роль общего решения, зависящего от произвольной функции (вопрос о том, все ли решения оп описывает, требует дополнительного анжзиза]. Пример 2. Для уравнения, рассмотренного в первом примере, общий интеграл можно представить в параметрическом виде с помощью соотношений 320 НЕЛИНЬЙИЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУЫЯ НЕЗАВИОИМЫИИ ПЕРЕМЕИИЫМИ ОВЩЕГО ВИДА Отметим, что полный интеграл уравнения (!) является общим решением вполне интегрируемого уравнения Пфаффа дю = »рг (х, у, ю, Сг ) »1х + у»и (х, у, ю» Сг ) г(у, (9) в котором стоят функпии рг и»»з из системы (8).
Замечание 1. Очевидным первым интегршюм характеристической системы (7) является равенство г'(х, у, ю, р, д) = С, поэтому функция Ф, определяющая интеграл (6), лолжна быть отлична от г . Однако использование очевидного первого интеграла позводяет понизить порядок системы (7) иа единицу. 14.!.1-3. Построение полного интеграла с помощью двух первых интегралов. дю дю где р= —,, д= —, дх ду рд — аю = О, Характеристическая система (7) в данном случае имеет вид дх ду дю др до С р йрд ар ае Приравнивая сначала первое и пятое отношение, а затем в»орое и четвертое, находим первые интегралы д — ах =СН р — ау=СИ.
Имеем Р = рс — ань Ф = д — ах, Ф = р — ах. эти функции удовлетворяют усяовиям (и). Разрешая уравнение и первые инте»ршы относительно ю, получим полный ин»е»рал в виде 1 ю =- — (ах -1- С» )(ау -1- Сз). а 14.1.1-4. Случай, когда уравнение не зависит явно от ш Пусть исходное уравнение не содержит явно искомой функции, т. е. имеет вид Р'(х,у,р,у) = О. (12) 1'. Если получено однопараметрическое семейство решений ги = Е(х, у., Сг), уловлетворяющее условию Е, ф сонат, полный интеграл дается выражением»с = Е(х, у, Сг) Ф С».
2'. Первый интеграл (6) можно искать в форме Ф(с, у, р, д) = Сг, аналогичной уравнению (12). В этом случае характеристическая система (7) записывается так: дх ду др ду РР Р» Соответствующее уравнение Пфаффа (9) принимает вид г(и» = с»» (х, у, Сг ) дх +»рз (х, у, Сг ) г) у и может быть проинтегрирована в квалратурах.
В результате имеем следующее выражение для полного интеграла: ю = !( З»г(1,!НС») д!-Ь / З»з(хс,е,Сг)ЕЫ-СЕ, э "» »у» (13) где константы хо и уо можно выбрать шобыми. Пусть найдены два независимых первых интеграча Ф(х,у,ю,р,д) = С», Ф(х,у,ю,р,у) = Се (1О) характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7). Считаем, что функции г, Ф, Ф, определяющие уравнение (1) и интегралы (1О), удовлетворяют следующим двум услОвиям. Ф)- - =0,1П д«а,р,с) Ф» +РФ Ф» Фу Ф 9ФИ где э ". якобиаи функций г, Ф, Ф по переменным ю,р,у, а [Ф, Ф) . - скобка Якоби. В этом случае равенства (1) и (10) представляют собой параметрическую форму прелставления полного интеграла уравнения (1) (!» и 9 рассматриваются как параметры).
Исключив р и д из (1) и (10), а затем разрешив полученное выражение относительно ю, можно получить полный интеграл в явном виде ю = ю(х, у, С», Сз). Пример 4. Рассмотрим уравнение 321 !4.1. Предиарительиыи зиигеиит>л 3'. Пусть уравнение (12) удается разрешить относительно р или д, например р = — 'Н(х, 9,9). Тогда дифференцируя обе части по у, можно получить квазилинейное уравнение относительно производной 9: дс д дю — + — Н(х,у,п) =О, 9=— дх ду ''' ' ду Это уравнение проще исходного, его качествснныс особенности и метолы решения описаны в разд. !2.1.1 .12.1.4.
14.1.1-5. Уравнение Гамильтона Якоби. Уравнение (1), разрешенное относительно одной из производных дю дю рч~ Н(х,у,ю,9) =О, где р= —,, 9=— дх' ду' принято называть уравнением Гамильтона Якоби, а функцию 'Н гамильтонианом. Уравнения вида (14) часто встречаются в различных разделах механики, теории управления и дифференциальных играх, где переменная х обычно играет роль времени, а переменная у роль пространственной координаты.
Уравнению Гамилыона Якоби (14) соответствует функпия г (х, у, иду, 9) = р ч- Н(х, у, ю, д) в уравнении (1). Характеристическая система (7) дпя уравнения (14) с учетом равенства р = — 'Н сводится к более простой системе, состоящей из трех дифференциальных уравнений у = Ни, и> =г!Ни — Н, 9 = — 9Н Ни, (! 5) которые пе зависят от р (в левой части уравнений стоят производные по переменной х). 14.!.1-6. Преобразования Лежандра и Эйлера. где ю = ю(х у) 21 В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
