В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Полный интеграл! ю=(СьуиСэ)с(х)ЛНх) )' [вх" — аС! )гя(х) — ЬСье(х)) х, Г(х) =ехр( ). Р(х) Ь -!- 1 Вю Гдюля Вю и р — + а( — ) + Ь вЂ” = сх ю + ве дх др ду Полный интеграл: ю = (Сьу-гС9)с (х)+с' (х) /(вть' — оС,с (х) — ЬСгс' (х)~ 10. г(х)=ехр( ). 19 В. Ф Залпьв, А Д Понянчи Уравнения этого типа встречаются в иеханике, где переменная х играет роль врсиени, а пере.пенная у играет роль пространтнвеннод координаты. 290 Нелинейные уРАВиения О дВумя нъзАВисииыми пеРъывниычи ЕВАдРАтичные |ю ИРОЕЕВОдны'А Впу у' Впу Лг Вуд Ъ вЂ” +а( ) +Ь вЂ” =се ю+ях . в (, вр ) ву Полный интеграл: ю=(С|росу)Г(х)+Г(х) / [ях~ — аСАГЗ(х) — Ьс|Г(ЕЯ вЂ”, Г(х) =еир( — е~*).
дю Гдютг дю у, уя — +а( — ) +Ь вЂ” =се ю+яе дх (. ду ) ду Полный интеграл: ю=(суу4-Сз)Г(х)+Г(х)) [яея — ОСЗГЗ(х) — ЬСЕГ(х)1 и, Г(х)=схр( — е~"'). Г(х) ' Л дю + ъ(дю) +Ь Ою д Ор Вр аС|г ЪЪ| ЬС| В.Р| с Полный интеграт| ю = С|у — ' х — ' х'ъ -й х + й Су. й-1-1 и-!-1 т+1 13. д (, Ву ) Ву аС, Ъ.|1 ЬС, „Р| с Д, Полный ив|с|раль ю = С|д — — х — х -1- — е ' -!- Сг.
й-!-1 п-!-1 д 15. в йг(' Вю 1г ъ дю Ох + агх '( 1 + (атх 'у+ аох ') ду~ вр = Ьх"ю+сгх 'у +сух 'у+сох О(х). Частный случай уравнения !3.3.4.6. 16. Вю+ л Гвютг+Ь йдю П = се + ( )+ь 1!Олный интегрхс ю = С|у — е '" — х + — е + Су. ДСЕ л „ЬС ъе| с яу Л ' й-1-1 ' д 17. — +ае ( — ) +Ье — =се дю л у'дютг П дю дх (,ву) ду аСЗ л ЬС| д„с Полный интеграл: ю = С|у — е — е + — е' + Сз. Л Частный случай уравнения 13 3 4 5 при )(х) = аел, д(х) = Ьед', 6(х) = се", р(х) = йе'*, е(х) = пуси*. 19. в + У(др)+ Ою Ьу = су вр 20.
Полный интегралу Ьуи-"-Ъ' ю=-Съ +С.— + — ) у 2а(п — й -!- 1) 2а дю ъ Г дю Лг Вю ПУ вЂ” +ау ( — ) +Ьу — =се ". вх (. Ор ) вр Частный случай уравнения !3.3.4.7 при 1 (у) = ау, д(у) = Ьу", 6(у) = се У. +ах ( ) + Ьх = сх ю+1Зх у+7х~. Частный случай уравнения 13.3.4.5 прн )(х) = ахъ, д(х) = Ьх", Ь(х) = охи', р(х) = уух, е(х) = ух". !12 Уравнении годврягощнв нроизвол ныг нораивтры Ою ЬГ аю Ля ою 22. — +ау ( — ) +Ьу — =ох +яу.
в тор) Ор Полный ингегрюг: сх +г Ьр" н+г г иг = — Сгх-1-Сг -Ь вЂ” / у т+! га(п — лиц га / ае и( ) + Ьени = сет". л "Вю'2 Вю (,ор) ор 23. + Вх Полный интеграл Ье!Д вЂ” л!и ! — Сгх+ Сз — х — / е " Ьзездн+ 4асе1л~! ~!н + 4С,аелн г!уг, 2а(д — Л) 2а л„г' Ою л л2 ае !л — ) +Ье — =се +яе Ни Вю т ни 'л вр) вр интеграл 24. — + вх Полный !д — л!н ю = — Сгх+Сз+ — 'ез* — х — /е ли Ьгегдн + 4авг!лгн>в + 4Сгаелн ггу. 2а(Π— Л) 2а,г — + А(ах + Ьу) ( — ) + В(ах + Ьу) — = С(ах + Ьу) Вх ву ор Частный случай уравнения 13.3.4.9 при г"(з) = Азг, д(х) = Вз, 6(з) = Сз'". Ае г ьи/ Вю ) ' Вел! +ьи! Вю — Сел! +ь Вх Л Оу ) ву Частный случай уравнения !3.3.4.9 при гг(2) = Ае', д(х) = Вел", 6(2) = Сел".
В + ь(аю) +Ь Вю о ™ ор ор 27 аСзюг г!ю полный интеграл в неявном виде: Сгх+ Сзу+ / = Сз. / С, ~-ЬС2 ° !' аС,зюг ггю Подный интеграл в неявном виде: Сгх+ Сгр -Ь / г = Сз. / С, 9ЬС,елн' дю г.г Вю ля Ою 29. — +аю ( — ) +Ью — =ею Ох (. ар) ау Частный случай уравнения ! 3.3.4.12 при г(ю) Ою ьг Вю Л2 Ою 30. — аю ( — ) — (Ьх у+ сх )— Вх, 'л ву) ау Частный случай уравнения 13.3.4.13 при /(ги) аю, д(ю) = Ью", 6(ю) = сю ". О. аел", д(х) = Ьх", 6(х) = сх )+Ь О. неявном виде: Сг х + Сз р + / 31.
+ Ох г ду аСгвл" дю = Сз. С -1- ЬСяюо Полный интеграл в неявном виде: Сгх + Сзу -ь / а, (а + ае ау аСзел"' ггиг Сг -1- ЬСзвяы Полный интеграл в дю л таю ля р дю = се дх л Ву ) ду Частный случай уравнения ! 3.3.4.12 при 7(иг) = аг, д(ю) = Ье', 6(ю) = се"о 33. 292 нвлинзвныв лглвнвния о лвямя нззлвисимымн пьтзллвннылли квлделтичныз по пголизводньт Частный случай уравнения 13.3.4.13 при у(ю) = аел, д(х) = Ьея', Ь(х) = се'*. з 35. — + А(ю+ ах+ Ьу) ( — ) + В(ю+ ах+ Ьу)" — = С(ю+ ах+ Ьу)™. Вх Ву Ву Частный случай уравнения 13.3.4.14 при у(х) = Ахл, д(з) = Вз', Ь(з) = Сз 36. — +Ае + +и! — ~! +Ве! + +") — =Сел( + +") Вх ( ) Ву Частный случай уравнения 13.3.4.14 нри ((з) = Ае=, д(з) = Вел, Ь(х) = Сев". 122.6. Уравнения вида У(хлултп)( й )2+9(х,у,ю)( — о) = )з(хлулто) > Уравнения данного вида вслпречалопи:л в механике, геапетрической оптике и дифференниальной:еоиетрии.
В частиости, уравнение ( в ' ) Ч- ( в" ) = у(х, у) описьтает двумерный фронт волны при раепроапранепии света в неоднороднои среде с переменныи кооффиниентом преломления ((х,д). Дифференииаюное уравнение световых лучей (при а = Ь). Полный интелрхс ю = Слх+ Сзу+ Сз, лде аСлз + ЬСз = с. (х — С )з (и — С )з Другой полный интеграл; с а Ь ( ) +( ) =а — 2Ьу, Это уравнение описывает параболическое движение материальной точки в пустоте (координата х отсчитывается вдоль поверхности Земли, координата у отсчитывается по вертикали от поверхности Земли, а-- ускорение силы тяжести).
Полный интегРал: ю = Слх ж зь (а — Сл — 2ЬУ) )з Ч- Сз. Сч) Литераплурт П. Дппслль (!960). 3. ( — ) +а( — ) = Ьх+су. Полный интеграл при Ьз + асз ф О: 2 ((Ьз -л асз)(Ьх д су) — аьзСДзгз 2 ° аздасз ' 3 (Ьз -1- асз)з Полный интеграл при Ь -1- асз = О: ю =, (Ьх -1-су) — — у-1- х-1- Сз. с с сь 4С Ьз 2 2с При а = 1, Ь = йз, с = хйз имеется также полный иптелрал: и~ = з й(х+ Сл) х з й(у+ Сл) 4 Сз.
( ) + а( ) = Ь,х + Ьзу + слх+ сзу+ в. Уравнение с разделяющллмися переменными. Полный интеграл: ю = х ( Ьлх'-1-слх да — Слдхх ) ' ' дую Сз. Ь уз+: у 4 С, а ( ™) +( ) =ах +Ьху+су +я. Пусть числа А, В, йт йз удовлетворякгг следующей алгебраической системс уравнений (йг или йз можно задать произвольно).' Айз~ 4 Вй~~ = и, 2(А — В)йзйз = Ь, Ай~ -1- Вйз~ — — с. Тогда преобразование 6 = йзх -!- йзу, д = йзх — йзу приводит к уравнению аида 13.2.6,4: з ( у( ) + ( В ) йз ! йз ь ( ) +( ) =ажз+Ьху+Су +)ЭХ+ту+в. Преобразование, используемое для реп~ения уравнения 13.2.6.5, приводит к уравнению с разделяющимися переменными вида 13.2.6.4.
( — ) +а( — ) =Ьх . = с,и сн !' ь — с,'е*. ( — ) + ( — ) =ах +Ьу" +с. Уравнение с разлеляющимися переменными. Полный интеграл: т~)с",етст+) Ъз т -св„+сь. Оь Литеритури: Э. Камке П966). (~ ) +(л ) = +Ь. К решению этого уравнения сводится залача о лвижении лвух тел в небесной механике. Переходя к полярным координатам х = г сов д, у = г гйп д, можно получить уравнение с разделяющимися переменными. Полный инте~рюэ: и С~э Ь+ — — — '4 +С,д+С. Оь Литероигурх П.
Лппель П 9601, Р. Курант 11964), Э. Качке !1966). 10. ( — ) + ( — ) = а(хз + уз)". Частный случай уравнения 13.3.5.4 при г(е) = оя!'. +( ) =а(х +у )(ху) случай уравнения 13.3.5.5 при !(в) = пег. + ( ) = а(х' + у')(х' — у')". случай уравнения 13.3.5.6 при Г'(к) = ае . пьи з + ( ) = А(ах + Ьу)" + В(Ьх — ау) + в. ду случай уравнения ! 3.3.5.3 при Г" ( ) = Азг', д(н) = Вин -1- з. 14. а( ) +Ь( ) = сзс.
Подный интеграл; и~ = * . (Сзх+ Сзу+ Сз), 4(аСз .1- ЬСз) ц (ат) Частный (Вю)з Частный !3. ( ) Частный !3.2 Уривнен~т, годертгощие произвозьные поричетры 294 Нелинейные ьглвнения о двзмя незлвисимымя пюемвннымн квлдглтичныя по пгоьизаодным 15. ( — ) +( — ) =аиь +Ь. аю Полный интеграл в неявном виде: х сов Сь + уз(зьСь Ч- Сз = х l У льаюз -1- Ь Отсюда, в частности, при а = 1, 6 = 0 имеем ю = Сз екр(х сов Сь с- унта Сь). 16. ( — ) + ( — ) +1 ее ',.
Это уравнение описывает семейство сферических поверхностей радиуса а, пентры которых расположены на плоскости х, у. 3 з л Полный интеграл в неявном виде: (х — Сь) +(у — Сз) + ю = а . (У вЂ” Сзх — Сз)з Другой полный интеграл: ' з -1- ю = а . 1, Сз 17. ( — ) +( — ) =аю . Частный случай уравнения 13.3.5.7 при 1(ььь) = аю". 18. ( ) +( ) =(ах +Ьху+су +я)ю.
2 Замена и = и Я приводит к уравнению вида 13.2.б.5; 2 — Ь ( — ) -Ь ( — ) = ах -1- Ьху+ су Ч- в. 19. ( — ) + аху( — ) = Ь. 2(Ь вЂ” ас,'х) "з Полный интеграл: ю = — ' Ч- 2Сьлььу Ч- Сз. Зс,Сьз 20. ( ) + А(ах + Ьу)" ( ) = 23(ах+ Ьу) Частный случай уравнения 13.3.5.15 при 1(з) = 1, д(х) = Ав", Ь(а) = Вз". 21. а( ) + Ью( ) = с .
з з Г ЗЬсСз !з!з Полный интеграж ЬСзьс = — аСь + ~ з (Сьх+ Сзу+ Сз)) 23. ах ( ) +Ьу ( ) =ю'. Преобразование з ( ' ) ' прн ~2, е при с=2 и=1пхь с=!пу, приводит к уравнению вида 13.2.6.1: азз + Ьзз = 1. 22. х( ) + ау( — ) = Ьх+ су. Полный интеграл: тЬь ~сЬ~ *' ь ь*+ь 'ь*Ьм+сЬ+с/~ 2ъ'Ь + у(су — Сь ) Сь — ~,Я ь- с ь — с, + с . с, 2~ас 29о 73.2 Уроененнн, еодерлеощие нронзеольные норинетры 24. (х — а )( ) — (у — а )( ) =Ь(х — у )+йх. К этому уравнению сводится плоская задача о притяжении двумя равными неподвижными точечными телами (переменные х и у играют роль эллиптических координат, а- расстояние между телами).
Ь, гтрк 4 С, Г Гбр 4С Полный интеграо нл = х ! ',, ' ' г(г ~ ( )! ' " Цр+ Сг хг — ог / )/ рг иг Ое Литеротури: В. И. Арнольд !!974). 25. (х+аг)(х+аг)( — ) — (у+аз)(у+аз)( — ) =ЬзУх+а~+6|/у+аг+с(х — у). ах ар Полный интеграл: С! 6 ох ~-рчх-~-а, ! С!+ел — бурра! то = ах+ ( ар+ Сг.
(х ' а,)(х -!- иг) ,I (р .1- и,)(р -~- ао) При Ь = —,' (тз 4- тг), Ь = ф(зпз — ка ) это уравнение описывает плоское движение точки с единичной массой под лействием гравитационных сил, создаваемых массами т!, гпг, находящимися в точках (х = х1, р = О), где переменные х и р играют роль эллиптических координат. Ое 77итерон!гро: Э. Камкс 11966).
та„г г ато тг 26. 4у(а — х) (Ь вЂ” х)(с — х) ( — ) — 4х(а — у)(Ь вЂ” у)(с — у) ( ) = ху(х — у). (, ар) Это уравнение встречается при отыскании геодезических линий на эллипсоидс с полуосями а, Ь, с. Полный интеграж и) = — ( х(х -1- С!) ! !' р(р -1-С!) аг' + — / Нр -1- Сг, Р(Ь) = (а — !)(Ь вЂ” !)(с — !). 2 ! Р(х) 2,/ Р(р) Ое Лншеришуро: Э. Камке (!966). 27. хь( — ) +Ьу" ( ) = х-+ву'+73.
Уравнение с разделяющиьзися переменными. Полный интеграз: =+7 Ч' '*к," ~.*+7 ~/'" ~ни "' н„+они Знаки перед каждым интегрщюм выбираются произвольно независимо друг от друга. 2й (в)нх) (( ) — а~+6( ) = О. Это уравнение возникает при введении ортогональных геодезических параметрических линий на единичной сфере. По!пзый иптеграж ЬСг — г)х. (а!и х)г (е) Лин1еритуро; Э.
Камке (1966!. ато а г 29. А(ах + Ьу)" ( ) + В(ах + Ьу)" ( ) = С(ах + Ьу) Частный случай уравнения !3.3.5.15 при 7(г) = Аг"', д(г) = Вг", Ь(г) = С" а а„г 30. А(то+ ах+ Ьу) ( — ) + В(ни+ ах+ Ьу)" ( — ) = С(то+ ах+ Ьу) Частный случай уравнения 13.3.5,16 при 7(г) = Агн, д(г) = Вг", Ь(г) = Сг 296 Нклинейнык УРАВнкиия с дВумя незАВисииычи ДЪРемвннычи кВАдРАти'|нык |ю КРОКВВодиыч 31 ах"ю"1( ) + Ьу ю"'( — ) = сю"з + в Частный случай уравнения 13.3.5.17 при 71(х) = ах", д|(ю) = |г"', уг(у) = Ьу д,(ю) — юк 6(ю) — ||с з 32. Ае + "( — ) +В ! +"! — ) =Се! +"! Вю 'г ° Вю .г Вх (Вр) Частный случай уравнения !3.3.5.15 при 7"(к) = .4е', д(к) = ВРА', 6(к) = Сев'.
33. Ае " '" "( — ) +В "1 « ""! — ) =Се! В 'Вю'г Вх ( Вр ) Частный случай уравнения 13.3.5.16 при 7" (к) = Ае', д(к) = Вет', 6(к) = Сел'. 13 2 7. Уравнения вида у(хзу)( В- -)2 + д(х,у) — — --ю = ге(хзу,ю) УВ т В В 1. ( — ) + а — — + 6х + су = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
