В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 51
Текст из файла (страница 51)
др Частный случай уравнения 12.4.2.24 при Д(р) = бд 1дд"'(нр), дд(ю) дд(ю) = од1п" (Яю), 6(х) = бя!пд(дх), а,б Ь р = ахи — — соа(Лх) Ч- Ф(и), гле и = вд — — шп(Лх). ЛЯ Л дх + [а сов (Лю) + Ь ~ = О. ар Общее решение: и = х [и соя" (Лю) + 6~ + Ф(ю). дю й а — + [а сов (Лю) + Ь ~ — = сд сов (,Зх) + сг.
дх ар Частный случай уравнения 12 4 2 2 при Г(ю) = о соад(Лю) -1- б, д(х) = сд сов" (:1х) + сд. дю й ддс — + [асов (Лю) + Ь~ — = сд сов (Ду) + ся. дх ар Частный случай уравнения 12.4.2.3 при Г(ддд) = асоад(Лю) + Ь, д(у) = сд сов (13р) + сд. Ою й дю — + [асов (Лю) + Ь~ — = сд сов (,Зю) + сг. дх ар Частный случай уравнения 12 4 2 5 при г (и~) = а сова (Лдю) -1- Ь, д(ю) = сд сов" (ддде) -1- сд. 123. Другие урпынеииц ееаериеиирге иреизыеш ние иириивиры — + [а соя (Лтс) + 6 сов~(1Зх) + с) — = О. дю й дю ах ар Общее решение: у = ах сова(Лгю) + Ь / соя" (1Зх) г1х + ох+ Ф(ю).
— + [а сова(Лю) + 6 сов ()ЗУ) + с) — = О. дх ду Частный случай уравнения 12 4.2.12 при 1(ю) = а соя" (Лиг), д(у) = 6 сони (ду) + с. + а соя (Лх) сов ()Зу) сов (1ею) = О. д др Частный случай уравнения 12.4.2.20 при ! (х) = асов" (Лх) д(р) = соя РУ) Ь(ю) = соя (рю).
-1- асов (Лх) сов ()Зу) сов (1хю) = Ьсов'(7х). ах ду Частный случай уравнения 12.422! при 1(х) = асов" (Лх), д(у) = соя™(!Зу), Ь(гл) = соя" (рю), р(х) = Ьсояе(рх). + асов" (Лх) сов™()ЗУ) сов~(!ею) = Ьсов'(7ю). ах ар Частныи случай уравнения !2.4.2.22 при Д(х) = асов" (Лх). д(у) = соя (др)* 6(ю) = сов '(рю), р(в) = 6 соя'(ую). 10. 11. + аю = Ья1п(Лх). дю дю дх ар Общее решение: а6 6 у = ахи — —, сйп(Лх) -!- Ф(и), где в = ге -1- — сов(Лх). Лв Л 12. + [авш (Лю) + Ь) = О. ах др Общее решение: д = х[а вша(Лю) + 6) + Ф(ю). 13.
+ [ав1п (Лю) + Ь) = ст яш" ()Зх) + ся. ах др Частный случай уравнения ! 2.4.2.2 при т(ю) = а айпи(Лв) -е Ь, д(х) = сг в!и" (дх) + са. дю й дю 14. — + [аяйп (Лю) + 6) — = сд вш ()Зу) + ся. дх ду Частный случай уравнения ! 2423 при т(ю) = а ейпй(Лю) Ф 6, д(р) = сг вш" ((Зу) + сх 162 + [авш (Лю) + Ь) = ст вш ()Зю) + ся. дю й дю ах др Частный случай уравнения 12.4 2.5 при р(ю) = а я!и" (Лю) + 6, д(в) = сг ыпи (фю) + сг. 16. + [ав1п (Лю) + Ьяйп (1Зх) + с) = О. ах др Общее решение: у = ах я!пй(Лю) + 6 / я!и" ( Зх) г!х -6 ох + Ф(ю).
д й д 17. — + [ашп (Лю) + Ьа!п (1Зу) + с) — = О. д ар Частный случай уравнения!242.12 при у(иг) = аяшй(Лгю), д(у) = Ьяш" (13у) + с. 18. — + авш (Лх) вш ()Зу) я1п (1ею) — = О. ах др Частный случай уравнения 12.4.220 при 2(х) = авши(Лх), д(у) = в!п"'(ду), 6(ю) = = вши(рю). 19. 20. 22. 26. 20. 21 25 27 29. 30. 268 ивдзилииетдные т данелия вилл т"(х, у,ю) —,'„' + д(х, у, ю) —,'"' = ь(х, У, ю) а . „, а — -1- ив!п (Лх) вш (дЗУ) вдп (1дю) — = Ьв!п (тх). ах ду Частный случай уравнения 12.4.2 2! при )(х) = а яп" (Лх), д(у) = в!п'"(дуу), Ь(ю) = = яп (рю), р(х) = 6яп'( 1х). — + а вш (Лх) вш ()3У) ядп (1дю) — = Ь вдп ('ую).
дх ау Частный случай уравнения 12.4.2.22 при Д(х) = аяп (Лх), д(у) = яп (ду) Ь(и') = = яп" (ддю), р(ю) = Ьяп" (тю). + [аЬд" (Лю) + Ь~ = О. Общее решение: у = х [а ей (Лю) Ф Ь~ Ч- Ф(и~). ах + [аед (Лю) + Ь~ = сд Ьд" (13х) + сг. ау Час гный случай уравнения !2 4 22 при т(ю) = а еде(Лю) -1- Ь, д(х) = сд Ед" (дх) Ч- сг. ах + [пад" (Лид) + Ь~ = сд Ед" (13У) + сг. ау Частный случай уравнения !2 4 2 3 при Д(в) = а едя(Лид) -1- Ь, д(у) = сд !д" (ду) Ф сг.
— + [а Сд (Лид) + Ь ~ — = сд Сд (13ю) + сг. ах ау Частный случай уравнения 12 4 2 5 при 1(ю) = а !д~(Лю) -1- Ь, д(ю) = сд !д" (дю) -!- сг. дх + [аед" (Лю) + Ьад (13х) + с~ = О. ду Общее решение: у = ах яд (Лдо) -1-Ь / тд" (Зх) дх -6 ох+ Ф(и~). — + [асЬд (Лю) + Ь~ — = О.
дю я дю ау Общее решение: у = х[а дада(Лю) -1-6] -1- Ф(ю). ах + [а СЕД (Лю) + Ь! од сЬД ()3х) + сг. ау Частный случай уравнения 1242 2 при Дид) = а с!8" (Лю) -!-Ь, д(х) = сд с!д" (13х) -1-сд. дю я аю — + [асад (Лю) + Ь~ — = сд с1д ()3у) + ся. ах ау Частный случай уравнения !2423 при у(ю) = асей~(Лю) + Ь, д(у) = сд с!д" (Зу) + сд. а + [асад (Лто) + Ь~ = сд сад (13ю) + ся.
ау Частный случай уравнения !24.2.5 при 1(ю) = астдд(Лю)+Ь, д(ю) = сд с18" (,'3ю) +се. дх + [и ссд (Лю) + Ь сад ()3х) + с~ = О. ду Общее решение: у = ах седя(Лю) + Ь / сед" (Зх) д1х+ ох+ Ф(ш). 12.4. Уравнения, содержащие произвольные функции 12.4.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции независимых переменных аю аю 1. — + аю — = 3(х).
дх ау Общее решение: у = ах[ю — Г(х)~ + а / Г(х) д!х+ Ф(ю — Е(х)), тле 2л(х) = / т(х) Ых. 12.4 Уравнения, еодврлнонгие пронзволвньле финкчнн а Ию 2. — + аю — = 7'(у). ах Оу Общее решение: у 8» х = ж -1- Ф(зл), итог Т:ыЁ и = й'(у) — — аил ,. 1 г 2 где Е(у) = / г'(у) л!у. 1 г и = Г(р — Ьх) — — аю Ф Ью 2 + [аю+ у(х)) = д(х). Общее решение: у = ах[ю — С(х)1 -!- а /С(х) л)х -!- )г(х! -1- Ф(ю — С(х)), где и (х) = /.л(х) л)х, С(х) = / 9(х)ллх а Ою — + [аю+ уХ(х)~ — = О. Ву Общее решение: уи'(х) — ази / и'(х) ллх = Ф(ю), где и'(х) = ех1з[ — / 7'(х) л)х~. + [аю+ У(у)~ = О. Гл дг Общее решение; х = ! -1- Ф(нл). „Ляо ДЛ) 4 ою + [ллую+ 4 (х)) Π— — О. Общее решение: у ехр( — ахю) — !' 1(1) ехр( — а!ю) Ж = Ф(ю).
о 8. — 2(у)ю = д(х)ю + Цх). Ох Ор 1!олный интеграл:* ю = уз(х) ! + ли(х), !' ллу У(у) * Общее решенно уравнений 124.1.8 — 12.4.1 !0 строится по формулам, указанным в равд. 12 !.1-3. Ою Ою + аю = 2'(у — Ьх). Ох Ву Моделыюе уравнение, описывающее нелинейные волны от движущегося источника (пе- ременные х и у играют соответственно роль времени и пространственной координаты, Ь . скорость источника). 1'. Общее решение: я — ь* д» х = х 4- Ф(и), 'л н о)- где К(») = / 7"( ) л)»; »о любое. 2 . Решение со стационарным профилем; г зллг ил = Ь вЂ” 1(Ь вЂ” лио) — 2 / 7(») л!»1, б = р — Ьх, ~4 где лио — постоянная интегрирования.
(я) Лнмература: Л. й. Нодтап (!967). Дж. Уизем (!977). 270 квлзнлинеяныв юмвнвния енлл ~(х, у, ю) а + д(х, у, ю) а = Ь(х у ю) где функции х(х), ф(х) описываются формулами !а(х) = С(х) (Сг — / С(х) г(х1, С(х) = ехр ~/ д(х) г!х~, ф(х) = о(х)(Сз+ / —,г(х], Я(х) = С(х)ехр[/ !а(х)д!х1. д. + у(у)ю = аю + д(х)ю+ 6(х). др Полный интс1 раш ю(х, у) = х(х) + Сг фу(х) екр ~а / 7(у) = Н(х) ~сг Ь / Н(х) г)х~ Ь) (Сз / У(,) г)У1 где Н(х) = ехр((/6(х) г(з~, Ф(у) = ехр((/ г(у1.
дю д 11. — — (ага+ УУ(х) + д(х)~ — — )з(х)ю = О. д др Преобразование ./ *' "' =./'(.)"(*) "х где Р(х) = ехр(/7(х) Нх~, Н(х) = ехр(/6(х) г(х3), ди ди приводит к более простому уравнению вида 12.2.1.!. — — аи — = О, дг д- 12. + у(х)ю = д(х)ю, д др Преобразование б = / )(х)С (х) г!х, и(б, у) = ю(т, у), где С(х) = ехр(/ д(х) дх~, С(х) ди ьди принодит к более простому уравнению вида 12.2.3. ! (при Ь = 0): — + и — = О. ду 13 — + у(у)ю — = д(у)и> + . дх др Преобразование О= /, и(х,г1) = и(х,у), ну 7(у)хь(р) ' ' = Р(р) ' 91(у) = р '(/ ( г(у~ ди ьда приводит к более простому уравнению вида 12.2.3.
! (при Ь = 0): — -1- и — = О, дх дг1 где Сг произвольная постоянная, а функции га(х), ф(х) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 1а, = аьз -Е д(х)1з-Р Ь(х), (1) УЬ, = [а!а -1- д(х)~ 1К (2) Уравыение Риккати (1) интегрируется в квадратурах для многих функций д(х) и 6(х), например, при 6(:г) = О, д(х) любое.
Подробности см. в книгая Э. Камке (!97б), В.Ф. Зайцев, А. Д. Полянин (1997, 2001). Если имеется решение уравнения (!), то уравнение (2) интегрируются злелгентарно (оно линейно относительно искомой функции ф). 1О. — — 7(у)ю — = д(у)ю + )г(х)ю. дю дгл я дх др Полный интеграл; 271 124 Уравнении, гидлраеииЛив првтвопьныв л)лупплзилл где 0(х) = / д(х) л!х, д1 ду 17. [у(у) + аю1 + [д(х) + Ью~ = О. Общее решение: (Ьх — ау)ли+ / д(х) йх — / Ду) л)у = Ф(ю). 18. у(х, у)ю — + д(х, у)ю — = Ьд(х,у)ю т~ + Ьз(х, у). а* ' ау Прн Ь ф — 1 замена и = ю '~ привалит к линейному уравнению ьвл длл ди 1 1 ,! (х, у) — ч- д(х, у) — = Ьл(х, у)и ч- Йг(х, у), дх ' ду Ь Ч- 1 Ь -~- 1 которое рассматривается в главе 5.
При Ь = — 1 исходпос уравнение приводится к линейному путем умножения обеих частей на и. 12.4.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции зависимой переменной — + у(ю) — = О. дю дю дх ау Модвльллое уравнение газовой динаинни. Встречается также в гидродинамике, теории фильтрации, теории во,ш, акустике, химической технолол ии и других при;южениях. 1'.
Общее решение: Ф(у — ху(ю), цл) = О нли у = ху(ил) Ф Ф(ю), ю= !в(у) при х= О можно записать в парамелрическом виде 14. — + у(х)е — = д(х). а аю ах ду Преобразование б = / Х(х)е "" !х: (б, у) = ю( , у) — Ж ), приводит к более простому уравнению нида 12.3.1.! (при 15. — + У(у)е — = д(у)е ах ау Преобразование д=/, 1ю, и(х,д) =ю(х,у) — Ф(у), йу привалит к более простому уравнению вида !2.3.1.! (при 16.
[у(х) + аю~ — + [д(у) + Ью~ — = О. ах ау Обшес решение: у йх ду 1" (х) -, 'аю У д(у) -1- Ью При интегрировании ю рассматривается как параметр. где Ф и Ф .. произвольные функции. 2'. Решение задачи Коши с начальным условием у = б ч- У(6х, ю = »(б) где Р(б) = ~(р(б)). где Ф(у) = 1 йу, р д(у) л' л'(у) Ь=О): — -!-е "— =О. дх дп 272 Квхзнлинвйные тгавнкниа вилл /(х, У,ю) л, +д(х,у,ю) л„= й(х У ги) 3 . Рассмотрим задачу Коши с разрывным начальным условием ! и~! при у < О, ( и~з при у > О. Считаем, что х > О; / > О и /' > О при ю > О; юг > О и и~з > О. Обобщенное решение при ю~ < юз. (ю! при у/х < ]тг, ю(х,у) = /-'(р/х) при ]тг < у/х < тз, где !'г = /(юг), 1'з = /(ют) юз при у/х > !хз, Здесь / ' обратная функция к /, т. е.
/ '(/(ги)) = иь Это решение является непрерывным в полуплоскости х > О и описывает «волну разрежения». Обобщенное решение при ю! > юз. (юг прн у/х < ]т, ю(х,у) = ' " * где ]т = / /(ю)диь (ю при у/х > К, юз — ю, Это решение терпит разрыв на линии у = Кх и описывает «ударную волну». 4'. В равд. 12.1.3 рассмотрены качественные особенности решений данного уравнения (в том числе явление опрокидывании и ударные волны).
Там же приведены общие формулы, позволяющие строить обобщенные (разрывные) решения при произвольном начальном условии. Болыпое число решений задачи Коши, описывающих слияние и распад разрывов, периодические волны и другие нелинейные физические эффекты, приведено в работах, указанных ниже. О» Лятсратурщ В. Норт (1950], Р. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
