В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 47
Текст из файла (страница 47)
пример б). Отсюгта следует, что асимггготическое решение удоютшворяш условию иа разрыве (3!). Таким же образом можно показать, гигя него выполняется условие устойчивости (32). Провеленный анатиз показывает, что ретненне задачи Коши лля уравнения Бюргерса при е -г 0 перехолит в обобгиенное решение залачн Коши лля уравнения Хопфа, которое может иметь разрывы.
Отметим, что имеются также иные способы введения обобщенных решений, см., например, М. О. Сгапда!1, Р.-1.. 1лопз (1983), А. И. Субботин (1991), А.!. БпЬЬо!и (1995), А. А. Ме!йкуап (1998), Б. П. Анлреянов (1999). Более полробную информацию об обобщенных решениях и их приложениях можно найти, например, в цитируемой в конце этого раздела литературе (см. также равд. 12.1.4).
Замечание. В конкретных задачах квазилинейные уравнения первого порялка часто ивля- ются слелствием интегральных законов сохранения, имеющих ясный физический смысл. В этих случаях обобщенные решения надо вводить, исходя из этих законов сохранения, см. например, Дж. Уизем (1977), Б. Л. Рождественский, Н. Н.
Яненко (1978). Полученные таким путем неглад- кие обобщенныс решения могут отличаться от обобп!снных решений, описанных выше. 12.!.3-б. Формула Хопфа лля обобщенного решения. Приведем теперь общую формулу для обобщенного решения залачи Коши (27), (28), которое описывает разрывные решения, удовлетворяющие условию устойчивости (32). Как и ранее будем считать, что х > 0 и 1' > 0 при ю > 0; 1"' > О.
Рассмотрим функцию л(в) = ш(п(щз — Е(нг)), гле Е(ш) = / 1'(нг) г(пк (48) Положим Н(ш,у,ц) = / уг(О) г(О 4-кЯ(' ). (49) Эта непрерывная функции 9 при фиксированных з и у. Можно показать, что при фиксированном к и за исключением счетного множества значений у функция (49) имеет единственный минимум по Ф Обозначим положение этого минимума О = б, гле б = б(х, у).
Устойчивое обобщенное решение уравнения (28) с начшгьным условием (29) дается формулой Г у — б 'т 42 ю(то у) = 2 ( — ), где л(з) = —. (50) йв Формулы (48)-(50) были обоснованы в работах Е. Нор((1950), О. А. Олейник (!954), Р. Р. 1,ах (! 954). Функцию 2 = Я(з), заданную выражением (48), можно записать в параметрическом виде я = )(ш), 2 = шв — / 3(ш) г(ш. (51) тле Н(св ) = Н(х, у. с„). Когда Н(ст ) р Н(го ), наличие в экспонентах матого знаменателя е делает один из членов преобладающим при е -г О. Отсюда следует, что вг = г у — с при Н(бг) < Н((г), х при Н(бг) > Н(бг).
у ьг В каждом из этих случаев справедливо решение (44), где либо б = бы либо ( = Б . Ио выбор здесь однозначен: и бы и бг являются фуикпияян переменных я и у, знак разности 3 = Н(б ) — Н(б ) определяет выбор бг и бг в заданной точке гь Ш Псрехол от бг к бг происходит в тех точках, гле Н(б,) = Н((з), 250 квлзилинейныв юлвнвния видл 7(х, у,ю) о +д(х у ш) о = 6(х у и) Отсюда получим параметрическое представление ее для произволной Я = Я(а): а=)(ю), Е=ю. (52) Положение минимума 9 = 6(х,у) функции (49) нахолится нз условия Но = О, что приводит к следуи)щепу уравнению лля опрелеления функции б: у(6) — Е( — У') = О.
Для иллюстрации использования приведенных формул рассмотрим два случая. 1'. Пусть алгебраическое (или трансцендентное) уравнение (53) в некоторой области переменных х, у имеет единственное решение 6 = 6(х, у). Положим в равенствах (52) я = (у — 6)г!х, а затем рассмотрим их совместно с уравнением (53). Исключая из иих функции Д(ю) и Я, получим решение задачи в параметрическом виде (29). В этом случае мы получили глалкос (классическое) решение, описывающее волну разрежения. 2'. Пусть теперь алгебраическое (или трансцендентное) уравнение (53) имеет лва решения бг и бя, которые являются функциями переменных х и у.
В каждом из этих случаев справедливо решение (29), где либо 6 = 6!, либо 6 = бз. В каждой точке х, у выбирается то решение 6„ (и = 1, 2], которое обеспечивает минимум функции Н(х, у. 6„), заданной формулой (49). В этом случае мы получили разрывное (обобщенное) решение, описывающее уларную волну.
!2. !.3-7. Залача о распаде произвольного разрыва. Рассмотрим залачу Коши для уравнения (27) с разрывным начальным условием !юг прн у<О* (54) ! шз при у > О. Эта залача называется задачей о распаде произвозьного разрыва. Ее кусочно-гладкое автомодельное обобщенное решение дзя произвольной гладкой функции 7" = 7'(ю) описывается формулой (знаки функции )' и ее производной мо!уз быль любыми): ю(х, у) = ш(6) = [3) '(6), 6 = у/х, (55) тле / аир(д(и) [д(ш) < 7(ю), д выпукла вниз на [шыюз)) при ю| < юз; [ !пЦд(ю) [д(ш) > 7(ю), д выпукла вверх на [шя,ш1)) при юз < ш!. (56) Злесь обратная к монотонной на интервале (по 6) функции г4)(ю) функция [Щ '(Д) при необходимости доопределяется константами по непрерывности в окрестности хоо и на отрезках, соответствующих разрывам г4з(ю).
В точках, соответствующих промежуткам постоянства г41(ю), функция [г4)[ (Я) доопреле~гяется до непрерывной справа функции. Точкой в решении (55) обозначена производная по 6. Решение (55), (56) для гладких функций Г(ю) было получено И. М. Гельфандом (1959). Зги резулыаты обобщены на случай непрерывных функций 7(ш) Б. П. Андреяновым (1999). 12. !.3-8. Задача о распространении сигнаоа. В задаче о распространении сигнала и лругих физических приложениях ищут решение исход- ного уравнения со следующими условиями: и = юо при х = О (начальное условие), ю = д(х) при у = О (граничное условие), (57) (58) ю = юо при у > аох. где юо некоторая константа, а д(х) — заданная функция. Рассматривается область х > О, у > О, где переменная х играет роль времени, а переменная у роль пространственной координаты, и считается, что ) (гп) > О.
Характеристики этой задачи начинаются на положительной полуоси у и на положительной полуоси х, см. Рис. 9. Па характеристиках, начинающихся на оси у, имеем ю = и:о. Поэтому они прелставляют собой прямые у — пох = сопас, где ао = 7"(юо). Отсюла следует, что 251 121.
Пуедворозвпзьлые э«везат~я ю=юо у Рис. 9 Рассмотрим теперь характеристики, начинаюшиеся на оси х, и предположим, что какая- либо из них начинается в точке х = т. Решение уравнения (27) с граничным условием (57) можно представить в параметрическом ниле у = 0(т)(х — т)., и~ = у(т), (59) !де б(т) = »(у(т)). Это решение можно связать с решенном (29) задачи Коши (27), (28), если положить 6 = — тЯт), уз(6) = д(т), ге(6) = Сз(т).
(60) Это соответствует продолжению характеристик через точки у = О, х = т до оси у и обозначению точек пересечения через у = б Прн этом задача о распространении сигната формулируез ся как выдача Коши. Каждую область многозначности в решении (59) следует заменить разрывом.
При выполнении условия й(+О) > по, где ао = )'(юо), такая область возникает мгновенно, поскольку первая характеристика у = й(+0)х находится впереди последней характеристики у = аох невозмушснной области. В этом случае разрыв вознихает в начале координат, и выполняется соотношение 1 С - Со = ( — о)а - 7! [С(т) — Со) Нзтх х — т / о Здесь величины ю, б и С являются функпиям т в области за разрывом и вычисляются по формулам ю = у(т), Ц = ~(д(т)), О = Р(у(т)), а инлекс «вольв соответствует значениям этих величин перед разрывом: ю = юо, Цо = »(юо), Со = Р'(и~о). Формулы (59) описывают решение в возмушешюй области за разрывом.
Равенство (61) позволяет найти величину т(х) в точке разрыва; подставив эту величину в формулы (59), находим как мсстонахождение разрыва, так и значение ю сразу за ним. Если д(х) остается постоянной и равной ю„то при а, > ао, где а, = 7'(зо,), решение имеет разрыв, который распространяезся с постоянной скоростью и разделяет две однородные области с ю = ю, и ю = и~о. Оп П«терат»ри к роздез» 12.1.3: Е. Норг(1950), Р. О. 1.ах (1954), О. А Олейник (1957, 1959), И. М. Гельфанд (! 959), Дж.
Унзем (1977), Б. Я. Рождссзвенскнй, Н. Н. Яненко (1978], С. М. Оагсппоя (1983), 1. 5пзо11сг (1983), Н. ДЬее, К. Апз, ЬЬ К. Ашипдзоп (!986, 1989), А. И. Субботин (1991), Р. Вебпко»е!зйу (!993), Л. 1. БиЬЬоип (1995), А. Л. Меликян (1996), Л. А. Ме10хуап (1998), Б. Н. Лнлреянов (1999). 12.1.4. Обобщенные решения квазилинейных уравнений 12.1.4-1. Предварительные замечания. В обзпем случае квазилинейное уравнение дю диз — -1-)(х, у, из) —, = д(х, у, из) д '' ду (62) квлзилиняяныь яг«знания виль 1(х, у, и) — + д(х, у, ш) д" —— 6(т, у, и) 12.!.4-2.
Обобщенное решение. Условия на разрыве и условия устойчивости. Обобщенное решение можно ввести следующим образом. Пусть ф(х, у) Е С1 — непрерывная финитная функция (обращаезся в нуль вне конечной части плоскости х, у), имеющая непрерывные первые произволные. Умножим уравнение (62) на ю(х, у) и проинтегрируем полученное выражение по полуплоскости П = (О < х < са, — оо < у < сю). После интегрирования по частям, имеем у! '[ю — 4-)г(х,у,и) — ч-С(х,у,ю)ф(х.у)) г)удх 4- ~ ю(0, у)ф(О,у) г!у = О.
(65) 0— I дгг дгу дх ду Выражение для функции )г(х, у, ю) приведено в (64). Интегральное равенство (65) нс солержит производных от искомой функции и не теряет смысла шзя разрывных ю(х, у). Функцию ш(х, у) Е К будем называть обобщенным решением уравнения (62), если равенство (65) выполняется для любой финипюй функции ф(х, у) Е ьг. Осноаные свойства обобщенного решения; 1'. В области, где решение иг непрерывно дифференцируемо, уравнения (62) и (65) эквивалентны. 2'.
Пусть у = у(х) уравнение одной из линий разрыва функции ш(х, у). Тогда лолжно выполняться условие!'югонио, выражающее скорость движения линии разрыва через параметры решения до и после разрыва: [Р (х.у, ш)] Р (х, у(х), шг(х)) — Р(х, у(х), и11(х)) [ш] шг(х) ш! (х) Здесь использованы обозначения (66) И = у (х), юг(х) = и1(х,у(х) — 0), юг(х) = иэ(х,у(х) Е 0) 3'. При 1',(х, у, ю) ф 0 условия устойчивосзи обобщенного решения по отно1нению к малым возмущениям начального профиля (именно такие решения физически реализуемы) имеют вид 1 (х, у(х), юг(х)) < 1 < 1 (х, у(х), ги1 (х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
