В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В результате находим решение исходного уравнения С' дз = х -1- Ф(у — ах). Ьзз -~- ас глс Ф(и) произвольная функции, юо — произвольная постоянная. Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю з — -1- ах — = Ьхю . дх ду (б) Характеристическая система 1 ах Ьхюз имеет независимые интегралы а 2У вЂ” ах —.— Сы Ьу -1- — =. Сз () гсюла получим общее решение исходного уравнения в неявной форме: Ф(2У вЂ” ах, Ьу -1- — ) = О. з а Разрешив зто равенство относизельно ю, можно представить рсгпение в явном виде: а зс =- Ф(2у — ахз) — Ьу где Ф(и) -- произвольная функция. Формулировка и процслура решения задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными описаны в равд.
12.1.2. (в) Литература к разделу 11.1.1: Э. Камке (19661, И. Г. Петровский (1970), Н. Кйес, Р.. Апа, Н. К. Апшпбзоп (1986), В. Ф. Зайцев, А. Д. Папанин (1996). 11 2 Уровненип. еое!ерхеаи1ие произвопнные порипетры 11.2. Уравнения, содержащие произвольные параметры 11.2.1. КоэФфициенты уравнений содержат степенные функции 1. а — +Ь вЂ” = сю +ею о о О Оу ейо Общее решение: а l = х+ Ф!Ьх — ау). 1 сноп 2. — +й — = !ах+бр+ею) +в. дю дю ах ор Замена о(х, у) = ат -1- Ьу -1- сю!х, у) приводит к уравнению вида 11.2.!.1 при т = 0: до ао — + Ь вЂ” = со" и- о и'- ЬЬ ч-са.
дх ду О О и 3. +а — =бх"ю+сх ю . дх ду Общее решение: ! ю = ~Е(х)Ф(у — ах) + с(! — Й)Г(х) / Г(х! 4. а — + Ь вЂ” = ею+ !1Зх + Лу™)ю". дх др Частный случай уравнения 11.3.1.3 при р!х) = дхп, д(у) = Лу дю дю +а =бх у ю. дх ду Частный случай уравнения 11.3.1.8 при 1 (х) = Ьх,", д!У) = уп', Ь!ю) = ю . О дпо б. ах +Ьх =ею . Ох Оу Общее решение: 1 ю1-н — ' !и ~. ) ~ Ф <ба: — и) = ( '-а о ! 1п)ю) прн й = 1. дю дю я — +Ьр — = дх др Общее решение: 1 — ' 1п рг) + Ф!!х! !У) ') = о 1!п)ю! при й = 1. дю дпо 8.
ау — +бх — =ею . дх ду Общее решение при аЬ ) 0: 1-и !в~1пб + у)+Ф! у — Ьх ) =( ' оабб 1!п!во~ при 1т = 1. дю дю +У дх др Общее решение: ю+ ю' — хп — у' = Ф!— ру н ),х)' 10. ах, — +Ьу — =ею . адю ядю я дх ар Общее решение: ю = — ~ — + Ф!т — — — ) е ох Ьу ох киьзилииейные УРАВнения Вилл з (х, у) а + д(х р) В = 6(х у ю) 232 гдю 2дю 2 11. ах — — Ьх — = (ю — Ьх — ау) Ох др ((а -1- Ь) х -1- ау) Ф(ах -1- ау) — ах(бх 4 ау) Общее решение: ю— Ф(ьх -1- ау) — ах 2 2 Вю 2 2 Вю (п(а~ха ) га(у~ха )] Общее решению а(х — у) лля верхнего знака, (х Ч а)(у — а) 13.
(ху+ а )(х — у ) = а(хя -1- уя)юя, ~ а(у — хе) — 1 Общее решению ю = ~ ', Ф Ф(ху)] ! 2(ху -1- ая) 14. ах — + Ьу — = сю + в. дю ьдю ах вр Частный случай уравнения ! 1.3.1.11 при 1" (зс) = сзс Ф е. Ою ьдю 15. ау — + Ьх — = сю + в. дх ар Частный случай уравнения ! 1.3.1.12 при Г(ес) = сю -1- е. 16. у (ах — +Ьу — ! =с(у тс — х ) . в дю Л Ь 2 дх Оу) Общее решение: Ф!А —, у' ехр(, ' )) = О. (,у.' (.у 17. Ьтх"' — + Ьяу"' — = аю + (стх ' + сяу ')ю .
Вх вр Частный случай уравнения 1!.3.1.!7 при уз(х) = Ьзх ', ГЗ(у) = Ьзу"', де(х) = сех д2(у) = с2д 11.2.2. Коэффициенты уравнений содержат экспоненциапьные функции ьв а +6 =е Вх вр 1 Г с Общее решение: ю = — — 1и!Ф(ьх — ау) — — х]. с а 2. — +а — = Ь+се Вю Вю и ил Вх Вр сл Е1 Общее решение: ю = — — 1н!е ' Ф(р — ат)— е ']. л ( ' д+ьл 3. — +а — =Ье + а ар Частный случай уравнения ! 1.3.1.2 при 2(х) = ЬЕР', д(х) = сез". 4. а + Ь = с+ ()чее" + яе '")е В* Оу Частный случай уравнения ! 1.3.1.4 при 1(х) = Ье~', д(х) = яе'".
233 11.2. Ууавнвиил свдврвимгвив првиэвплимьгв параметры 5. — +Ь вЂ” =е! ах вр Общее решение: щ ~ ~ ~ ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с ? ~ ч ~ ~ ~ ~ ~ с ~ ~ ~ 1 — — 1п ! Ф(бх — а р)— 1 Г ! «л +в,!1 е' с аЛ+ Ь11 — (Ьх — ор) — — 1п <Ф(бх — ар) — — х~ прн Л ф — ЬГГ,Га, прн Л = — Ь131а. 6. ах +бр =е' а "ар Общее решение: ш = — — 1и!Ф(!х! !и) ') — — 1п!х!]. с а 7. В,, а,1 чл..,.дв! ах +ор =е ! Г с 1 еяр(сЛх Ф сггхв1 и Общее решение: щ = — — 1!! гФ(и) — — ' ( ' " гГх~, где и = х~р ".
с в, х При интегрировании и рассматривается как параметр. ар — +Ьх — = е а Ь атп .! Ч.л.ини! ах ар Общесрешемме: ю= — — 1п~Ф(бх — ар ) — ( ехр(сЛх-1- — ',1Ьхг — гг) . 1, где и = Ьхг — ор". При интегрировании и рассматривается как параметр. „Вог и дпг л ах — +Ьр — = се +а. ах вр Частный случай уравнения !1.3.1.11 при у(ю) = сел -1- а. -В +Ьх д + а* ар Частный случай уравнения 11.3.1.12 ори у(нг) = сели' + а. аог Вгп г1 +Пи! ае — + о — = е дх ар 10. Общее решение: ш = — — !п(Ф(оЛр -1- Ьс ) — — е ' — гли 7 Ьд 12.
ае — + Ье — = е л дгп и дгп ах др Общее решение: ю = — — 1п(Ф(Ь13е — оЛс ) -1- — е 1 Г -л -з, 'т пЛ 13. ае — + бе — = се + Ьл ,„ в р„ а ах вр Частный случай уравнения 11.3.1.14 при у(ггг) = се ' Ч- Гс, .а,, ипа Общее решение: ш = — — 1п!Ф(п) — ( е ' (Ьг3е — и) ' гГх~, где ! Г ! л — ! — — р1д с а и = Ьде ' — аае д". Прн интегрировании и рассматривается как параметр. Гб Р В' Ь "В'" Г+ + 1 ае + е =е ах др Общее решение: ,ео,ви,в! и Ф(п) —, в 1 е'~в(бас * — и) вп дх пРн 13 ф сГг, Ф(п) — — ев при га = ср, ел где и = Ьг3е ' — ааеч". При интегрировании и рассматривается как параметр.
квязнлннвйныв т явнвння вила г (х, у) —,'„' + д(х, у) — „= Ь(х, у, ю) 16. ае ~ЛЯ вЂ” + Ь вЂ” = е' а* ау Общее решение: ю = — — 1п!Ф(ЬЗе "' + пасла) — — 'у]. с Ь' 17. Ьген' — + Ьгенгв — = асс+ (сает' + светав)е ааю Ои1 л Ох Оу Частный случай уравнения ! 131.18 при ~~(х) = 61е~'", уг(у) = Ьгечг", дг (х) = сг е"*, дг(у) = сгетгя 11.2.3.
Коэффициенты уравнений содержат гиперболические функции 1. а + Ь = ссЬ" (Лю) + я, а ау Частный случай уравнения ! 1.3.1.5 прн т(ю) = с сЬь(Лю) + я. 2. а +Ь =сяЬ (Лю)+я. Ох Оу Частный случай уравнения !1.3.!.5 при 7"(гс) = сяЬЬ(Лю) + я. 3. а — ! Ь - = ссЬ(ю -1- ах -1 )Зу). Ою дте Ох Частный случай уравнения ! 1.3.1.6 при 7(и) = ссЬн.
4. а + Ь = сх" сЬ~(Лю). а ау Частный случай уравнения !1.3.1.7 при Д(х) = сх", д(ю) = сЬЯ(Лю). Ою + Ь Ою Ья(Л Ох Оу Частный случай уравнения !1.3.1.7 при 7(г:) = сх", д(ю) = яЬ~(Лю). ах — + Ьу — = с ЬЬ (Лю) + я. Ою Ою Ох ду Частный случай уравнения ! 1.3.1.9 при 7"(ю) = стЬ~(Лю) Ь в. Ою Ою я 7. ау — + Ьх — = сСЬ (Лтн) + я. ах ау Частный случай уравнения !1.3.1.10 при 7(ю) = сЬЬЬ(Лю) + я. 8.
а сЬ" (Лх) + Ь сЬ (13у) = сЬ" (тиг). а ау Частный случай уравнения 1!.3.1.!5 при 7(х) = псЬ" (Лх), д(у) = Ьс1г (1!у). Ь(ю) = сЬ (ую), 11.2.4. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 1. а + Ь = с1п" (Лю) + я. Ох Оу Частный случай уравнения ! 1.3.1.5 нри 7(н~) = с!и~~ (Лю) + я. 2.
а + Ь = с1п(ю+ ах+ 1Зу). Ою Ою Ох Оу Частный случай уравнения 11.3.!.6 при 7'(и) = с 1п и. 3. а — + Ь вЂ” = сх 1п" (Лю). Ох Оу Частный случай уравнения 11.3.1.7 при Д(х) = сх", д(ю) = 1пв(Лю). П.З Уринненаю еидерхеишие приианиюные функяии Ою а ах — + Ьу — = с 1п (Лю) + в. а ар Частный случай уравнения 11.3.1.9 при «(ю) = с1п" (Лн~) + я. Ою Ою ау +Ьх =с1п (Лю)+и, д др Частный случай уравнения 11.3.1.10 при «(ю) = с!и" (Леи) Ч- я. а 1п" (Лх) + Ь 1п ()Эу) = с 1п" ( ую). Ох ау Частный случай уравнения 1!.3.1.!5 при «(х) = а1п" (Лх), д(у) = 6!и'"(13у), Ь(ю) = с!и ( ую).
11.2.5. Коэффициенты уравнений содержат тригонометрические функции Ою дю а — + Ь вЂ” = с сов (Лю) + в. Вх Оу = ' Частный случай уравнения 11.3.1.5 при «(п~) = с сова(Лю) Ф я. Вти дю а — + Ь вЂ” = с в!и (Лп~) + я Ох. Вр Частный случай уравнения 11.3.1.5 при «(ю) = свшя(Лю) Ф я. а д а — + 6 — = с сов(ие + ах + )ду).
Вх др Частный случай уравнения 11.3.1.6 при «(и) = с сони. Вю аю а + Ь = сх сов (Лю). Ох Ор Частный случай уравнения 11.3.1.7 при «(х) = сх", д(ю) = соа (Лю), а а а — + 6 — = сх шп (Лю). ах ар Частный случай уравнения 11.3.1.7 при «(х) = сх", д(ю) = я!п" (Лю). дю дю ах — + Ьу — = сЕК (Лю) + я.
Ох Ор Частный случай уравнения ! 1319 при «(ю) = сей~(Лю) -1- я. дю дти ау — + Ьх — = сЕК (Лю) + я. д ар Частный случай уравнения 11.3.1.10 прн «(ю) = ссйа(Лю) -1- я. дю дю а соя (Лх) — + Ь сов ((3у) — = соя (тю) + с. ах ду Частный случай уравнения 11.3.!.15 при «(х) = псов'(Лх), д(у) = Ьсов™(«)у), Ь(ю) = соя ( ую) + с. 11.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 11.3.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции одной переменной а а 1. — + а — = «(х)ю+д(х)ю . а вр Обп!се решение: ю = Р(х)Ф(у — пх) -1- (1 — )е)е (х) / е1х, е'(х) = ехр~(1 — Ь) ( «(х) Их~.
р(х) 236 квлзилннейньш ввлвивиив видл Г(х, у) в + д(х у) ь = 6(х у ю) — + а в = Х(х) + д(х)е а а Л ах ау Общее решение: е л = Е(х)Ф(у — ах) — ЛЕ(х)/ ь)х, Е(х) = ехр[ — Л/ Г(х) ах1. Р(х) а — + Ь вЂ” = ею+ [Г (х) + д(у))ю . ах ау Общее решение: аь / Г(х) йх / у(у)ПР 1 — й ю = Еь(х)Ф(бх — ау) + ЬЕ1(х) + аЕс(у) где Ег(х) = ехр[ — (1 — И)х1, Ев(у) = ехр[ — (1 — 6)у~. ьа 1, а — + 6 — = с+ [/(х) + д(у))е дх ду Общее решение: — е = Еь(х)Ф(бх — ау) — ЬЕ~ (х) / — аЕв(у) / аЬ Г Г(х) ах Г у(у) ау Л Еь(х) Ев(у) сЛ Г сЛ где Е1 (х) = схр( — — т), Ев(у) = схр( — — !Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
