В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Вю дю Ви> 4. а — + 6 сов(ГЗу) — + с сов(-Гх) — = рсоа(рх)ю + 9 сов(Лх). Вх ау ах Общее решение: и>= — ехр> — я!п(рх)] Ф(ид,из)+2> сов(Лх)ехр> — — ып(рх)] ГГх), д Гр г 1Г Г' Г р а ар ар тле ид = Ь>Зх — и!и!яес(>Зу) + 18(оу)(, ид = сух — а 1дд!яес(1з) + !8(ух)!. Ви> Вю Ви> 5. а + Ь сов(!Зу) + с сов(тх) = р соя(рх)ю + 9 соя(Лх). дх Ву а Общее решение: и>= — ехр> — я!п(рз>)] (Ф(ид, ид)+ г соз(Лх) ехр> — — сйп(рх)] ГГх(, л Гр .
1Г а ар а!> глс ид = Ьбх — а1п~явс(ау) Ф З8(уу)~, гдд = а ух — сгйп( Гх). а а з 6. Ь, соя"'(Лдх) — + Ьг сов"'(Лгу) — + Ьз сов"'(Лзх) — = а* ау а = аи> + сд сов д (!Здх) + сг сов г (ГЗгу) + сз сов з (ГЗзх). Частный случай уравнения 9,8.2.9 при уг(х) = Ьд соя"'(Лдх), Гг(у) = Ьг сов"'(Лду), Гз(я) = Ьз соя"'(Лзг), 9>(х) = сд соя ' (ГЗ>х), дд(у) = с> совая (бгу), дз(з) = сз соз"'((Ззз). 86 Уравнения, содврмсищие тригонометрические Фзткиии 9.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс — + а — + 6 — = сзд (рЗх)ю+ бед (Лх). а а а а ау а Общее реснсние: ю = Е(х)Ф1у — ох., з — Ьх) + йЕ(х) / 18"'(Лх) „, Е(х) = ехр(с / 18о(1Зх) с1х]. ' Е(х) ' + азд ()Зх) + 6зд (Лх) = ею+ язд (1зх). аз: ау ав Частный случай уравнения 9.8.1.1 при 2(х) = сед" (Вх), д(х) = Ьед~(Лх), 6(х) = с, р(х) = я яд'"( *).
ах + Ьзд" ()Зх) + сзд (Лу) = аю+ язд (1зх). ау аз Частный случай уравнения 9.8.2.1 при Г(х) = Ьед" (Дх), д(у) = сгдн(Лу), 6(х) = 18 (рх). аю аю ачо а — + бзд((Зу) — + сзд(ух) — = рзд(1зх)ю+ 9 Ед(Лх). ах ау аз Общее решение: и; = ~соя(гсх)~ ~~ и~Ф(ныпз) + — ~~соя(рх)~"~ "ед(Лх)с1х], где а я пв = ЬДх — о1п)вш(руу)(, и = сух — о1п)я1п(тз)!. ачо дю дю а — + Ь Ед()Зу) — + с Ед( ~х) — = р Ед(1зх)ю + д Ед(Лх). дх ау Вз Общее решение: ю = ~соя(рх)~ и '"[Ф(пыиз) + — /~соя(рх)~" '"18(Лх)с1х], где п1 = 61Зх — о1п(й1п(сду)(, нз = пуз -1-с1п~соя( ух)), а а а Ьд ед '(Лдх) — + Ьз ед '(Лзу) — + Ьз ед '(Лзх) — = а ау аз = аю + ст ед"'(гЗгх) + сз ед '((Ззу) + сз ед"з ((Ззх). Частный случай уравнения 9 8 2 9 при 21(х) = Ьггдо'(Лвх), Гз(у) = Ьз Едн'(Лзу), уз(з) = Ьз Сд"в(Лзз), д1(х) = с1 18 ч(З1х), дз(у) = сз Сд"з(азу), дз(з) = сз 18 '(Взз).
9.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс 1. + а + Ь = ссзд ()Зх)ю+ асад (Лх). а а а ах ду дз Общее решение: ю = Е(х)Ф(д — ох, з — Ьх)+ЬЕ(х) / сед"'(Лх) ', Е(х) = еяр(с/ садо(дх) с1х]. Е(х) аю а но а — + а сед" ()Зх) — + Ьсед (Лх) — = ею+ вс1д (1вх). а ау аз Частный случай уравнения 9.8.1.1 при 2(х) = остд" (ах), д(х) = Ьсзди(Лх), 6(х) = с, р(х) = яседт(рх). аю а во аю — + Ь сзд" (1Зх) + с сзд (Лу) = аю + я сзд (Нх). ах ду дх Частный случай уравнения 9.8.2.1 при г(х) = Ьсяд'(1Зх), д(у) = созда(Лу), 6(х) = = я сед (рх).
аю аю аю а — -1- Ь сед()Зу) — + с сед(тх) — = р сед(рвх) ю + 9 сед(Лх). ах ау дх Общее решение: ю = )яш(рх))~ "~'(Ф(иы из) + — (1йш(рх)) ""и сед(Лх) с1х], |де о я пг = Ь(1х+ о1п~соя(ау)(, пз = сух -1- о1п~сов(тЯ. 214 линеаньх гнлвнвниа знал уд з,' +.6 в"„' + 7« з, = 91ю -1 дз, «' = Х (х У г) в аю Од» 5. а — + Ьсей(ХЗу) — + ссЕК(тх) — = рсЕК(Х«х)ю+ 9стк(Лх). ах Оу а Общее решение: ю = ~1я1дд(1«т))~ "'(Ф(ид,пд) -1- — Х (в1п(Х«х)) ' "с18(Лх)дХх~, где а,д ид = Ьдх -1-а 1««1сов(оду)(, ид = а тг — с1дд(йп( Хх)~.
6. Ьд ссК д(Лдх) — + Ьг сзК «(Лгу) — + Ьз сти з(Лзх) — = Вх Оу дх = аю + сд сХК '(ХЗдх) + сг сСК"«(ХЗ«у) + сз сСК '(ХЗзх). Частный случай уравнения 9829 при 7д(х) = Ьд с18" д(Лдх), 7«(у) = Ьг с18«а(Л«у), Хз(з) =Ьз сей"«(Лзз),дд(г) =с, с18~'(Хчдх),дд(у) =с« стк~«(ХХ у),дз(г) =сзсзклз(дзз). 9.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции — + а — + Ь вЂ” = свш (ХЗх)ю+ Ь сов (Лх). дю Вю дю Вх ду Вг Общее решение: ю=Е(х)Ф(у — ах,г — Ьх)+ЬЕ(х) )' соя (Лх) ', Е(х) =ехр(с / йп"(ХХх)дХх]. Е (х) Ою Вю а 2.
— + а — + Ь вЂ” = сЬК" (ХЗх)ю+ йстК (Лх). Вх ду дх Общее решение: ю = Е(х)Ф(у — ох,г — Ьх) + ЕЕ(х) / сей (Лх), Е(х) = ехр(с / 18" (Зх) дХх~. Е(х) 3. + Ьсов" (ХЗх) + сйп (Лу) = аю+ ясов™м (Хдх). в в, в дх ву в Частный случай уравнения 9.8.2.1 при Х(х) = Ьсоя" (Х)х), д(у) = свдп" (Лу), 6(х) = и сов (рх). 4. — + азк" (ХЗх) — + Ьсек (Лх) — = ею+век (Хдх). дю д«е в ах ау а Частный случай уравнения 9.8.1.1 при Д(х) = дддй" (Ох), д(х) = Бстй" (Лх), 6(х) = с, р(х) =век (у ). 5. Ьд вш '(Лдх) + Ьг сов '(Лгу) — + Ьз вш '(Лзх) дх оу о = аю + сд сов д (1Здх) + сг щп «(ХЗгу) + сз щп з (ХЗзх). Частный случай уравнения 9.8.2.9 при 7д(х) = Ьд ып"'(Лдх), Хг(у) = Ьд соя"'(Лду), Хз(г) =Ьзвдп «(Лзг), дд(х) = с«соя (ХХдх), дд(у) =с«яда «(Згу),дз(г) = сзади ~(ХЗзз).
9.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 9.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус в в а 1. — + а — + Ь вЂ” = сигсвдп (ХЗх)ю+ Хсагсв!п (Лх). дх ду дх Общее решение: ди=Е(х)Ф(У вЂ” пх, г — Хдх)+Х«Е(х)) вгсйп'"(Лх) ', Е(х) =ехР~с( атсйп" (ддх) дХх). Е(х) ' и 2 Уравнениа сасеряеии!ие обратные триганатетринеские функции О д д — + о агав!п (Лх) — + Ь агсв1п (,Зх) — = сю + я агав!п (!вх). Ох Ор О Частный случай урввиевия 9 8.1.! нри Дх) = а агсыпн(Лх), д(х) = Ьагсв!п'"(!Зх), 6(х) = с, р(х) = нагоя!п" (От).
дю дю дю — + Ь агав!п (Лх) — + с агсяш (,Зу) — = ою + я агсяш (гвх). Ох др О Частный случай уравнения 9.8.2.1 при !"(х) = Ьагсшп (Лх), д(р) = сигов!п (ОУ) 6(х) = я атея!п" (рх). дю дю дю — + оагсвш (Лх) — + Ьагся!п (Ьвх) — = ею+ вагон!п (!вх). дх Ор дх Частный случай уравнения 9.8.2.3 при 71(х) = 1, 7я(х) = и агсяшн(Лх), ря(х) = 1, Гв(х) = с, уя(х) = нагоя!п" (рх), д(у) = 1, 6(х) = Ьагсвш (3-). дю О Ою — + и агав!п (Лу) — + 6 ахея!п (Зх) — = сю + я агсвш" (!вх). дх Ор Вх Частный случай уравнения 9 8 2 3 при ув (х) = Ях) = 1, гя(х) = 6 агсгйпн'(мох), ув(х) = с, Уя(х) = нагоя!п (рх), д(у) = и агсшпн(Лу), 6(х) = 1. 9.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус Ою Ою Ою + о + Ь = с атосов (1Зх)ю+ 6агссоя (Лх).
д Вр О Общее решение: и)кеЕ(х)Ф(у — ахня — Ьх)-~-ЬЕ(х)(атосов (Лх), Е(х)евегср(с( атосов"(Зх)г!х~. Е(х) О Ою дю — + Ьагссов (Лх) — + сагссов ()Зу) — = ото+ насосов" (гвх). дх вр дх Частный случай уравнения 9.8.2.! при ((х) = Ьатссоя~(Лх), д(у) = сатссойн'(Зу), 6(х) = я атосов (рх). о дю — + о агссов (Лх) Ох ду + Ьагссов ((Зх) — = ею+ магогов (!вх).
дх 9.8.2.3 при 7г(х) = 1, 7г(х) = а,агссовв(Лх), 7я(х) = 1, (рх), д(р) = 1, 6(х) = Ь атссоят фх). Частный случай уравнения 7в(х) = с, тя(х) = я агссоя' Ою О дю + оагссов (Лу) + Ь атосов™(!Зх) = ею+ яагссов (!вх). дх Ор О Частный случай уравнения 9823 при 11 (х) = га(х) = 1, гя(х) = 6 агссовт (Зх), 7в (х) = с, уя(х) = яагссоян(рх), д(р) = а вгссовн(ЛУ), 6(я) = 1. 9.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс д ΠΠ— + о — + Ь вЂ” = саге!К (13х)ю+ ЬагсСК (Лх). Вх Ор д Общее решение: и =Е(х) Ф(р-ах, х — Ьх)+ЬЕ(х) ~атсяй'"(Лх), Е(х) = екр ~с ~ атстйн(дх) г2х1 .
Е(х) дю дю дю + о атосов (Лх) + Ьагссов™()дх) = ею + яагссов (гвх). дх др дх Частный случай уравнения 9.8.1.1 при Г(х) = аагссоян(Лх), д(х) = Ьагссоят(дх), 6(х) = с, р(х) = яагссов'(рх). линеяныв юлвнвния виля )'г — „,' + Уз в",' + Уз в, = у~ю+ Уо, Л = Л(х У г) вг 216 а а а — + аагсей (Лх) — + Ьагсей (!3х) — = ею+ яагсей" (!гх). ах ду д Частный случай уравнения 9 8 !. ! при Д(х) = а агсткв(Лх), д(х) = 6 агсзй"'(13х), 6(х) = с, р(х) = яагс18" (рх).
дю в дю дю — + Ь атеей (Лх) — + с агой (!3у) — = аю+ яагсЕК (,ых). дх ву дх Частный случай уравнения 9.8.2.! при !'(х) = Ьагсййя(Лх), д(у) = сагс18 (гду)* !2(х) = я вгс!8 (!гх). дю я дю дю дх + аагсеК (Лх) + Ьагсзй™(Щ = ею+ яагстй (ггх). ду вх Частный случай уравнения 9 8..3 при уг(х) = 1, гз(х) = а агсзйл(Лх), уз(х) = 1, !4(х) = с, уз(х) = яагсей" (рх), д(у) = 1, Ь(з) = Ь атеей (гдз). дю вю а а* + аагсЕК (Лу) + Ьагстй™(13х) = ею+ яагсЕК (!гх).
Оу о Частный случай уравнения 9 8 2 3 при !"г (х) = !"з(х) = 1, )з(х) = Ь агстй (гдх), гг(х) = с, Гз(х) = Яагс18" (Рх), д(У) = л, агс!8" (ЛУ), й(г) = 1. 9.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс О О д 1. + а + Ь = сагссей ()Зх)ю+ йагссСК (Лх). дх ду дх Общее решение: гл=Е(х)Ф(у — ах,з — Ьг)+ЙЕ(г) /агсстк (Лх), Е(х)=ехр~с/агсс!8" (!Зх) г)х~. Е(х) ' дю и Ою дю + а агссек (Лх) + Ь агссЕК (13х) = сю + я агссЕК (ггх). дх ду дв Частный случай уравнения 9.8.1.! при У(х) = авгсстйв(Лх), д(х) = Ьагсстй (Вх), 6(х) = с, р(х! = яагсстй" (Нх). д Оиг Ою + Ь агссСК (Лх) + с агссЕК (13у) = аю + я агссЕК (!гх).
дх Оу дх Частный случай уравнения 9.8.2.1 при У(х) = Ьагсстйл(Лх), д(у) = сагсстк"'(гуу), Ь(х) = я атсс18" (рх). а о а + аагссЕК (Лх) + Ьагссей ()3х) = ею+ яагссСК (!гх). дх ау Ох Часзный случай уравнения 9.8.2.3 при уг(х) = 1, Уг(х) = аагссзк~(Лх), Уз(х) = 1, тг(х) = с, лз(х) = вассе!8" (рх), д(у) = 1, 6(г) = Ьагсстк'"((3 ). аю а Оиг + а агссЕК (Лу) + Ь агссЕК (!3х) = сю + я агссСК (!гх).
ах ау Ох Частный случай уравнения 9 8 2 3 при уг(х) = )г(х) = 1, уз(х) = 6 аггеей '(Ух), гг(х) = с, уз(х) = я вгсс!8"(рх), д(у) = а агсс!8"(Лу), 6(з) = 1. 9.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 9.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х дю а аю 1. — + У(х) — + д(х) — = Ь(х)ю+ р(х). ах ду дя Общее реп~ение: и~ = ехр(/Ь(х)г!х)'(Ф(иг,из) Ф / р(х)ехр( — / 6(х) г!х) г!х~, гне иг = у — / Д(х) гХх, иг = — / д(х) г!х. 217 88 Уроененпа содержащие пропзеольные функппп — + (у + аЩх) — + (х + 6) д(х) — = Ь(х)ю + р(х). дх ду д Общее решение: ю = схр( / 6(х) пх) [Ф(иы ия) + / р(х) ехр( — / 6(х) ь1х) Их~, где иь = 1п]у+ о] — / Э"(х) с1х, ия = 1п]я+ Ь] — / д(х) с(х.
— + (ау + У(х)] — + (Ьх + д(х)] — = Ь(х)ю+ р(х). дх ду дх Общее реьпение: ю = ехр(/ 6(х) пх) [Ф(иы и ) Ф ~ р(х) ехр( — / 6(а) с1г) йх], гдс иь = уе "* — / Д(х)е '" пх, пя = е ' — / д(х)е н с1х. + У(~)у „ + д(х)х д, — Ь(х) + 1(х) Общее решение: ю = ехр( /6(х) ь1х) [Ф(иы и ) -~- /р(х) ехр( — / 6(х) дх) с1х~), глс и~ = У вЂ” 1 Х(х)сех, ия = е — / д(х)ах. 1 — 6 у 1 — еп + ггееь(х)у+ пег(х)у ] + ]де (х)х + да(х)х ] = Ьь(х)ю + Ья(х). Частный случай уравнения 9 8.3.5 при дь(х, у) = дь(х), дя(х, у) = дя(х)* Ьа(х у я) = = Ьь(х), Ья(х,у, я) = Ьь(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
