В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 39
Текст из файла (страница 39)
208 пинзйныв шлвнвнна вилл )'г+ +.6 в"„' + Го е", = д1ю-! до, .Г = г' (х У г) 3. — + авЬ (,Зх) — + ЬвЬ (Лх) — = ею+ ввЬ (рх). дю дю агл ах ау ах Часпгый случай уравнения 9.8.!.! при Г(х) = авЬ" (дх), д(х) = ЬвЬл(Лх), 6(х) = с, !г(х) = взЬ (рх). 4. — + ЬвЬ" (1Зх) — + свЬ (Лу) — = аю+ ввЬ™(рх). о „а я вгю ах ву Вх Частный случай уравнения 9.8.2.! прн г(х) = ЬвЬ" (Зх), д(у) =.
свЬ~ (Лу), 6(х) = в вЬ"'(рх). = ию + с, вЬлч ()Зз х) + сг вЬ" г ()Злу) + сз вЬ" ()Зз х). Частный случай уравнения 9 8 2 9 при гг(х) = !ь вЬ"'(Л~х), )г(у) = Ьг вЬ"г(Лгу), Ь(з) = Ьз вЬ з (Лзз), дг (х) = сг вЬЬ (!Згх), дг(у) = сг чЬлг (РЗгу), дз(в) = сз в1л~з (1Ззг). 9.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус Общее решению ю = Е(х)Ф(у — ах, з — бх) + ЬЕ(х) / сЬ"'(Лх), Е(х) = сир [с / сЬ" (Вх) о!х].
Е(х) ' а + Ь + ссЬ(,Зх) = (рсЬ(Лх) + 9|ю+ йсЬ( ух), в ву вх Общее решение: и [рзЬ(Лх) + дЛх ] ( Г [ рза(Лх) -!. 9Лх ] тле ил = Ьх — пу, иг = сЗх — 2а асс!8(11г— аю аю а — + асЬ ()Зх) — + ЬсЬ (Лх) — = ею+ всЬ (рх). ах ау а Частный случай ураннсния 9.8.1.! прн Г(х) = асЬ" (Зх), д(х) = ЬсЬ" (Лт), 6(х) = с, р(х) = в сЬ" (рх). 4. + ЬсЬ" (Дх) + ссЬя(ЛУ) = аю+ всЬ (рх). о. ау ах Частный случай уравнения 9.8.2.! при Д(х) = ЬсЬ"'(Зх), д(у) = ссЬл(Лу), 6(х) = в сЬ (рх). вю в а 5.
Ьт сЬ '(Лтх) — + Ьг сЬ"'(Лгу) — + Ьз сЬ з(Лзх) — = вх ау в = аю + ст сЬ т ()Зтх) + сг сЬ г (!Згу) + сз сЬ з (!Ззх). Частный случай уравнения 9829 при гг(х) = Ьгей"'(Лгх), гг(у) = ЬгсЬ"г(Лгу), ,(з(х) = Ьз сЬ"з(Лзз), дг(х) = сг сЬл'(Дх), дг(У) = сг сЬлг((Згу), дз(х) = сз сЬлз(бзг). 9.4хй Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс в о а 1. — + а — + 6 — = стЬ (1Зх)ю+ ЬСЬ (Лх).
вх ву ах Общее решение: и = Е(х)Ф(У вЂ” нх, з — Ьх) + lсЕ(х) / тЬ"'(Лх), Е(х) = сир[с / !Ь" (!Зх) с!х]. ' Е(,)' 209 й4. Уравнннаа северо~гон!ив ваоврболнчвокнв функянн 2. а — + 6 — + СЗЬ(!Зх) — = (РЗЬ(Лх) + 9)ю+ ЙЗЬ(тх). а а а ах ар а Общее решение: ю = — еа*~' сйа~' (Лх) [Ф(иы из) + / е а*~" с1з н~' (Лх) ЗЬ( Гх) г!х1, где из = Ьх — ау, из = с!Зх — а !п~вЬ(32)~.
3. — + азЬ (!зх) — + 61Ь (Лх) — = ею+ яйЬ (4зх). дю дю дю а* ду дз Частный случай уравнения 9.8.!.1 при Д(х) = аЗЬ" (г4х), д(х) = ЬЗЬ" (Лх), 6(х) = с, р(х) = в!Ь"'(рх). 4. — + ЬзЬ (!3х) — + сзЬ (Лу) — = аю+ в1Ь (4зх). дю Ою Ою ах Ор а Частный случай уравнения 9.8.2.! при Г(х) = 61Ь (дз), д(р) = СЗЬ (Лу)* 6(х) = = в!Ь (ух). 5. 6, ЗЬ"'(Лзх) — + 62 ЗЬ"'(Лзу) — + 6з ЗЬ"'(Лзх)— ах ар ах = аю + сз ЗЬ"' (!Уз х) + сз ЗЬ в (!32у) + сз ЗЬ в (!32х).
Частный случай уравнения 9.8.2.9 при зз(х) = Ьз зЬ"'(Лзх), 42(у) = 62 зЬ"2(Лзр), гз(з) = 6з ЗЬ з (Лзз), дз(х) = сз зЬ" (бзх), дз(у) = сз !Ь" (азу), дз(з) = сз 11зяз Изз). 9.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс + а + 6 = ССЗЬ (13х)ю+ ЬСЗЬ (Лх). Общее решение: и~ = Е(х)Ф(у — ах, - — Ьх)+ИЕ(х) / сз!з™(Лх),, Е(х) = екр[с / сЕЬв((1х) г(х~.
р'(х'! ' 2. а — + 6 — + ссеЬ(!32) — = (рсеЬ(Лх) + 9)ю + гесзЬ(тх). Ою Ою Ою Ох Ор дх Общее решение: ю = — е~"~" чЬнщ (Лх)[Ф(иы из) Ч- / е "р' вЬ н~ ~(Лх) СЗЬ(ух) Ох], а где и, = Ьх — ау, из = гзух — а !зз~сЬ(32)з) 3. + асЗЬ (Дх) + 6СЗЬ~(Лх) = стп+ всЗЬ™(!зх). дх др Ох Частный случай уравнения 9.8.1.! при Г'(х) = ос!Ь" (ах), д(х) = ЬсЗЬа(Лх), 6(х) = с, р(х) = ясзЬ (ра). 4. + ЬсеЬ (!3х) + ссзЬ"(Лу) = аю+ всзЬ (!зх). дх др а Частный случай уравнения 9.8.2.! при з"(х) = Ьс!Ь" (!)х), д(у) = ссЗЬЯ(Лу), 6(х) = всЗЬы(рх). 5. 62 сЗЬ '(Лзх) — + 62 СЗЬ з(Лзу) — + 6з сЗЬ «(Лзх) — = дю дю з ах ау Ох = аю + сз сЗЬ (Здзх) + с2 сЗЬ !Здзу) + сз СЗЬ (Здзх).
Частный случай уравнения 9 8 2 9 при уз(х) = 6з сзЬ"' (Лзх), гз(р) = 62 с!Ь"'(Лзр), уз(з) =Ьз сзь"з(лзв), дз(х) =аз сзь '(!ззх),дз(р) =аз сзь з(ртзр),дз(з) =гз сзь '(!ззз). 14 В. Ф. Звании, А Д Полинин динетдныв Ядлвнениа зндл Уд з + (з в"' + Ь е. = 91ю -1 до, У = Л(х У з) 210 ю = Е(х)Ф(у — ех, з — ух) + 6Е(ад) 21 с1д"'(Лх) ах ' Е(х) ' Е(х) = ея1д[с /в6" (Вх) с(х]. — + а — + Ь вЂ” = сеЬ (,Зх)ю+ йс!Ь (Лх).
дю Ою дю дх Оу Ох Общее решение: 2. ю =Е(х)Ф(у — ах,з — Ьх)+6Е(х) / ссЬ"'(Лх), Е(х) =ехр[с / е)д"(Вх)д(х]. Е(х) Ою + ЬсЬ ()Зх) +свЬ (Лу) = аю+ всЬ (!дх). Ою я Ою Ох ор о Частный случай уравнения 9 8 2.1 при 1(х) = Ьсй" ()1х), д(у) = се!дл(Лу), 6(х) = = всЬ'"(рх). + аЕЬ ()Зх) + ЬсЕЬ"(Лх) = ею+ вЕЬ™(!лх). Ох Ор Оя Частный случай уравнения 9.8.1.1 при т(х) = атЬ" (1Вх), 9(х) = бсЕЬЯ(Лх), 6(х) = с, р(х) = чсЬ'п(рх). = аю+ сд сЬлп()Здх) + ся вЬ"'()Зяу) + сз вЬ"з()Ззх). Частный случай уравнения 9 8.2 9 при уд(х) = Ьд зЬ"'(Лдх), уя(у) = Ья сЬ"'(Лду), Хз(з) = Ьз яЬ"'(Лзяй дд(х) = с1 сЬ '(Вдх), дл(у) = сз яЬ д(Взу), дз( ) = го вЬ '(Взз). 9.5.
Уравнения, содержащие логарифмические функции 9.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции — + а — + 6 — = с1п" (!Зх)ю+ 61п (Лх). о о о Ох ду Оя Общее решение: ах ю = Е(х!Ф(у — ахз — бх) ЧЬЕ(х) / 1п""(Лх) —,', Е(х) = ехр[с21 1п" (Вх) с(х].
Е(х) — + а1п ()Зх) + Ь1п (Лх) = ею+ з1п (!лх). о Ою о Ох Оу Оя Частный случай уравнения 9.8.1.1 прн г(х) = а1п" (Вх), д(х) = Ып" (Лх), 6(х) = с, р(х) = в1п"'(рх). ою Оде о ох + 61п" ()Зх) + с1п (Лу) = аю+ з 1п (!дх). оу ох Частный случай уравнения 9 8 2.1 прн Дх) = Ып" ((Вх), д(у) = с!пл(Лу), 6(х) = в 1п"' (рх). о Ою Ою а!п(пх) — + Ь1п(1Зу) — + с!п(тх) — = рю+ 91п(Лх).
о ор Ох Общее решение: п~ = — ехр[ —" / ' ])!Ф(иыиз) + / ехр[ — ! / х ] Ох), где ид =Ь -/ — а, из=с — а 1п(пх) .1 1п(ду) .! !п(а:о) 2 1п( ~г) 9.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции Общее решение: 211 9.о Уравнения, еоо1ергеитие тригонометрические ддткиии 9.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции дю Ою дю 1. — + а — + Ь вЂ” = с1п (1Зх)ю+ Ьх Ох ду дх Обднее решение: то = Е(х)Ф(у — ах, з — Ьд) + )еЕ(х) д!х, Е(х) = енр'(с(' 1дд (дх) о)х1.
„1 Е(х) Частный случай уравнения 9 8.1.1 при Д(х) = ах", д(х) = Ь 1п" (Лх), Ь(х) = с, р(х) = зх"'. + Ь!п 1!Зх) + су — аю + и!и™(Лх). ох оу о Частный случай уравнения 9.8.2. ! при 1(х) = Ь)ддн(дх), д(у) = сун, 1д(х) = и!по'(Лх). Одо в дю Ьд 1п '(Лдх) — + Ьг 1п '(Лгу) — + Ьз 1п '(Лзх) — = дх оу Ох = аю + сдхдн + саун' + сзх"'. Частный случай уравнения 9.8.2.9 нри Уд(т) = Ьд1пн'(Лдх), дг(у) = Ьч 1п '(Лчу), рз(з) = Ьз 1инз(Лчз), дд(х) = едхн', дд(у) = саун', дз(з) = сззн'". Одо в д о ах(1п х) + Ьу(1п у) + сх(1п х) = Ь(!их)'ю+ р!п(дгх).
Ох ву о Введем обозначение: (1пх) ' " (1пу)д ™ (1пх)' " (1пз) нд = из = п(н — 1) Ь(т — 1) а(п — 1) ед — !) 1'. Общее решение нри з+ 1 р и: 2'. Общее решение при и Ф 1 = и: — т р Г !п(их) до = (!их) г(Ф(ид, ид) + — / (1пх) д)х). 5. 9.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 9.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус вю в о 1. — + а — + Ь вЂ” = сзш (!Зх)ю+ !си(и (Лх). Ох Оу дх Общее решение: ш = Е(х)Ф(у — ах, з — Ьх) -~-)оЕ(х) ( шпт(Лх) ., Е(х) кн ехр(с ( зш" (1Зх) е(х~. Е(х) ' о . о .
и о 2. + аз!п (!Зх) + Ьздп (Лх) = ею+ зз!п™(рдх), дх оу Ох Частный случай уравнения 9.8.!.! при д(х) = а шин(Дх), д(т) = Ьшпд(Лх), Ь(х) = с, р(х) = зшп (рх). в в з 5. Ьд 1п д(Лдх) — + Ьг 1п г(Лгу) — + Ьз 1п з(Лзх)— Вх ву о = аю + сд 1п"' ()Зд х) + сг 1п"' ()Згу) + сз 1п"з ()Ззх). Частный случай уравнения 9.8.2.9 при уд(х) = Ьд1п"'(Лдх), 1г(у) = Ьд 1п"г(Лгу), уз(з) = Ьз 1пеа(Лзз), дд(х) = сд!п ' (Дх), дг(у) = сз 1п '())гу), дз(з) = сз!п '(дзз). 212 Линааныа знлвнанна ззлл Уд д„' +.6 з"„+Уз з", = д>ю+до, Л = 2 (х У з) а .„ а ., а — + Ьяш" (ГЗх) — + сшп (Лу) — = ага+ вши (рх).
ах Ву аз Частный случай уравнения 9.8.2.! при Г(х) = Ьвдп (>Зх), д(д) = св1п~(Л>у>), 6(х) = = в вш"'(рх). Вю . Ою . Вю а — + Ьвш(Зу) — + свш(ух) — = рвш(рх)ю+ ГГвш(Лх). а ду Вх Общее решение: и: = — внр г — — сов(рх)] '( Ф(и>, иг) Ф ~ шп(Лх) снр ! — соа(рх)] сГх (, Г'. Гр глс ид = Ь(>х — а 1п !8 — '~, иг = а уг Ф с соя(">х). ду 2 аю .
Ви> . Вю а — + Ь яш(,Зу) — + с шп( Гх) — = р вт(рх)ю + 9 шп(Лх). дх ау Вх Общее решение: и:= — ехрг — — соя(рх)]г Ф(ид, иг)-Г > шп(Лх) ехр> — сов(рх)] г(х), д Г р 1Г Г р а ар ар глс и> = ЬГГх — а 1п !8 — '~, ид = с1х. — а 1п !8 — . 2 2 бд в)п ' (Лдх) — + Ьг вш з (Лгу) — + Ьз вш з (Лях)— Вх Ву ах = аю+ сд вш (ГЗ>х) + сг шп ~(ГЗгу) + сзади зРзх). Частный случай уравнения 9 8 2 9 при 21 (х) = Ьг шп"'(Лдх), уг(гу) = Ьг шп '(Лду), >з(з) = Ьз яш"з(Лзл), дг(х) = сд шп д(>З>х), дд(гд) = с> шп и( Згу), дз(а) = сз в1п"з(>Ззз).
3. 9.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус Вю дю Вю 1. + а + Ь = с соя" ()Зх)ю + Ь сов'"(Лх). дх Ву Вх Общее ращения; ю = Е(х)Ф(у — ах,з — Ьх)Ч->Е(х) / соя (Лх), Е(х) =ехр(с / соз (Зх) >1х]. Е()' Вгн Вго Вю 2. + асов" (ГЗх) + бсоя (Лх) = сю -1- ясов (рх). Вх ау Вх Частный случай уравнения 9.8.1.1 прн Д(х) = асано(дх), д(х) = Ь соя> (Лх), Ь(х) = с, р(х) = ясов" (рх). Ви> Вю Ви> 3. — + Ьсов" (>Зх) — + с соя (Лу) — = аю+ ясов (рх). а Ву Вх Частный случай уравнения 9.8,2.1 при 2"(х) = Ьсоя" (Зх), 9(у) = ссов (Лу), 6(х) = = в соч (рх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
