В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 36
Текст из файла (страница 36)
линейные дтдвненддя виль дд д + Уг д ч-да д. = дю, д = д (т,у х) д. др 192 О Оде О 5. ад СК"д(Лдх) — + Ьдск д(!Кду) — + од ЕК '(тдх) — = дх Оу О = [аг СК '(Лгх) + бг СК г(13гУ) + сгбК '( ~гх)]ю. Частный случай уравнения 8.8.2.1 при у(х) = а118"'(Л~х)* д(у) = Ьд СК 'Оду) 6(х) = сд СК~д ( дда), дд(х) = аг 1К"г (Лдх), Ф(у) = Ьд СК г (Вгу), Л(г) = сг 18 г (тг ). 8.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс Вю Ою дю 1. — + а — + Ь вЂ” = с сЕК (,Зх) ю. Вх ду дх Общее решение: ю = Ф(у — ах, " — Ьх) ехр [с / сСК" (Вх) Нх~. 2.
а — + Ь вЂ” + с с!К()3х) — = [6 сеК(Лх) + в ссК(ту)]ю. О О ддд Ох ду Ох Общее решение: ю = [в!дд(Лх) ~ ' ~яп(ту)[ д Ф(ип ид), гне ид = Ьх — ау, ид = грэях Ф а1п)сов(рг)(. дю Ою дю 3. — + асеК (1Вх) — + Ьсек (Лх) — = ссЕК (ух)ю. дх ду О Частный случай уравнения 8.8.1.1 при у(х) = а сдК" (Вх), д(х) = боска(Лх), бд(х) = О, 6,(х) = О, бе(х) = ссгК (тх).
4. а — + Ьсск((гу) — + ссеК(Лх) — = 6сск(тх)ю. дю дю дю Вх ду дх Общее решение: ид = Ф(ид, ид) ехрч — уд с18(тх -1- — [!и!а1п(ЛЬ)! — 1п !вш(Лх)!]) В!), 1.А тле ид = ЬВх Ф а1п!сов(ду)[, иг = аЛа — с1п!в1п(Лх)[. 5. ад сСК"'(Лдх) — + Ьд сеК '()ВдУ) — + сд сЕК '(тдх)— дх ду ' О = [аг сЬК г(Лгх) + Ьг ссК г()Згу) + сг сЬК г(тгх)]ю. Частный случай уравнения 8.8.2,1 при 1"(х) = а1 сскщ (Лдх), д(у) = Ь1 ссК""(1дду), 6(х) = гл сСК'(тдх), бд(х) = аг с!К"г(Лгх), Ф(у) = бас!К"'гРгу), Х(х) = од сгК (тга). 8.6.6. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 1.
— + авш (Лх) — +Ьсов (ГВх) — = сяп (тх)ю. дю . Ою дю О* Оу О Частный случай уравнения 8.8.1.1 нрн У(х) = а яп" (Лх), д(х) = Ь сов"'(Вх), бг(х) = О, бд(х) = О, бе(х) = свш" (тх). 2. — + асов" (Лх) — + Ьяп ()Зу) — = [асов (ту) + ваш (Нх)]ю. дю дю . Ою д дх ду дх Частный случай уравнения 8.83.5 при уд(х) = О, гг(х) = асов" (Лх), д1 (х,у) = О, дг(х у) = бвш'"(дВУ), 6(х. у а) = с сов (ту) + ва1п(где).
3. — + асов" (Лх) — + ЬСК (13у) — = [ссов (уу) + вСК (1дх)]ю. дю О Ою дх Оу Ох Частный случай уравнения 8.8.3.5 при Уд(х) = О, Уд(х) = асов" (Лх), дд(х,у) = О, дг (х, у) = бсК (Ву), 6(х, у, а) = с сов~ (ту) + в 18 (рх). 198 о 7 уравнения еоидряеидвие ойоаюные аригонохеюринеекие Чдумкции в а ао ад в!п д (Лдх) — -1- Ьд сов '(!Зду) — + сд сов д (тдх) — = Ох ар а = (аг соя г (Лгх) + Ьг вдп г (!Згу) + сг сов г (тих)] ю. Частный случай уравнения 8.8.2.! при Д(х) = ад яп '(Лдх), д(у) = Ьд саван(аду), 6(з) = сд соч"' (тдг), ио(х) = аг еови'(Л х), й(у) = Ьг япн" (агу), Л(з) = сг совд'(тгх). Ою д Ою Ою ад СК д(Лдх) + Ьд сад ~()Зду) + сд с!К ( тдх) в ар Ох = (аг сСК г(Лгх) + Ьг СК г(!Згу) + сг сСК г( угх)]ю.
Частный случай уравнения 8.8.2.1 нри Д(х) = ад тй"д(Лдх), д(у) = Ьд стй""(Оду), 6(з) = сд стй"'(чд ), до(х) = а с!8'"г(Лгх), ег(у) = 6 д8 '(дгу), Л(з) = сг с!к 4(тдз). 8.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 8.7.1. Коэффициенты уравнений содержат ерксинус а а а 1. — + а — + 6 — = сагся1п (!Зх)ю. в вр а Общсс рещение: ю = Ф(у — ах, з — Ьх) сир(с / атсв!п (дх) т2х~. в а в 2. ад — +аг — +аз — = (Ьд агсвш(Лдх)+Ьг агся1п(Лгу)+Ьз агсв1п(Лзх)]ю.
ах ар в Частный случай уравнения 8.8.2.! при Д(х) = ад, д(у) = ая 6(з) = аз, 'Р(х) = Ьд атсяп(Лдх), Е(у) = Ьг атсяп(Лду), Л(з) = Ьз атсяп(Лзг). Вид Ою а 3. а — + 6 — + сагсяп" (Лх) агсяп (,Зх) — = яагсяп (тх)ю. дх ду дх Частный случай уравнения 8.8.2.3 при 74(х) = а, 7г(х) = Ь, 7з(х) = сатсяп" (Лх), 74(х) = затсзш (ух), д(у) = 1, 6(з) = атсздп~(аз). в в в 4. а + Ь + с агсяш (Лх) агся!и™ ()Зу) агсвш (тх) = вю. Ох Ор ах Частный случай уравнения 8.83.2 при Д(х,у) = сатсяпо(Лх)атсяпа(!Зу), д(з) = атсяп (чз), 6(х, у) = в. аю дю Оид 5.
а — + Ьагснп (Лх) — + сагсяп (Зх) — = яагсвш (ух)ид. ах. Ор ах Частный случай уравнения 8.8.2.3 прн 74(х) = а, 7д(х) = Ьатсяш" (Лх)„7з(х) = 1, 74(х) = ватсяп'"(тх), д(у) = 1, 6(я) = сатсяп (Зе). а в Ою б. а + Ьагсяп (Лу) + сагсяп (,Зх) = вю. Ох ар Оя Частный случай уравнения 8 8 2. ! при Д(х) = а, д(у) = Ь атсяп (Лу), 6(з) = с атсяп" (Зз), у(х) = в, я(у) = Л(з) = О.
8.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус 1. дю аю дю + а + Ь = с атосов ()Зх)ю. ах ду дх Общее рещение: ю = Ф(у — ах, - — Ьх) ехр(с / атссоя (Вх) д!х~. а а ао ад — +аг — +аз — = [Ьд агссов(Лдх)+Ьг атосов(Лгу)+6з агссов(Лзх)]ю. ах ар ах Частный случай уравнения 8.8.2.! при Д(х) = ад, д(у) = аь 74(г) = аз, Зо(х) = Ьд атссов(Л~х), й(у) = Ьг атосов(Лду), к(з) = Ьз атссоз(Лзз).
ДЗ В. Ф. Вавпев, А Д Появляя линейные г звнения виль 7д в ' + ~з л ! 7з в,' = дп', Л = У (т,у з) д. др 194 а а а а — + Ь вЂ” + сагссоя (Лх) атосов (13х) — = в атосов (тх)ю ах ар дх Частный случай уравнения 8.8.2.3 при 7д(х) = а, Ях) = Ь, 7з(х) = сагссов'(Лх), 74(х) = затесов"'(чх), д(у) = 1, Ь(з) = вхссовд(Зз). 3. аю апд аю а + Ь + с атосов (Лх) агссоя™(!Зу) агссоя (тх) = вю. дх ау а Частный случай уравнения 8.8.3.2 при Д(х, у) = сагссови(Лх) вгссоз' (Зу), д(я) = = агссовд ( уз), 6(х, у) =- в. аю дю дю а + Ьагссов (Лх) + сагссов (!Зх) = вагссов (ух)ю.
ах ду дх Частный случай уравнения 8.8.2.3 при 7д(х) = а, 7з(х) = Ьагссов" (Лх), 7з(х) = 1, 14(х) = вагссоч (тх), д(у) = 1, Ь(е) = сагссоз (Дз). дю а дде а + Ь атосов (Лр) + с атосов ()Зх) = вю. дх ар а Частный случай уравнения 8 8 2. ! при Д(х) = и, д(у) = 6 агссов" (Лу), Ь(з) = с атосов" (Зз), И(х) = в, зз(у) = Л(з) = О. 8.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс аю аю аю 1.
— + а — + 6 — = сагсЕК (Зх)ю. ах ар а Общее решение; ю = Ф(у — ах, з — Ьх) ехр[с / згс!8" (Зх) Ых]. 8.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс 1. а а а + а + Ь = сагссСК" (!Зх)ю. ду Общее решение: и~ = Ф(у — ах, - — Ьх) ехр (с / агсс!8" (Зх) ах~. а а а ад +аз +аз = [Ьд агссзК(Лдх)+Ьз агссеК(Лзу)+Ьз агссзК(Лзх)1ю.
дх др дз Частный случай уравнения 8.8.2.! при Йх) = ад, д(у) = аь !д(з) = пз, Зе(х) = Ьд атсстк(Лдх), зр(у) = Ьз агссек(Лзу), Л(з) = Ьз агсс!8(Лзз). аю дю аю ад — + аз — + аз — = [Ьд агсЕК(Лдх) + Ьз агсЕК(Лгр) + Ьз агсЕК(Лзх)1ю. дх ау дх д!астный случай уравнения 8.8.2.1 при 7(х) = иы д(у) = пд, Й(з) = аз, !з(х) = Ьз агс!8(Лдх), Е(у) = Ьз аде!к(Лзу), Л(з) = Ьз яде!8(Лзз).
дю аде я адл а — + Ь вЂ” + сагс18 (Лх) агсеК (!Зх) — = вагсЕК (тх)ю. а ау дх Частный случай уравнения 8.8.2.3 при 7д(х) = а, Уд(х) = Ь, Ях) = саге!к" (Лх), 74(х) = ваге!к (тх), д(у) = 1, Ь(я) = атс!8 (Зз). аю дю ддя а — + Ь вЂ” + с агсЕК (Лх) агс18 (,Зу) агсЕК (тх) — = ядп. дх ду ая Частный случай уравнения 8.8.3.2 при 7(х,у) = сато!8"(Лх)агс!8"'(Зу)* д(з) = агстк (чз), Ь(х, у) = и. дю дю я аю о + Ьагсзб (Лх) + с агсЕК (!Зх) = в агсЗК™ (тх)ю. дх ду дх Частный случай уравнения 8.8,2.3 при 7д(х) = а, 7з(х) = 6агс!8" (Лх), 7з(х) = 1, 14(х) = загс!к (тх), д(у) = 1, Ь(з) = сагсткв(Зз). 195 8.8 Уравнения, содержащие лрошвольньзе функинн в о а 3.
а — + Ь вЂ” + сагссЬК (Лх) агссгк (13х) — = вагсссб™(тх)ю. а ву а Частный случай уравнения 8.8.2.3 при уз(х) = а, уз(х) = Ь, уз(х) = сагсс18" (Лх), у«(з:) = ватсс18 (тх), д(д) = 1, Ь(з) = агсс18 (13з). Ою Ою Озо 4. а — + Ь вЂ” + с агсссб (Лх) агссСК (13у) агсссб (тх) — = вю. а оу Ох Частный случай уравнения 8.8.3.2 при г(х,у) = сагссгк"(Лх)вгссуй (1)у), д(з) = = агсстк (уз), Ь(х, д) = в. аю аю Взо 5. а + 6 агсс18" (ЛХ) + С агссСК ()3Х) = в агсссб (тХ)Ю. Ох ву дх Частный случай уравнения 8.8.2.3 при тз(х) = а, уз(х) = Ьагсзхб" (Лх), (з(х) = 1, 14(х) = загсс18"'( ух), д(у) = 1, Ь(х) = сагсстйь(дз).
8.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 8.8.1. КоэфФициенты уравнений содержат произвольные функции х и дрозд. 8 8.1 иногда будет указывазнься только гаепнзое решение ю расс нотрнвощюго однородного уравнения и базис аз, из соответствующего «укороченного» уравнения с нулевой оравой заетью. Общее решение расслзалзриваеззого уравнензт дается формулой ю = юФ(из, из), где Ф(иы из) .
- лронзвотьная фгнкния двух переменных. 1 ° + з (х) + д(х) = [Ьз(х)у + Ьз(х)х + ЬО(х)1ю. дю а дю ах ду ая Общее решение: ю = екр[ Нз(х)у и- Нз(х)з -~- Но(х) — (' г(х)Н«(х) ойе — / д(х)Н«(х) дх|Ф(из, из), тле Нь(х) = / Ьь(х) дх (Ь = О, 1, 2); аз = у — / з"(х) дх, и« = з — / д(х)дх.
— + г (х)(у + а) — + д(х)(х + Ь) — = Ь(х)ю. ах ву дя Общее решение: «о =ехр[/ Ь(х) дх) Ф(из. из), из =!п )уха[ — / Дх) дх, из =1п ~з+Ь| — 1д(х) дх. 3. — + (ау+ у(х)) — + (Ьх+д(х)) — = Ь(х)ю. дю дю аю ах ду дх Общее решению зо=ехр[/ Ь(х)Их~)Ф(из,из), из=де '" — ( у(х)е "*дх, и =зе ь' — (д(х)е ь*бх. 4 — +[уз(х)у+5(хЯ вЂ” +[д (х)у+уз(х)1 — = [Ьз(х)у+Ьз(х)х+Ьо(х)1ю.
Ою а Озо Частное решение: екр(ф(х)у+«Ь(х)в+У[1«о(х) зз(з)р(х) дз(х)ф(х)1 ох) р(х) = 1г(х) (' г ' дх, ф(зг) = ( Ьз(х) дх, зт(х) =ехр[ — ( Ь(х) дх~. Р(х) Интегральный базис из, из соответствующего «укороченного» уравнения с нулевой правой частью сы. в 6.8.1.4. зз линваиыс ллвивння вид» (з —, + ~г а, + (з;~",' = дю, у = .Г (х, У с) 1ОО 5 — + [~т (х) у+ )г (х)] — + [дт (х) в+ да (х)] — = [Ьг (х) У+ Ьл (х) в+Ьо (х)] ю. дю д дю Частное решенно: ю = вар(~р(х)у -ь б(х)г+ / [Ьс(х) — гг(х) р(х) — дг(х)гд(х)] г!х '(, 1с(х) = Р(х) /, дх, г'(х) = схр[- / !з (х) г!хз', Х(х) = С(х) / " Г1х, С(х) = схр[ — / дг(х) ГГх~. Ингсгразьный базис иг, иг соответствующего кукорочснпого» уравнении с вулсвой правой частью слг. в 6.8.1.5.
6. — + [уг — а + аЛвЬ(Лх) — а вЬг(Лх)] — + 2" (х) вЬ( Гх) — = д(х)ю. дх ду дх Общее решение: и = ехр[/ д(х) ГГх1Ф(иг, иг), где ! -Гл Е Г 2о ил = / Г(х)Г1х — — 1и 1Ь вЂ”, иг = ' -Ь 21 ЕГ!х, г2= ехр[ — в!г(Лх)~. 2 ' у — ссЦЛх) ./ ' [ Л вЂ” + [Ул(х)у+ Ь(х)у"] — + [дл(х)х+ да(х)х ] — = Ь(х)ю. дх ду 1'. Прн Л ф 1, гн ф 1 преобразование 6 = у, О = а, ИГ = юехр[ — / Ь(х)йтз приводит к уравнению вила 6.8.1.5: дИ' дй' дИ' дх -Ь (1 — Ь) [~г(х)б -Ь уг(х)], -Ь (1 — нл) [дг(х)г! -Ь дг(х)], = О. дб дч 2'. При Ь ~ 1, т = 1 преобразование 6 = у' ", ИГ = юсхр[ — /Ь(х) г!х~ также привалит к уравнению вида 6.8.
!.5. 3'. При Ь = гн = 1 см. уравнение 8.8.1.5. 8. — + [Хз(х)у+ Уг(х)у"] — + [дт(х) + дг(х)е"'] — = Ь(х)ю. дх ду д Преобразование 6 = у , ц = е ', йй = ю ехр[ в / Ь(х)Г(х~ приводит к уравнению вила 6.8.1.5: дИ' дИ' дй' дх + (1 — 1с) [~~(х)с+ уг(х)] — Л[дг(х)ц+ дг(х)] = О. д( дп 9. + [уз(х) + уг(х)е и] + [дл(х) + дг(х)ед ] = Ь(х)ю. Преобразование 6 = е ", г! = е д', й' = нлехр[ — / Ь(х) Г!х~ приводит к уравнению вида 6.8.1.5: дИ' дИ' дй' дх — Л[гг(х)с -~- уг(х)] — д[дг(х)г!-~-дг(х)] = О. д6 дп 197 8 8 Уракнкння, содержащие нрощкогьнык дд нкиии 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных 1 У(х) + д(у) + 6(х) = [у(х) + Ф(у) + Х(х)1ю. Общее решение: ю = ехр[/ 17х+ / й + / 112~ Ф(иь пя) Пх) д(у) 6(2) тле / Дх) ~ д(у) „~ Дх) ,/ 6(ь) 2.
('(х) — + 2 — + д(у) — = [62(х) + 61(у)) ю. д д дно дх ду д Общее решение: но ь. старт-ткиГ тле 3 21(х) + 22(х)д(у) + 29(х)6(х): у4(х)ш. д дто д дх ду дх Общее решение: 4 + [Л(х)у+Ь( )1 + [д (х) +дя(у)1 = [6 (х)+62(у)) Частный случай уравнения 8.8.3.5 при дь(х,д) = дь(х) д (х У) = дя(У) 6(х У 2) = = 61(х) + 62(У).
5. — + [71(х)У+ 72(х)У ~ — + [д1(У)х+ 92(х)2 ~ — = [61(х) + 62(У))™ Частный случай уравнения 8.8.3.6 прп дг(х. У) = дь(у), д1(х, У) = дя(х)* 6(х У 2) = = 61(х) -'; 62(У). 6. — + [~1(х)у+ ря(х)у 1 — + [дт(х) + дя(у)е '1 — = [61(х) + 62(у)~яо. дх ду дх Частный случай уравнения 8 8.3.7 при дь(х, У) = дь(9), д1(х, У) = дя(У)* 6(х У 2) = = 61(х) -> 61(у). + [ут(х) + Ь(х)е""1 д + [д (у) + д (х) "1 д, = [61(х) + 62(УМ Частный случай уравнения 8 8.3.8 при дь(х, У) = дь(У), дя(х,'у) = дк(х). 6(х, У,х) = = 61(х) + 61(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
