В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 33
Текст из файла (страница 33)
у /а, 'о у ' .) Лг ' Вил Ою Ою ах — + Ьу — + У(х, у)д(х) — = Ь(х, у). Ов Оу Ох Общее решение: ил = Ф(ил,ио) -~- — л Ь 6(ху "л л'л, Е) ллг, где Уо ил = х у ', из = Ь ( — I Л '7(ху 'л~е'л"', Е) ллг, уо любое. д(з) -Луо О. ' ['(х)у + '(х)) О + ["(х у) + "(* у)) О. = "(х у") Общее решение: ю = Ф(ил,лло) -Ь (' 6(л,ил,ил) лото о где и, = луГ(х) — / ]з(х)" (х) л]х, т(х) = ехр[ — / ул(х)ллх1, (3) иг = гС(х, ил) — дз(Ь ил)С(цллл) лв, С(х, ил) = ехР[ — дл(Л, ил) лй1.
(2) 'оо о Здесь до(х, ил) = дл(х, у), до(х, ил) = до(х, у), 6(х, ил о из) аа 6(х, у, х) [в этих функциях переменная у лолжна быть выражена через х, ил из равенства (!), а переменная х лолжна быть выражена через х, ил, иг из равенства (2)], хо.—. выбирается произвольно. 7.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных 1. а + Ь + у(х, у) = д(х,у). 177 7.9 Уравнен!!в, оодвржан!ив нро овоавнмв фуннц12о — + [у!(х)у +,)2(х)у~] — + [д!(х, у)х + дз(х, у)х ] — = Ь(х, у, х). 1'. При 6 ~ 1,т ф 1 преобразование б = у' 1,27 = 2' '" приволит к уравнению вила 7.8.3.5: — + (1 — й) [71(х)б + 72(х)] —, + (1 — 'т) [д (х, ЮЧ + дз(хб)] —, = 6(хб г!), дх д( д!! 1 ! где дз(х() = д! (х4 ' —" ), дз(хб) = д (х4 '-и ), 6(х8г!) = 6(х б 1-1, г! ' — "' ). 2'. 11ри й ф 1, т = 1 замена б = у' 1 приводит к уравнению вида 7.8.3.5.
3'. При й = т = 1 см. уравнение 7.8.3.5. + [Хт(х)у+ Уз(х)у ] + [дт(х,у) + да(х,у)е ] = Ь(х,у,х). Преобразование Е = у' и, 27 = е ~" приводит к уравнению вида 7.8.3.5: — + (1 — й) [(1(х)б+ (2(х)] — — Л[91(х,б)!!-1- дг(х,б)] — = 6(х, б, У), дх дб дп 1 1 1 где д! (х, б) = д1 (х, б ' —" ), дз(х, б) ив е дз (х, б 1-1 ), 6(х, б, г!) = 6(х, б '- 1:, — — „' !и 27) . 8 — + [У (х) + Ых)е"и] — + [д!(х, у)х + дз(х, у)х"] — = Ь(х, у,х). Преобразование б = е ~в, 2! = 2' и приводит к уравнению вида 7.8.3.5: — — Л [7; (х)ц + 72(х)] †"' + (1 — 6)[91(х, б)О + д (х, б)] †".
" = 6(х, (, д), дх де дп гле д12(х,б) = дг 2(х, — — ' !пб), 6(х4,2!) = 6(х, — — ' !пб,27 '-н ). д — + [У ( ) + У (: )ека] — + [я*(х,у) +Уз(х1у)е~ ] — = Ь(х, у, ). Преобразование б = е в, и = е Р' приволит к уравнению вида 7.8.3.5: — нв дх дх дх — — Лф(х)б+ (2(х)] — — 3[д1(х, б)21+ д2(х, б)] — = !1(х, б, О), дх д( ' - ' д| где д1 2(хб) = д! 2(х, — 1 !пб), 6(х8 27) = 6(х, — — „' !пб, — з !ад). 1О.
~1(х)дт(у) — +,6(х)дз(у) — + [Ьт(х, У) + 62(х, у)х ] — = Ьз(х,у,х). две ае2 дх д* ду дх Преобразование б = 9! ' дт, 27 = у! — ду приводит к уравнению вида 7.8.3.6 12(х) 91(У) 11(х) 92(У) прн 1, = О, (2 = 1, 6 = О; дш дх — дю — + — + [61(б, У) + 62(6 27) 2 ] — = 62 а по 2) де дп дз 6!(х,у) 62(х,у) — 62(х,у,з) 12(х)91(У! 12(х)91(У! 1 (х)91(У) 11. ~!(х)дг(у) + Ь(х)дз(У) + [Ь!(х,у) + Ьз(х, У)е *1 = Ьз(х,у, х). Преобразование Е = ! - Нх, О = [ ' Ну приводит к уравнению вида 7.8.3.7 Р 72(х) Г д!(9) 7!(х) I 92(у) при 71 = 0,72 = 1, й = О: — + — + [!11(б,!!) + 62((,27)е ] — = Ьз(х,у,х), де дп дз где 61(б, у! = ' *'"', 62(е, О) ив а ' *'", Ьз(е, !1,2) = 12(х)91(27) 2 (х)д1(У) 12(х)91(У) 12 В.
Ф. Зааивв, А Д Полинин 8. Линейные уравнения вида 8.1. Предварительные замечания 8.1.1. Методы решения 8.1.1-1. Характеристическая система. Общее решение. Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка с тремя независимыми переменными вида дю дю дю 71(х, у, х) — -Ь Гз(х, у, я) †, -1- уз(х, у, х) — = д(х, у, х)ю. дх ' ' др ' ' ' дл Если пайлспы три независимых интеграла иг(х у,з,и~) =Сг, и (х у х.ю) =Сз, из(х.,у,х,ю)=Сз (2) характеристической системы дх др дс длл Гг (х, р, а) Гз(х, р, г) Гз(х, р, г) д(х, р, а)гс то общее решение уравнения (1) мозкно записать в виде Ф(иг., из, из) = О, где Ф произвольная функция трех аргументов. (3) 8.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.
Если известен интегральный базис иг = иг (х, у а), из = из(х, у с) соответствующего «укороченногоя однородного уравнения дв ди ди Ь(,у,-') —, +Их:и:з) —. +Б(ачу:з) — =О, дх др дз то переход от х, у, з к новым переменным х,иг,из приводит к линейному уравнению дю уг(х,иг,из) —, = д(х,им из)ц, (5) дт которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение для функции и~ = ю(х) с параметрами иг, из. Коэффициенты уравнения де д получаются из Гг, д в результате подстановки в них новых аргументов. Решая уравнение (5), находим ю = Ф(иг, и ) ехр() ' ' з г(х1. у 7г(х,и„и,) (6) 8.1.1-3.
Структура общего решения. Если известен инте~ральный базис иы из соответствующего кукороченногоя уравнения (4) и ншривиальное час гное решение ю(х, у, х) исхолно1 о однородного уравнения, го общее решение может быть найдено по формуле 1с = юФ(нг, из), (7) где Ф -- производьная функция. Здесь Ф вЂ” произвольная функция, при вычислении обоих интс~рш1ов иг и из рассматриваются как параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения (!) необходимо в формуле (6) после интегрирования перейти к исходным переменным х, у, ш 179 8.2 Уравнения, еодерзюашае отененные фунюзии 8.1.1мй Задача Коши. Залача Коши для линейного однородного уравнения (!) формулируется так же, как длн соот- ветствующего однородного уравнения прн д = 0 (см.
равд. 6.1.2). Ве решение можно получить путем подстановки начальных данных в интегральг (2] характеристической системы (3). 8.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение ди дю дю — Фа — т Ьх— дх ду дг (8) Характеристическая система Нх Ыу дг йю (9) 1 а Ьг схгю имеет три независимых интеграла (о первых двух интегралах подробности см. в примере 1 из раза. 6.1.3): 6 г у — ах = С, г — — х = С, юехр~ — — г ) = С . з 2 з 26 )= '3 Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид Ь 3 Г с з11 ФУ(у — ах,г — — х ,.юехр( — — г )) = О, 2 ' 26 где Ф вЂ” произвольная функция трех аргументов. Разрешая это равенство относительно ю, получим решение в явной форме ю = ехр( — г )Ф(гу — ах„г — — х ), 26 2 где Ф -- произвольная функция двух аргументов. ю = ехр(йе' ).
Инте~рю1ьный базис соотвегствуюшшо «укороченного» уравнения (при Ь = 0) указан в прилюре 2 из равд. 6.1.3. Поэтому обшсс решение уравнения (10) дастся формулой ггз = ехр(йен)Ф(У вЂ” з лх,г — Ьху У вЂ” „абх ). (11) Пример 3. требуется найти решение задачи Коши лля уравнения (! 0) с начальным условием ю = У(у,г) при х =- О. (12) !!оложим в формуяе лля общего решения (! 1) х = 0 и ушсм начальное условие (12). В результате имеем Ф(у, г) = е л Р(у, г). Подшавив эю выражение в (11), получим решение задачи Коши ю =- ехр (Ь(е — 1)) Р'(у — +ахз, г — Ьху -1- з абаз) .
8.2. Уравнения, содержащие степенные функции 8.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, у, х Вю Ою дю 1. а — + Ь вЂ” + с —, = (ах + 1Зу + -Гх + д)ю. дх Ву дх /ггздаузб Общее решение; гг~ = ехр! — х Ь вЂ” у Ь вЂ” 'г Ф вЂ” х)Ф(Ьх — ау, су — Ьг). 2а 26 2с а В О О 2. — + ах — + Ьу — = (ох+ в)из.
Ох Оу Ох Общее решение; ю = ехр( з сх' -1- ах) Ф(из, и ), где (Ьу -1- 1адг) ехр( цгада) при аЬ>0, из =Ьу — аг, из = Ьусое(цггад) х) -Р лху)аЦ ге(зз(,,ДаЬ~ х) прн аЬ ( О. г г Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю дю — -1-ах — -1- Ьу —, =- йе ю. (10) дх ду ' дг Частное решение э гого уравнения ю ишсм в виде функции, зависящей только от переменной х. В результате лнняйныв дглвнення виль (д о, + ~з л + Хд о", = дю, Л = У (х у з) 180 а а аю 3. — + (адх + ао) — + (Ьдх + Ьо) — = (гзх+ ь3у+ Гх + б)ю. ах ау о Частный случай уравнения 8.8.1.! прн Д(х) = адх + ао, д(х) = Ьдх + Ьо, Ьд(х) =,О, Ьд (х) = т, Ьо(х) = ах + Ь. Ого аю аид 4. — + (азу + адх + ао) — + (Ьзу + Ьдх + Ьо) — = (сзу + сдх + сох + в)ю. ах оу ах Частный случай уравнения 8.8.1.4 при Гд(х) = оз, Гз(х) = адх Ф ао, дд(х) = Ьъ дд(х) = Ь1 х -1- Ьо, 6з(х) = сш Ьд (х) = сд, Ьо(х) = сох + в.
аю а адо + (ау+ Ьдх+ Ьо) + (Ьх+ вдх+ во) = (сдх+ со)ид. о ау а Частный случай уравнения 8.8.1.3 при 1(х) = Ьдх -1-Ьо, д(:с) = вдх Ч- во, 6(х) = с:х -1-со. аю аид Одо ах + Ьу — + сх = (сгх+ ГЗу+ ух+ д)ю. ах оу ах = Общее решение: ю = !х~ "еяр( — х+ — 'у Ч- — л)Ф! о, Ь с )х!ь !х("' о о о х — + ах — + Ьу — = сю. ох оу ах Общее решение: ю = ~х~" Ф(ид, ид), где з з !х~ ' (Ьу — ч'абз) при аЬ>0, ад =ЬУ вЂ” ах, из = -д г / — оьз )х~ " ехр( — агссй ) при аЬ ( О. Ьу аЬх + Ь(ау+ Ьх) + а(ау — Ьх) = сю. ою ою дю ах оу а Общее решение: ю = !х!'П' 1Ф(иы ид), где ид =!ау 4-(чгй — 1)Ьз))х! д, ид = (ау — (ъ'2 Ф ЦЬз]!х! Частное решение: ю = ~!х)он" 1Ф(азуз — 2аЬуз — д з ).
Ою аю аид (адх + ао) — + (Ьду + Ьо) — + (сдх + со) — = (ах + )3у + ух + б)ю. ах оу о 1'. Общее решение при а16дс1 ~ 0: Га д т 1 ' а"о Оьо тсоЛ ю = ехр ~ — х -1- — у Ч- — 'я+ — (д — — — ) 1п ~адх + ао~~ х ад Ь~ сд ад ад Ьд сд ! )Ь,у -1- Ь, д ,:Ь, у -!- Ь,!" 1 1 !а, х Ф оо ь' ' с, з Ф со!ь' д 2'.
Общее решение при адЬ! г'-- О, сд = 0: Г а д т з 1 Г аоо дьо1 1 / !Ьду+Ьо~ ь — ьдд ю=еяр~ ~— х+ — у+ — з + — (Ь вЂ” — — )л) Ф~ ь, ~Ьду+Ьо~ "с 'до Ь, ' 2со со ( а, Ьд ) ) ( !одхаао!Ьд 3'. Общее решение при о,д ф О, Ьд = сд — — 0: Г а д з Ч з 1 / аооЛ 1 Ьо „дг ю = вхр! — х-1- у -1- з -1- — (б — — )з1Ф(!ада -1-оо! 'е "', соу — Ьоз). Зьо 2со 4'. Ирн ад = 61 = сд = 0 см.
уравнение 8.2.1.!. 8.2.2. КоэфФициенты уравнений квадратичны по х, у, х Г Л з О з т з З Общее реГпсние: го = ехр( — т, Ф вЂ” 'у' + — з Ф вЂ” х)Ф(Ьх — ау, су — Ьз). Зо. ЗЬ Зс а 8.2 Уравнения, еодеряеаи|ие си|военные функяии 181 — + (а|х + по) — + (Ьих + Ьо) — = (Лх+ Ду+-те+ б)ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
