В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 28
Текст из файла (страница 28)
'г 2 ' у — а ей(Л») ./ ' [ Л вЂ” + [зз(х)у + Уя(х)у"] — + [дт(х)х + дя(х)х ] — = О. дх ду д» 1'. При й ~ 1, гп ф 1 преобразование б = у' ь, г! = »' ' приводит к уравнению вида 6.8.!.5: — + (1 — й) [~1 (х)4+ Гз(х)] — + (1 — т) [д1 (х) »!+ дз(х)] — = О.
дю дю дю дх дб дв 2'. При !с ~ 1, гп = 1 замена 6 = у' ь приводит к уравнению вида 6.8.1.5: (1 й) [зз (х)с ! зз(х)] ! [дг (х) ! д' (х)] = О. дх дс ' ' д» 3'. При й = т = 1 см. уравнение 6.8.1.5. — + [Хз(х)у + Ь(х)у ] — + [дт(х) + дз(х)е"'] — = О. Преобразование С = у' ь, О = е ~ привалит к уравнению вида 6.8.!.5; дю д дю — -!- (1 — й) [з»г(х)6 -!- з»з(х)] — — Л [дг(х) д-!- д»(х)] — = О.
дх д( дп 1О. + [уз(х) + уз(х)е "] + [дз(х) + дз(х)еп'] = О. Преобразование 6 = е Я, г! = е " ' приводит к уравнению вида 6.8.1.5: — »я -„з» дю дю дю — — Л[21(х)Е+ гз(х)] — — (3[дг(х)г!+ д»(х)] — = О. дх дс дв 8.8.2. КоэфФициенты уравнений содержат произвольные функции разных переменных +у +(,+У( )д(у)] О.
Интегральный базис: и1 = —, и» = — — ( х 2(х)д(изх) пх. у» з — 2 х х При интегрировании и~ рассматривается как параметр. б.у урокнендм, еодЗеродеондое нродикозьные йд ннддддн — + [Уд(х)у+ Уг(х)1 — + [дд(у)х+ да(у)1 — = О. Интегральный базис: ид = уГ(х) — / дег(х)Г(г) дх, Г(т) = ехр~ — / гд(х) д(х~, иг = гС(х,ид) — / дг(дид)С(йид) дй, С(х,ид) = ехр~ — / дд(йиз) Я1.
"о к*о Здесь дд (х, из ) ди дд (у), дд(х, ид ) = дд(у) (у выражается через х и из из первого интеграла), хо -- любое. дх + [у — а + аЛ вЬ(Лх) — а яЬ~(Лх)~ + 2(х)д(х) = О. ду дх Интегральный базис: и = / У(х) д(с — / ", ид = + / Ед(х, Е = ехр~ — вЦЛх)~. дю ь дид дю Р(х) — + х — + д(у) — = О. дх ду дх Интегральный базис: и, = / д(у)д(у — — гд д', иг = / — ' — / [(Ь+1)/ д(у)д(ду — (ЬЧ-1)ид~ ' д(дд ли 1 ' д(х) При интегрировании ид рассматривается как параметр. дю дю дю )д(х) — + д(у) — + Ь(х) — = О. дх ду дх Интегральный базис. - =./,":, -/,(ку) ' =1,"(: -./':) Рд(х) —, + Уг(х)д(у) — + Рз(х)Ь(х) — = О.
д дю дю дх ду дх Интегральный базис.' уд(х) у(у) уд(т) й(г) дю дю дю а яЦ1Зу) — + ЬяЬ(тх) — + уд(х)рг(х) вЬ()Зу) — = О. дх ду дх Интегральный базис: 1 ! 1 д' Мг ид = — сЦух) — — сЦО1д), иг = — 1 З'д(х) д(х — / иу Ьд и уд (г) 6.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю дю д 1. а — +Ь вЂ” +2(х,у) — =О дх ду д Интегральный базис: ре г о(г — у) ид = Ьх — иу, иг = Ь- — 1 З" (х+ , е) дМ: уо любое. оо Ь дю дю дю 2.
а — + Ь вЂ” + Р(хд у)д(х) — = О. дх ду дх Интегральный базис: ид —— Ьх — иу, иг = Ь/ — / 1(х+, Е) дх. 154 л11нвинык«оквнвнилвилоД(х,у,з) — ', +д(х,у,з) — ', +6(х,у,з) в, =О 3. х — + у — + (х + ~(х, у)) — = О. О Ою дмо дх Оу дх Интегральный базис; из = —, из = — — 3! 1(г, — гг!! о!1, х о хо любое.
(1) О«озерам«ра: Э. Комке (!966). О О дю пх — + Ьу — + у(х, у) = О. Ох Оу Ох Интегральный базис: н,=.у, з=ь — ! ((ху '!',!)а. око нх + Ьу + у(х у)9(х) = О. О Ою Омз Ох ду дх Интегральный базис: l а(о) аз =:Г у ь -., — + [з (х)у+А(х)] — + [9(х,у) +6(х,у)] — =О. Игмегральный базис: нз = уг(х) [ !1(х)г(х)'!з: г(х) = акр~ 111(х)озх1 из = сС(х,и1) — ~ 6(1, из)С(г,«1) г!г, С(х, из) = ехр~ — ! 9(1,«1) о!1~. '*о '*о Здесь д(х,иг) = д(х,у), 6(х, «1) ив в 6(х, у) (у выраокастся через х и из из первого интеграла), ха --- любое. + [уз(х)у+Уз(х)у ] + [д(х,у)а+6(х,у)х ] = О. 1'. При 6 Н' 1, гп ф- 1 преобразование 6 = у' ь, О = з' ~ приводит к уравнению вида 6.8.3.6: — + (1 — 6) [(1(х)6+ гз(х)] —, -Ь (1 — т)[д(х,б)г!+ 6(х,Д)] — = О, дх д6 дп 1 1 где д(х,б) = д(х,б ' — 1 ), 6(х,Я) = 6(х,б ' — 1 ).
2'. При 6 ф 1, т = 1 замена б = у' ь приводит к уравнению вила 6.8.3.6: — -Ь (1 — 6) [11 (х)6 -Ь гз(х)] — -Ь з [д(х, 6) -Ь 6(х, Я)] — = О. дх д6 до 3', При 6 = гв = 1 см, уравнение 6.8.3.6. + [ут(х)у+ уз(х)у ] + [д(х,у) + 6(х,у)е '] = О. Преобразование 6 = у ', О = е " приводит к уравнению вида 6.8.3.6: 1 — 1 — -Ь (1 — 6) [Зг(х)С -1- ~з(х)] — — Л [д(х, С)У -Ь 6(х, С)] — = О, дх д6 дн 1 1 где д(х, 6) = д(х, 6 ' — 1 ), 6(х, Я) = 6(х, 6 ' — 1 ).
+ [31(х) + 3«(х)е «] + [9(х,у)х + 6(х, у)х ] = О. Преобразование 6 = е ~«, О = з' о приволиз к уравнению вида 6.8.3.6: — — Л[~1(х)б+ гз(х)] — + (1 — 6) [д(х,б)у+ 6(х,б)] — = О, дх д( дн где д(х,б) = д(т, — — '!пб), 6(т,б) = 6(х, — — '!пб). 155 б.д Ураененгю, содержащие ороигеогение функции 10.
— + [Л(х) + уг(х)е "] — + [д(х,у) + 12(хгу)ее ] — = О. Преобразование 6 = е "", О = е д' приводит к уравнению вида 6,8.3.6: — — Л[Л(т)6+ гег(х)] — — В[д(х,б)О+ )г(х,б)] — = О, дх дб дц " д(х,а=-д(х,— —,'1(), Ь(х,6)-=Ь(х,— —,')п6). 11 21(х)д1(у) — + гг(х)дг(у) — + [гг1(хг у) + ггг(хг у)х ] — = О. дю аю аю дх ду ах Преобразование б = 31 г дх, и = 31 ' ' ' ду приводит к уравнению вида 6,8,3.7 12(х) 9!Ь) Л(х) дгЬ) при Л = О, (г ив в 1, Й = О: — + —, + [61(6, О) -~-62(6,О)2'"] — = О, дб до дг 111(х,д) - бг(х,ц) де 1 Ыдд) = ', Д.Ы,Ч) = 12.
21(х)дг(у) — + 12(х)дг(у) — + [111(х, у) + згг(х у)е" ] — = О. ау а Преобразование 6 = / г Нх, и = 1 ' Иу приводит к уравнению вида 6.8.3.8 Л (х) д2Ь) при Л = О, уг = 1, й = О: дю дю — — 1, дю — -~- — -В [81(6, О) ц-(гЯ, О)е '] — = О, дб до де (~ ) "1(х У) ~ (( ) бг(х;гг) ге(х)д1(р) л 1 (2)д1(у) 7. Линейные уравнения вида Х1 д + Х2 д + дз д 9г,)з — Л(~з Уз ~) 7.1.
Предварительные замечания 7.1.1. Методы решения 7.1.1-1. Характеристическая снсшма. Общее решение. Рассмотрим линейное нсолнородное уравнение в часгных производных первого порялка с тремя независимыми переменными вида дш дш дш Л (х, у, ») — + Ых, у, ») — и- Ых, у, ») — = д(х, у, ») дх ' ' ду ' ' ' д» Если найдены три независимых интегршга нг (х, у, », ш) = Сг, г»» (х, у, », иг) = С», из (х, у, », ш) = Сз, характеристической системы дх Ну г!» г!ш !г(х,у ») Ы ,у:») Ь(х Ъ ») у( ,у,») ' то общее решение уравнения (1) имеет вид Ф(иг, и, из) = О, (4) где Ф - произвольная функция трех аргументов.
(2) 7.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным. ди ди ди т 1(х, у, ») †, 1- 72(х, уг ») — -~- 73(х, у ») — = О. дх ' ' ду ' ' ' д» Переходя от х, у, » к новым переменным х, иг = иг(х,у.,»), иг = и»(х,у, ), приходим к уравнению с разделяющимися переменными ди уг(х,иг,из) — = д(х,иг,из), (5) которое можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение ддя функции нг = ш(х) с параметрами иг, и». Козффициенты полученного уравнения уг, д, получаются из уг, д в результате подстановки в них новых аргументов. Решая уравнение (5), находим (б) з"г(' »из) Здесь Ф -- произвольная функция, при вычислении интеграла иг и из рассматриваются как параметры. Для нахождения общего интеграла уравнения (1) необходимо в формуле (6) после интегрирования перейти к исходным переменным х, у, ».
7.1.1-3. Структура общего решения. Если известен интегральный базис ны и» соответствующего однородного уравнения (цри д = О) и частное решение йг(х, у, ») исходного неолноролного уравнения, то общее решение может быть найдено по формуле ш = йг -'г Ф(цг, из), (7) где Ф . — производьная функция, Пусть иг(х,у,»), из(х,у,») интегральный базис соответствующего «укороченного» одноролного уравнения 7.1. Вееанарнтшьные зч»зэенанин 7.1.1-4. Задача Коши. Задача Коши для линейно!о неоднородного уравнение (1) формулируется так же, как для соответствующего однороэзиого уравнения (см. равд. 0.1.2).
Ее решение можно получить путем подстановки начальных данных в из!те»рады (2) характеристической системы (3). 7.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю дю — -1- а — + бх — = сх». дх ду д» (8) Характеристическая система де г(у Ж» г(ю (9) 1 а бх с»- имеет три независимых интеграла (о первых двух интегралах подробности см. в првмере 1 из равд. 6.1.3): Ь » — — х — — С, 2 — г с ю — — » =С. 26 (10) у — ах =- Сг, Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид 6, с Ф(у — ах,» — — х,ю — — » ) = О, 2 26 с з г 6 ю = — » -1- Ф ! у — ах, » — — х ), 26 'г ' 2 где Ф -- произвольная фуикпия двух аргументов.
Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю дю — -! ах — -1-бу — = 6совх. дх ду д» Частное решение этого уравнения Ф ип!ем в виде функции, зависящей только от переменной х. В резуэштате имеем ю = Й вше. Интегральный базис соответствую~э!его однородного уравнения (прн б = О) указан в примере 2 из равд. б.1.3. Поэтому общее решение уравнения (11) дастся формулой ю =. бе!их -1- Ф(у — —,ах, » — бхзу -1- — абх ). 2 ,з з з Пример 3. требуется найти решение задачи Коши лдя уравнения (8) с начальным условием ю = Лун -1-В»"' при х = 1. (12) Запишем начальные данные (12) в параметрическом виде »=1, у=(з, .— — (з, ю=Л(э"-ГВ(з,. а затем подставим их в интегралы (!О) характеристической системы (! 1). В резулыате имеем б с б! — а = Сэ, бз — — — Сз, Л(г' -1- В(ьзу — — бз — — Сз.
2 26 Исключив отсюда параметры (г и (з, получим А(С, -1- а)" -1- В(Сз -1- —.' 6) —, (С» ! з 6) = Сз. 26 Заменив С, С» и Сз левыми частями равенств (1О], находим решение задачи Коши ю =. — »з + А (у — ах -1- а)" Ф В (» —,з бх» + —.' 6) — — (» — .г бхз -1- .г 6) 26 где Ф -- произвольная фуньпия трех аргументов.
Разрешая это равенство относительно ю, получим решение в явной форме Пинвйнь|В УРАВНЕНИЯ ВИДА 1! о + 22 а + ДВ О д д Д (х Р 2) 7.2. Уравнения, содержащие степенные функции 7.2.1. Коэффициенты уравнений линейны по х, р, х в а а 1. а — + Ь вЂ” + с — = с|х +,Зр + тх + б. вх ар ах а 2 О 2 7 2 Общее решение: н = — х -1- — 'р Ф вЂ” 2 -1- — х -1- Ф(Ьх — ар, ср — 62).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
