В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а + Ьязп" (Лх) гап (13у) + сязп" (4зх) я!п (тх) = О. Ох ау а Частный случай уравнения б.8.2.б прн уз(х) = а, (з(х) = Ьвшо(Лх), д(у) = ай!о'(нг!у), !а(х) = сгйп (ух), Ь(з) =- Ип (уз). 148 Линепныя тгявняния видя 3 (х, у, г) — + д(х, у, г) — „" + 6(х, у, г) —, = 0 Ою Ою Ою а — + Ь соя(33х) — + с соя(Лх) — = О. Ох Оу О Интегральный базис: иг = аду — Ьв!п(Зх), иг = аЛг — свш(Лх). Виг Ою Оиг а + усов((Зу) + ссоя(Лх) = О.
Ох Оу Ох ИитегРальный базис: иг = Ьдх — а!п~сй( г 33У+ ф) ~, иг = аЛх — сьш(Лх). Ою Ого Ою а — + Ь сов(33у) — + с сов(Лх) — = О. Ох ду Ох Интегральный базис: иг = Ь~3х — а 1псб(+оу -1- —,' ) ~, иг = сЛх — а. 1пЬК( — 'Л -1- г ) ~. виг О ь Ою а + 6 сов (Лх) сов (3Зу) + с соя (3гх) соя (тх) = О. Ох Оу Ох Частный случай уравнения 6.8.26 при гг(х) = а,,Гг(х) = Ьсов" (Лх), д(у) = сов"'(г3у), (з(х) = ссояь(ух), Ь(г) = гов'(тг!. 6.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс в ву 8 вя Интегральный бшис: иг = Ьх — ау, иг = сЛх. — а!гг(в!п(Лг)).
Ою дю Ою 2. а — + Ь Ек(33х) — + с ЬК(Лх) — = О. дх Оу О* Интегральный базис: иг = аГЗу+ Ь!п!соя((3х)1 иг = аЛя+ с!гг!соя(Лх)). 3. + Ьск()Зу) + сЕК(Лх) = О. Ох ву Ох Интегральный базис: иг = ЬОх — а!гг!я!гг(оу)), иг = аЛг+ с1п!сов(Лх) ~. 4. а + 6 си()Зу) + сск(Лх) = О. Ох Оу О Интегральный базис.' иг = (ггЗх — а1п!вш((3!3)), иг = сЛх — а1п!я!п(Лг)!. 5. 3гы Ек(Лх) + Лы Фк(3гу) + Л3г Ек(ых) = О. Ою Ою Ою Ох Оу Вх яп(Лх) в!п(ггу) Интегральный базис: иг = ', иг = в!п(иу) ' яп(и ) 6.6.4.
Коэффициенты уравнений содержат котангенс а +Ь +ссск(Лх) =О. Ох Оу Ох Интегральный базис: иг = Ьх — ау, иг = сЛх -Ь а!гг!соя(Ля)). а + Ьсеи()Зх) + соек(Лх) = О. Ох ду О Интегральный базис: иг = а(3у — Ь!п)я!п(гбх) ~, иг = аЛх — с !гг!в!п(Лх) ~. Ою Ою Ою а — + Ьсск(!Зу) — + соек(Лх) — = О. Ох оу Ох Интегральный базис: иг = Ьох -1- а1п!сов(гду)1 иг = аЛг — с1п!я!гг(Лх)~. а + 6сск(33у) + ссай(Лх) = О. О оу О Интегральный базис: иг = Ь(3х -Ь а!и~соя(~3!Г)1 иг = сЛх 3-а1п!сов(Лг)1 149 б.7. Уравнения, еодеро~еоынв обратные тригонотетринепте фрикции Ою а Ою 7яи сад(Лх) — + Лисок(7яу) — + Лгз сад(их) — = О.
Ох ау а сов(Лх) сов(ру) Интегральный базис.' пг = ', иг = сов(ру) сов(иг) 6.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции и + Ь + (свш" (Лх) + ясов" (ЗуЯ = О. ау о Частный случай уравнения 6 8 3! при т(х, у) = гвш" (Лх) + в сова(ау). а + Ьвш(,Зу) — + с сов(Лх) = О. о . о Ою Ох Оу ах ду Интегразьный базис: иг —— ЬЗх — о 1и тд —, иг = аЛг — с ял(Лх). 2 Ою . Вю Ою — + о яп (Лх) — + Ь сов (,Зх) — = О. о ау а Интеграаьный базис: гп = у — о / в1п" (Лх) г2х, нг = г — Ь / сов (Зх) г1х.
Ою о . ь о + а соа (Лх) + Ь аш (Ду) = О. о ду а Частный случай уравнения 6.822 при ~~ (х) = О, уг(х) = асов" (Лх), дз(у) = О, дг(у) = Ьяп (Зу). и + Ьед()ду) + сссд(Лх) = О. Вх Оу о Интегральный базис: и1 =- Ьах — о 1п1вш(ау)(, иг = аЛг — с1гз1в1зз(Лх)(. — + о ссд (Лх) — + 6$д ()Зу) — = О. Вю Ою Вю Вх Ву Ох Частный случай уравнения 6.8.2.2 при зз(х) = О, уг(х) = асада(Лх), дз(у) = О, дг(у) = Ьсдн(зуу). 6.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 6.7.1.
Коэффициенты уравнений содержат арксинус О а Вю а — + Ь вЂ” + с агсяп (Лх) агсвш (,Зх) — = О. о оу дх Частный случай уравнения 6 8 2 бири 71(х) =и, Уг(х) =Ь, Уз(х) =сатсып" (Лх),д(у) =1, 6(г) = аггвшк'(Зг), Ою о г(х, иг = ог — с / вхсяп (Зх) 72х. а + 6 + сагсяп (Лх) агсяп ()Зу) а о о ау Часзный случай уравнения 6.8.3.2 при У(х, у) = атсяп (тг).
Ою Ою ь и -1- Ьагсяп (Лх) + с агсяп ()Зх) Ох ду Иепезрнньный базис: иг = ау — Ь / атсяшо(Лх) дю агся!п (тх) = О. ах = сатсн1пн(Лх) атсяпт(Зу), д(г) 150 Линеиныв т звнвния видл 1(х, у, з) — + д(х, у, з) — '„" + Ь(х, у, з) —, = О в вю аю а — + Ьагсяш (Лх) — + сагся1п (,Зх) — = О. ах ау Ох Частный случай уравнения 6826 при Г> (х) = а„(з(х) = батсе>п" (Лх), Гз(х) = 1, д(у) = 1, Ь(з) = с агсвйп '((Зз).
аю Ою Ою а — + 6агсяш" (Лу) — + сагся)п (>Зх) — = О. дх ву Вх Часпзый случай уравнения 6 8 2 5 при Дх) = а, д(у) = 6 атсяп" (Лу), Ь(з) = с атсяш' (дз). 6.7.2. Коэффициенты уравнений содержат арккосинус дю Ою дю 1. а + Ь + сагссоя" (Лх) агссов (>Зх) = О. Ох ду Ох Частный случай уравнения 6 8 2 6 при 7> (х) = а, 7з (х) = Ь, 7з (х) = с атосов" (Лх), д(у) = 1, Ь(з) = агссоз"(,Зз). аю Озе дю 2.
а + Ь + с агссоя (Лх) агссоя ()Зу) агссоя (тх) — = О. вх ау в Частный случай уравнения 6832 при 7(х, у) = сагссов'"(Лх) вгссоя" (Зу), д(з) = = атосов (тз). Ою в вю 3. а + 6агссоя (Лх) + сагссов (>Зх) = О, ах ау Ох Интегральный базис; и> = ау — Ь / атосов" (Лх) >(х, из = аз — с / агссовь(вх) >Зх.
Ою а вю 4. а + Ьагссоя (Лх) + сагссоя (1Зх) = О. Ох Оу в Частный случай уравнения 6826 при 7> (х) = а, Ях) = Ь аг>хоз" (Лх), 7з (х) = 1, д(у) = 1, Ь(з) = сагссоя (>Зз). Ою в в 5. а + 6агссоя (Лу) + с атосов ()Зх) = О. Ох ду Ох Частный случай уравнения 6 8 2 5 при Дх) = а, д(у) = 6 яхссоз" (Лу), Ь(з) = с агссоь" ( >Зз).
6.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс аи> а>л и ви> 1. а + Ь + сагсЕК (Лх) агсСК (>Зх) = О. Ох ау Ох Частный случай уравнения 6 8 2 6 при 7> (х) = а. 7з(х) = Ь, тз(х) = с агстб" (Лх), д(у) = 1, Ь(з) = агсебт()Зз). аю> Оп> а 2. о — + Ь + сагсЕК (Лх) агсеК ()Зу) агсЕК (тх) — = О. Ох Оу вя Частный случай уравнения 6.8.3.2 при 7(х,у) = сатс18"(Лх)агсзк"'(>Зу), д(з) = агсзй (уз). ви> аю вю 3. о + Ьагссд (Лх) + сагсеК (>Зх) = О. вх ау ах Интегральный базис: и> = ад — 1> / атсейз'(Лх) >Зх, из = аз — с / агстйь(вх) >1хз аю Ою Ою 4. о + Ьагстд" (Лх) + сагсЕК ()Зх) = О.
ах Оу Вх Частный случай уравнения 6 8 2 6 при 7> (х) = а, 7з(х) = Ь агсьй" (Лх), >з(х) = 1, д(у) = 1 Ь(л) = сагстк (>Зз). в>ю азе в 5. о — + Ьагстб" (Лу) — + сагстК (>Зх) — = О. Ох, ву Вх Частный случай уравнения 6.8.2.5 при Дх) = а, д(у) = 6 атстк" (Лу), Ь(з) = с атстк~(>Зз). 151 б.в ураоооноя, ооворхсоюоо ороюеольныо фуняноо а + багссЬК (ЛХ) + дю д ах др Частный случай уравнения 6.8.2.6 Ь(я) = свгсс18 (,Зл). аю дю а — + 6агссай (Лу) — + ах др Частный случай уравнения 6.8.2.5 с агссЬК (13х) = О.
аю дх при 11(х) =а, гз(х) =6агсстй" (Лх), гз(х) =1,д(у) =1, сагссВК (13х) — = О. ага дх при Д(х) =а,д(у) =Ьагсстйо(Лр), б(з) =сагсс18' (Дз). 6.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 6.6.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х аю аю а 1. — + Дх) — + д(х) — = О. а 'ар д Интегральный базис: и1 = у — / 1'(х) Ыхч ив = з — / д(х) йх, 2. — + 2(х)(у+ а) — + д(х)(х+ Ь) — = О. дю дю аю ах ду ах ИнтегРальный базис: из =!и ~У -Ь а[ — /)(х) дх, из = 1п|а -1- Ь~ — / д(х) дх. 3.
+ [ау+ У(х)~ + [Ьх+д(х)~ = О. Интегральный базис: и1 — — ре. "— / )(х)е "4х, из = с ьо — / д(х)о. 'г1х. аю дю дю 4. — + [Хз(х)у+ Уя(х)1 — + [дз(х)у+ да(х)~ — = О. а* ду ах Интегральный базис: из — — уГ(х) — / )з(х)Г(х) 0х, Г(х) = ехр~ — / 1з(х) Йх|, и = з — ~р(х)р-У /[ЫхМ, ) — д (х)]г)х, 5о(х) =Г(х) ~ д', дх. д Г(х) 5.
+ [Уз(х)у+ Гя(х)~ + [дз(х)в+ да(х)1 = О. Интсгральный базис: из = уГ(х) — / гз(х)Г(х) их, и = аа(а:) — /д (х)С( )г1х, 6.7.4. Коэффициенты уравнений содержат арккотангенс дю дю д 1. и — + Ь вЂ” + сагссСК (Лх) агссай (,Зх) — = О. ах ар а Частный случай уравнения б 8 2 б при гз(х) =а, Гз(х) =Ь, (з(х) = сагсстко(Лх), д(у) = 1, Й(х) = агссвй" ((зз).
аю аю дю 2. и — + Ь + с агсстК (Лх) агссай (Ду) агссай (тх) = О. ах ар а Частный слУчай уравнения 68.32 прн 2(х,у) = сагсстк"(Лх)агсссй (ду), д(а) = = агсссй (уз). аю дю д 3. и + Ь агссСК (Лх) + с агссСК ()3х) = О. ах др д Интегральный базис: иг = иу — Ь/ вхссьйо(Лх) дх, и = аз — с/ агссоа ((зх) дх.
152 лннеиныв тглвнвния вндл Д(х,у,») в + д(х,у,») в"' + п(х у») в, = О 6. — + [Хг(х)у+)з(х)х+ Ра(х)] — + [дг(х)у+ дз(х)»+ да(х)] — = О. дю дю д Один из интегралов имеет вид и~ = у(х)у + ю(х) + Л(х), где функции»з(х), ф(х), т(х) определяются путем решения системы линейных обыкно- вепнык дифференциальных уравнений первого порядка И, -!- ~зу+ дззй = О, ф,'+У,р+д,ф=О, + уан + дай = О. Эта система интегрируется в квадратурах, например, при д» = О (или Гг = О). В этом случае надо интегрировать последовательно,начиная с первого (или второго) уравнения. В общем случае и~зтегрирование системы сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, которое является следствием первых двух уравнений.
Общее решение рассмазриваемого уравнения можно найти с помощью метода, опи- санного в равд. 6.1.1-2. — + [уя — а + аЛв!»(Лх) — а в!г (Лх)] — + З (х) вцтх) — = О. дх ау а Интегральныи базис.' э»! Е Г 2а иг — — (' г" (х) г1х — — !и сй — ], нз = + ! Ег!х, Е = ехр[ — я!з(Лх)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
