В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 26
Текст из файла (страница 26)
— + (адх + Ьдх е ") — + (агх + Ьгх е~ ) — = О. ах ау аг Частный случай уравнения 6.8.1.!О при Зд(х) = адх", уг(х) = Ьдх, дд(х) = агх", дг(х) = Ьгх . 1О. + (е" у +ауен +адгедн ах ау Интегральный базис: Е~ ид = -Ь дд е 'Ед д1х, у -1- ае иг = д + 1 ( ет'Егд1Х, г -1- е ид = -Ьа д е Ег)х, Е и г- е у а и беге Е = ехр) — е — 2ах), ~д Ед = ехр~ — е — 2ах), /а ~д /Ь г Ег = ехр( — е — 2 ух). ( Ь 44.
Уравнения, соавр»вохна гняврболнягвкпе функанн 16. (ах е " + Ьху ) — + сна — + (су» + я!у'») — = О. а ар а низ егральпый базис: из = х' нЕг -!- а(и — Ц / е'" "~~Ез г!У, иг = » Ег -!- с(Ь вЂ” 1) / у г ""Е1 г!у, Ег = ехр~ь(и — 1) / у"'с "" г!у~, Е1 = ехр (((Ь вЂ” 1) (' у"е "" бу~. Интегральный базис: Е из = ., + / Ег!х, Е = ехр(2а ! е"Я г!х), у — ае" иг = агсьй( — е ' »1 — Ьс~ е г1х, Ь вЂ” +(ае у +2сяху+аб ) — +(сх~» +2-гх»+сг1 х е з ) — =О.
ах ар а Иитегральиый базис: г и = аксай( — с уз 1ь 18 г г аЬ/е фх, иг=агс18( — е т») сф/ х г * 4» 14 6.4. Уравнения, содержащие гипербопические функции 6.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус а а а 1. а — + Ь вЂ” + сяЬ(Лх) — = О. дх др д» Интегральный базис: иг = Ьх — оу, и = аЛ» — с сЬ(Л»). Иитсгральиый базис: из = ЬЗх — а1п ЬЬ вЂ”, иг = аЛ» — ссЬ(Лх). 1!У 2 дш дяо Ош 3. а — + ЬяЬ(,Зу) — + свЬ(т») — = О. Ох ду д» азу 7» Иитегральиый базис: из = ЬДх — а 1и 1!з — ', иг = стх — а 1п Язв 2 2 дш а а 4. аяЬ(Лх) — + ЬвЦ(Зу) — + свЦЗ») — = О. дх ду О» Иите~рзльиый базис: 1 Л» 1 ар иа = — !п 1Ь вЂ” — — !птЬ вЂ”, аЛ 2 ЬД 2 5.
авЦ)Зу) + ЬвЬ(Лх) + сяЬ(т») = О. дш дш дш Вх ду д» Интегральный базис; из = ЬЗсЬ(Л») — аЛсЬ(~3у), 1 ! Лх 1 иг — !п(1Ь 1и 1Ь аЛ 2 сз 2 иг = с)Л'Гт| -Ь 2 Ибп(а) Лгт!з(ез ). При иитегрироааиии иг рассмазривасгся как параметр. Вш аш а 6. а вЬ(1Зу) — + Ь вЬ(Лх) — + с яЦЛх) вЦ,Зу) вЬ(т») — = О. Вх Ор а 1 1 1 1 у» Интегральный базис иг = — сЦЛх) — — сЬ(ду), иг = — с1з(Л») — — !п 1Ь вЂ” ' аЛ Ьа ' ' аЛ су 2 144 линейные лолвнвниа вилл Г(х,У,х) в + д(х,У,х) в" + Ь(х,У,в) в = О 6.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 1. а — + 6 — + с сЬ(!Зх) — = О.
дю Ою дю О* Ву дх Интегральный базис: ис = Ьх — ау, ив = аДх — с вЦДзс). Интегральный базис: ис = аДу — Ьвй(ох), из = алв — свЬ(Лх). 3. а — + 6сЬ()Зу) — + ссЬ(Лх) — = О. дю дю дю Ох ду дх Интегральный базис. ис = блях — 2а атеей ГЬ вЂ”, иг = алх — свЦЛх), лгу 2 4. а + 6сЬ(Ду) + ссЬ(тх) = О. Ох ду О Интегральный базис: ис = Ьдх — 2а атеей 1Ь вЂ”, ил = сух — 2а агс!К СЬ— лзу 'ге 2 2 5. а сЬ(Лх) — + Ь сЦДу) — + с сЦтх) — = О.
Ою Ою Ою Ох Оу в Интегральный базис.' иг — — — атеей(е ') — — атеей(е '), ил = — агссб(е ) — — атеей(е ). 2 л,, 2 вв 2 л„2 аЛ ЬЗ аЛ с'Г а сЦ!зу) + Ь сЬ(Лх) + с сЬ(тх) = О. дх Оу Вх Интегральный базис: = 611 вь(лх) — ал вь((1у), их из =с~Л»1 — 2 в1кп(а) агс!5(е ' ). Г!ри интегрировании иг рассматривается как параметр. 6.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс Ою Ою дю 1. а — + Ь вЂ” + с ЕЬ(тх) — = О.
д Оу вх Интегральный базис: иг = Ьх — ау, из = стх — а!п!в!г( сх) !. Интегральный базис: иг = асду — 61п!вЬ(вх)~, ил = але — с!п!вЬ(лх)~. Интегральный базис: а1 = 613х — а 1п)вЬ(~9у)1 из = алх — с1п!сЦЛх) !. 4. а + 6еЦ(зу) + сеЦтх) = О. дх Оу Ое Интегральный базис: иг = Ьл1х — а 1п)вЬ(л1у)1 из — — стх — а!п!вЦ уа)1, 5.
а СЦЛх) — + ЬЕЬ()Зу) — + сЕЬ(ух) — = О. д дю дю дх ду Вх ,1, л( Интегральный базис: ис =, ие = вйьсз(Лх) ' ' вЬ' (Л ) ' 145 6.4 Уравнения, еодврхеощие гияврболияееипе фьнкяин 6. аСЦуЗу) — + Ьеь(Лх) — + сеь(-~х) — = О. Ояо а Ою Ох ау а Интегральный базис: гйнз(дл) иь = ~г, нз = су / сСЬ) Лгсь'г" [нь сЬК (Лх)]) г(зг — л,!п1вЬ(ул)). сЬьн(Лх) При интеьрнровании иь рассматривается как параметр. 6.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс а о Оиь 1. а — + 6 — + ссСЬ(Лх) — = О. Ох ду а Интегральный базис: иь = бх — оу, нг = сЛх — о!п[сЬ(Лз)]. г. а + 6ссь()З ) + с ось(Лх) = О. аю аю Ою Ох оу о Интегральный базис: пь = аьЗу — 61п [сагах)], иг = оЛх — с1п[сЦЛх)]. 3. а + бссь()Зу) + с ось(Лх) = О.
Ою Ояи дю Ох ду Ох Интегральный базис: иь — 6ах — сл 1п[гЬ(ду)], из — оЛя — с1п1вь(Лх)). а Ою Ояи 4. а — + ЬсФЬ(учу) — + сссЦЛх) — = О. Ох ау ах Интеьраньный базис: иь = 6ох — а!п[сЬ(оу)], из = сЛх — а1ьь[суь(Лх)]. Ою Ою Ою 5. а сбь(Лх) — + б сбь(уЗу) — + с сФЬ(тх) — = О. ах Оу Ох сЬ" (ЗК) сй" (тя) Интегральный базис: нь =, нз = сика(Лх) сЬ'з(Лх) 6. а сань(ьЗу) + Ь ось(Лх) — + с саь(тх) = О. о а а а* ау ах Интеьральный базис: иь = ',, нь = су /1Ь(Агв1ь [ьгь вЬ ' (Лх)]) оьх — а1н[сЦух)].
При интеьрировании иь рассмазривается как параметр. а вЬ(Лх) — + Ь сЬ(ЬЗу) а о Иьпегральный базис: 1 Лх нь = — 1п 1Ь— оЛ 2 аю Ою + ссЬ(-ух) = О. ау Ох Лх 2 иг = — 1п ФЬ вЂ” — — аггтб(ез"). оЛ 2 су — агсьб(е "), 6О о + свЬ(Лх) ау 1 1 — сЬ(Лх) —— иЛ 6уу а вь()Зу) + Ь вЬ(Лх) дх Интегральный базис нь = вь(уЗу) сЬ( ух) = О.
дх 1 2 сЬ(ду), 'из = — сЬ(Лх) — — агсье(е ' ). оЛ су 1О В. Ф. Валиев, А д Поллини 6.4.5. Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции а Ою а 1. а вЦЛх) — + Ь вь(уЗу) — + с сЬ(-ух) — = О. а ау Ох Интегральный базис'. Л 1 1 Уур иь = — 1п 11ь — ] — — !и 1Ь вЂ” ., оЛ 2] 63 2 146 лнневныв плвнвнг1Я виль Г(х,У,х) з + д(х,У,х) а" + 6(х,У,х) а = О а дк 4. а с)г(Г)у) — + Ь С)г(Лх) — + с сй(.1 х) — = О. а аю аю а* ау а Иьнегральоый базис: иа = Ьд!з1~сй(лх) ~ — аЛай(ау), из = с~ЛЬ ! ',, — Оьйнп(а) агсгн(сз'). (Ьбрл ~ Ь(Л у — )з -Ь а Л' При интегрироаании из рассматривается как параметр. а се)з(Ду) + Ь Е)г(лх) + с Е)з(тх) = О.
дх ду дх Интегральный бине: иг = ' ', из = ту / гтй(Агвй'~' [иг сй ' (Лх)~) г(х — а!п)вй(тх)(. сбьв(Лх) При интегрировании и1 рассматривается как параметр. а сс)г()Зу) — + Ь Е)з(лх) — + с сЕЦ Гх) — = О. аю а а дх ау а Интегральный базис: 1, л(бу) сйьГз(лх) ' иа = су / ссй(АгвЬГ" [из сй л(лх)1) ах — а!гг~га(тх)~. Прн интегрировании иг рассмазривается как параметр.
6.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 6.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 1. а — + Ь вЂ” + с!п(Г1у) 1п(Лх) — = О. дю дю дю ах ду ах На Интегральный базис: и1 — — Ьх — ау, из — — ау[1 — 1п(!ту)1+ Ь| ,г !(л) 2. и — + 61п(Г!х) — + с1п(Лх) — = О. дю дю а дх ву д* Интегральный базис: из = Ьх [1 — 1п(Г3х)~ + ау, ия = сх [1 — !зг(лх)~ + ал. 4. и 1п(,Зх) — + 6 1п(Лу) — + с 1п(-Гх) — = О. дю дю дю дх ву ах Г ах Г ау Г ах Г Интегральный базис: иг = Ь ( — аЗ! ', из = с~ — а~ / 1п(ГЗх) !п(Лу) ' !п(ах) 1п(уа) 6.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные Функции 1. — + ах — + 61п (Лх) — = О.
дю дю дю ах ду дх Интегральный базис: иг = у — х, ия = а — Ь( 1п'(Лх) бх. хз Г ь п -1-1 3. а + Ь 1п()3х) 1п(Лу) + с 1п(,их) !п(Гх) = О. дх ду дх йу Г ае Интегральный базис: нг — — Ьх [1 — 1п(дх)1-Ьа (, из =ох[1 — !п(рх)1-1-а З! 1п(Лу) 1п(уа) 147 б.б Уравнения, еочзерэеитие тригонометрические грзнкнии 2.
— + [ау+ с1п (Лх)) — + «Ьх+ я1п (,Зх)) — = О. ах ау а Интегральный базис: и! =уе "— с /!п (Лх)е "'бх, аз=хе ' — в / 1по(13х)е 'бх. 3. ах — + Ьу + «с1п (Лх) + в1п (!Зу)) — = О. дю дто Ою а ау Ох Частный случай уравнения б 8 3 4 при Д(х, у) = с1пн(Лх) -!- в!п" (Ду). аю Вьо Ою 4. ах 1п(Лх) — + Ьу 1п(13у) — + се1п(тх) — = О.
ах Оу а Интегральный базис: иг = Ь1п!1п(Лх)/ — а1п!1п(ду)/, из = с1п!!п(Лх)/ — а!п!1п(ух)/. 5. ах 1п(Лх) — + Ьу 1п(,Зу) — + сх!п(Лх) — = О. Ою в а а* ау Ох Интегральный базис: ич — — Ь1п!1п(Ла)( — а1гг~1п(ду)), из = !х!'(е! ах(1п х) — + Ьу(1п у) — + сх(1п х) — = О, „а а ь дю дх ду а Интегральный базис: и1 = (1п х) ' — (1п у) 1 — и ! — гп из = (1п х) — (!п х) 1 — п ! — Ь 6.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 6.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус 1. а + Ь + свш("ух) = О. дю дю .
дю дх ду Ох Интегральный базис: иг = Ьх — ау, из = с Гх — а 1п)тб— 2 дю . Ою , дю 2. а — + Ьв!п(13у) — + сягп(Лх) — = О. а. Оу в Оу Интегральный базис: а1 = Ьгвх — а 1зг 18 — ', из = аЛа+ с соя(Лх). 2 Ою . Ою . Ою 3. а — + Ьвш(,Зу) — + сяш(ух) — = О.
дх ау а ду т , За Интегральный базис: и! = Ьдх — а1п тб — ', из = сух — а,1в Г8— 2 2 4. а + Ьвзп(Лх) я!п()3у) + с = О. а а а ах ву а аЛ ду Интегральный базис.' и! = гх — ах, из = сов(Лх) + — !п 18 — ' Ьв 2 6.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус дю диг дчо 1. а — + Ь вЂ” + с соя(Лх) — = О. ах ву а Интегральный базис: и! = Ьх — ау, из = сЛх — а!п!18(фЛ -У а )). !о 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
