В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус а а — + ах 6 — = ею+ сЬ (Лх) сЬ ()3у). вр случай уравнения 5.8.2, ! нри У(а) = сЬд'(Лх), д(р) = сЬ" (ар). 6 — = ссЬ" (Лх)ю + ясЬ ()Зх). вр случай уравнения 5.8,1. ! при у(х) = сЬд (Лх), д(р) = сЬн(дх). Частный аю а — + ах Частный а +6 = '(сд сЬ '(Лдх)+со сЬ «(Ляу)]ю+яд сЬдп()3дх)+ ля сЬЯЯ()3яу).
а ар Частный случай уравнения 5.8.2.4 нри р(х) = со сЬ"'(Лдх), д(р) = сосЬ""(Лдр), р(х) = яд сЬ ' (ао х), д(р) = яя ей яд (Вд р) . х + у = ах сЬ(Лх + дду) ю + 6 сЬ(их). Вю Вю а* ар Общее рещение: [ 1( х е рр) ] [ф( р ) -1-1 / с! (их) ех ( нв!'((Л три)х!) ~~х] гле и = рГ'х.. !!ри интегрировании и рассиатривается как аараметр. асЬ (Лх) — + ЬсЬ (!дх) — = ссЬ (их)до + рсЬ (!3у). а аю ах вр Частный случай уравнения 5.8.3.4 при г(х) = а сЬ" (Лх), до(х) = О, до(х) = Ьсй™(рх), 6(х, р) = ссЬ (их), Г(х, р) = рсЬв(!Зр), а сЬ" (Лх) + 6 сЬ™(!дх) = с сЬ" (иу)дп + р сЬ'()дх).
ах ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при г(х) = псЬ" (Лх), дд(х) = О, до(х) = ЬсЬ (рх), 6(х, р) = с сЬн(ир), Г(х, р) = рейв(гдх). 5.4.3. КоэфФициенты уравнений содержат гиперболический тангенс Вю а — + ах 6 ™ = + еЬ (Лх) еЬ ()3у). вр случай уравнения 5.8.2. ! нри у(х) = еЬ~(Лх), д(р) = тЬ" (Гдр). Частный 6 — = с еЬ" (Лх)ю + я еЬ" ()Зх). вр случай уравнения 5.8,1, ! при У(х) = Е1дн(Лх), д(р) = ЕЬн(вх). Частный а — + 6 — = г!сд яЬ"'(Лдх) + со яЬ я(Ляу)1ю+ я, яЬ '()3дх) + яг яЬ ~()3яу). а ар Частный случай уравнения 5.8.24 при У(х) = сд яЬ"'(Л~х), д(р) = ся вЬ"Я(Лдр), р(х) — я я!дед(3 х) д(р) — я, яйдг(3 р) 118 линвйныв ттлвнения вяля Дх, у) 'о"' + д(х, у) о — — 61(х, у)ю+ 6о(х; р) а — + Ъ вЂ” = [ст ЕЬ ~(Лдх) +си СЬ Я(Ляу)1ю+ вт ЕЬ"~ (Ах) + вг ЕЬ Я (1Зяу).
а ор Частный случай уравнения 5.8.24 при У(х) = со1Ь"'(Л1х), д(у) = саеЬ"Я(Ляу), д(х) = в1 1Ь ((З1х), я(д) = ва ЬЬ (Ояу). нФЬ (Лх) — + ЬФЬ (1ях) — = сСЬ (их)ю+ рЕЬ" (Ду). аю дю дх ду Частный случай уравнения 5.834 при т(х) = атй" (Лх), д)(х) — = О, до(х) = 61Ь (ух).
6(т, у) = сеЬ" (их), Г(х, у) = р1Ь'(Оу). аю а пеЬ (Лх) — + ЬФЬ (Их) — = сФЬ (иу)ти + рФЬ'(1Зх). ах ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при У(х) = атй" (Лх), д~(х) = О, до(х) = Ь1Ь"'(ух), 6(х, у) = сеЬЯ(иу), Е(х,у) = рой'(Дх). 5.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс а — + Ь вЂ” = ею + сЕЬ (Лх) сЕЬ" (1ЗУ). дю дю я ах ар Частный случай уравнения 5.8.2.1 при У(х) = сЕЬЯ(Лх), д(у) = стЬ" (Од). о а и — + Ь вЂ” = ссеЬ (Лх)ю + в сеЬ ()Зх). ах ар Частный случай уравнения 5.8.1.1 при Д(х) = сеЬ (Лх)* д(у) = сеЬ (1Зх). а — +6 — = [со сЕЬ 1(Лтх)+си сЕЬ ~(ЛяУЯю+в1 сЕЬ (1Зтх)+вя сЕЬ (1Зау) дх ар Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Дх) = с1сеЬ"' (Лох), д(у) = со сеЬ"'(Ляу), р(х) = в1 сФЬ ' (Ах), д(у) = вт стЪ ч (до у).
нсСЬ (Лх) + ЪсеЬ™(1ях) = ссеЬ (их)ю+ рсеЬ'()ЗУ). а ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при Дх) = асеЬ" (Лх), до(х) = О, до(х) = ЬсоЬ (1тх), 6(х, у) = с стЬЯ(нх), Г(х, у) = р сеЬ'(ду). 3. псЕЬ (Лх) + ЪсСЬ (1ях) = ссСЬ (иу)ю+ рсЕЬ'(1Зх). дх ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 при Д(х) = асеЬ" (Лх), до(х) = О, до(х) = Ъсей (ух), 6(х, у) = сстЬ~(ну), Г(х, у) = р с16'(Ох). функции а а я н + Ь = ю+ ст вЬ (Лх) + ся сЬ ()ЗУ). о ор Частный случай уравнения 5.8.2.4 при Дх) = О, д(у) = 1, р(х) = с1яйв(Лх), д(у) = ся сЬ" (ду), и + Ь = ею+ вЬ (Лх) сЬ" ()Зу). аю дю я дх др Частный случай уравнения 5.8.2.1 при У(х) = вЬ~(Лх), д(у) = сй" (Оу). а + Ь = сю + 6 СЬ(Лх) + и сЕЬ(1яу). аю аю дх др Общее решение: ю = е д'~Ф(Ьх — ад) — — 1Г г[всеЬ( — (х — 1) — уу) — 61Ь(Л1)~е 'го н1), а хо о 5.4.5.
Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические 119 5.5 Уравнения, сс«с!ернсаидиелаеирнфишческие функяии 4. а — + ЬвЬ(Лх) — = спд+ ЬсЬ(Г«у). О Ою Ох ду Общее решение: и = е"!" (/ сй~ру-с У («с1«(Л!) — сй(Лх))]е "2'с!1+ Ф(аЛу — Ьсй(Лх))). 5. пвЬ (Лх) + ЬсЬ (!дх) = ссЬ"(их)ге+ рв!д'(!Зу). Ох ду Частный сддучай Уравнения 5.8.3.4 при у(х) = пай" (Лх), уд(х) = О, до(х) = Ьсй (Г«х), Ь(х, у) = ссйи(ит), е (х, у) = рвй'(дуу). 5.5.
Уравнения, содержащие логарифмические функции 5.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 1. а — + 6 — = стп + 1п (Лх) 1п (,Зу). О О и Ох Ву Частный случай уравнения 5.8.2. ! при у(х) = 1п (Лх), д(у) = !п" (!5у). 2. а — + 6 — = с1п (Лх)ю+ в!п" (,Зх). дю дю дх дд Частный случай уравнения 5.8.1, ! при де(х) = 1п '(Лх), д(у) = !п" (!3х). 3. а — + Ь вЂ” = !сд!п «(Лдх) + ся!п г(Ляу)|ю+ вд!п «()Здх) + во 1п"г(!Згу). Ох ду Частный случай уравнения 5.8.24 при У(х) = с«1п"'(Лдх), д(у) = сг 1пи'(Лгу).
р(х) = в, !пд«(ддх), д(у) = ч !«де«(О уй 4. а1п(Лх) — + 6!«д(Г«у) — = спд+ Ь. дю дю Ох Од Общее решение: Ь Гс Г «Гх ю = — — Ф Ф(н) охр ~ — ! с о / !п(Лх) ] Их !' «!д !п(Лх) „/ !п(нд) 5. и 1п" (Лх) + Ь1п (5«х) = с!п" (дсх)ю + р!п" ()Зу) + д. Ох ду Частный случай уравнения 5 8 3 4 при Г(х) = а 1п" (Лх), д«(х) = О, уо(х) = 61п" (ух), 6(х, у) = с 1п (их), е (х, у) = р !дд'(ду) -Г д. б. а1п" (Лх) — + Ь1п (!дх) — = с!п (дсу)ю+ р1п" («Зх) + д. О д Ох дд Частный случай уран««ения 5.8.3.4 при Г'(х) = а1пн(Лх), уд(х) = О, до(т) = 61п (рх).
6(т,, у) = с1п '(иу), е (х, у) = р!п'(««3х) Ф д. 5.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 1. а — + Ь вЂ” = ю+ сдх + сг!п (!Зу). Ою Ою и дх ду Частный случай уравнения 5.8.2.4 при У(х) = О, д(у) = 1, р(т) = с« хе, д(у) = сг 1п" («Зу). б. ОЕЬ (Лх) — + ЬсбЬ (рх) — = саЬ~(д/у)ю+ рсЕЬ«(!Зх). дх ду Частный случай уравнении 5.8.3.4 при 5(х) = от!д" (Лх), дд(х) = О, до(х) = Ьс!Ь'"(рх), 6(х, у) = с!Ън(иу), е (т, у) = рс!!д'(дт).
120 линейные гшлвнения вилл Дх,у) о"' +д(х,у) о", = Ьл(х У)'о+ 6о(ай у) 2. а — + Ь вЂ” = сш + х 1п" (,Зу). В В й Вх Вр Частный случай уравнения 5.8.2.! при Д(х) = х д(у) = 1п Иу) 3. ах — -1- Ьх — = ею+ я1п (Дх). й Вто дю дх Вр Частный случай уравнения 5.8.!.7 при !(х) = ох", дл(х) = О, до(х) = Ьх" Ьл(х) = с Ьо(х) = в!п (дх) ° 4. ах + Ьуй = ело + я1п'"(дх). дх ду Частный случай уравнения 5.8565 при 7"(х) = ах, дл(х) = О, до(х) = Ь, 6(х, у) = с, Г(х.,д) =в1п (13х).
5. ахй + Ь1п" (Лх) = сш+ ях дх Вр Частный случай уравнения 5 8.1.7 при т(х) = ахл, д~ (х) = О, до(х) = Ь йд (Лх), Ьл (х) = с, Ьо(х) = вх". ,Вло „В 6. ау — + Ьх — = ею+ я1п (!3х). Ох Вр Частный случай уравнения 5 8. !.1! при ~~ (х) = а, уо(х) = Ьх", д(х) = с, 6(х) = я 1п'"(!ух). 7. ауй + Ь1п" (Лх) = сю -1- вх™. Вх Вр Частный случай уравнения 5 8!.1! при ~~(х) =а, Го(х) =6!и" (Лх), д(х) =с, 6(х) = ох 6.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 5.5.1. Коэффициенты уравнений содержат синус Вю Оло 1.
а + Ь = сш+ йв!п(Лх+ !яу). др Общее решение: и = е" 'Ф(Ьт, — ау) —,, ((оЛ+Ьр) сов(Лх+ ру) + соби(Лх+уу)) са -1- (оЛ -1- Ьр) о 2 а + Ь = ю+ от шп (Лх) + сов!п"()3у) Ош Оло й Вх Вр Частный случай уравнения 5.8.2.4 при 7"(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сл я!и" (Лх), д(у) = са я!п" (,'3у).
3. а + Ь = сш+ яш (Лх) шп" ()Зу). Оло Оло й дх др Частный случай уравнения 5.8.2.! при 7'(х) = вш (Лх)* д(у) = сйп РУ). В В 4. ах — + Ьу — = сто+ Йя1п(Лх+ 7яу). В Вр Общее решение: ш = хд'( — ! ! !' '' шп(Л6+ р! 'х "у) 46+ Ф(х 'у)). ло Зо В В 5. х + у = ахяп(Лх+ Иу)то+ Ья!п(ых). Вх Вр Общее решение: ш=ехр[ — соя(Лх-6!лу)~) Ф( — )+Ь / гйп(ьх)ехр( сов((Л+уи)х)) л!х), гле и = у7'х.
При интегрировании и рассматривается как параметр. 5.6 Уравнения, еодерхеащив тригонотетричеение футннии О . О 6. ав1п (Лх) — + Ьв1п (Рх) — = ся1п (их)ю+ рв(п'(|Зу). дх вр Частный случай уравнения 5.8.3.4 при г(х) = аяп" (Лх), дч(х) = О, до(х) = Ьяп (Рх), Ь(х, у) = с вт" (нх), Г(х, у) = р япв(()у), 7. пвш (Лх) — + Ьв1п™(Рх) — = свш" (иу)ю+ ряш'()Зх). Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.3.4 при ~(х) = ав1п" (Лх), дг(х) = О, до(х) = Ьв1п '(Рх) Ь(х, у) = с я1п (чгу), Е(х, у) = р ят'Дх). 5.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус о о 1.
и — + Ь вЂ” = сю + Ь сов(Лх + Ру). Ох Оу Общее решение: и~ = евещФ(6х — ау) -~-, ((оЛ-~-ЬР) вт(Лх Ф Ру) — ссов(Лх Фну)). сч -~- (аЛ -~- 6Р)Я в о й и — + Ь вЂ” = ю + ст сов (Лх) + ся сов ()Зу). Вх Оу Частный случай уравнения 5.8,2.4 при Д(х) = О, д(у) = 1, р(х) = сч сояй(Лх), я(у) = сг сов (Зу) о + Ь = ею+ сов (Лх) сов" ()Зу). Ою Ою й Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.2.1 при 2'(х) = сов '(Лх), д(у) = сов" Ду). Вчо Ота пх + Ьу = сю + й сов(Лх + Ру). Ох Ор Общее решение: ю = хвт') — 1 1 ' ' " соя(Л1+ Р1 вт" 'р) 61Ф Ф(х 'у)]. ~а го О О х — + у — = пх сов(Лх + ну)ю + Ь сов(их).
Вх Ор Общее решение: ча=ехр~ ' яп(Лх+Ру)](Ф( — )+6 сов(нх)ехр( — в1п((Л+Ри)х)) Ох), Лх ' Ру х у Лири тле а = у/х. Прн интегрировании а рассматривается как парамшр. Ою Ою 6. псов" (Лх) — + Ьсоя (Рх) — = ссов (их)ю+ рсоа'()Зу). Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.3.4 при ((х) = а сов" (Лх), д~ (т) = О, до(х) = Ь солт (Рх), Ь(х, у) = е сояй (их), Г(х, у) = рсоа (Ор).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
