В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ау — + (Ьдх + Ьо) — = (одх + со)ю + вдх + во. Ох ду Частный случай уравнения 5 8.1. ! 1 при й = 1, 2д (х) = а, уг (х) = Ьд х+ Ьо, д(х) = од х 6 со, 6(х) = ядх+ во, 5.2.2. Коэффициенты уравнений квадретичны пе х и у Ою дю 1. а — + 6 — = ею+)Зху+ т. Ох Оу Общее решение: ю = — — — — [(ох+и!(со+ 6) + аб) + енн Ф(бх — ау). с сз 2. а +Ь = сто+ х()дх+-~у) +б. о ар Общее решение: ю = — — — — [Ясх Ф а) д -1- у(ст Ф а)(су -1- Ь) Ф о(а(5+ б у)) Ф е'*д'Ф(бх — ар). с ся 3.
х + у = то+ ах + Ьуг + с. Ох Ор Общее решенно: ю = ах + Ьу — с Ф хФ(рддх). ах + Ьу = сто + х(Ях +'уу) + б. Ою Ою Ох ау 1'. Общее решение при с ~ 2а, с ф а + Ь: ю = — — Ч- хг Ч- ху Ч- х'д "Ф(р~х[ ~ ). с 2а — с а-1-Ь вЂ” с 2'. Общее решение при с = 2и, а ф Ь: ю = — — -1- — х" 1пф — туйх Ф(р[х! ). Ь д г 7 г — ь2 с а и — 6 3'. Общее решение при с = а + 6, а ф б: и = — — Ф вЂ” х Ф вЂ” хр!п(х(-6 хФ(ду(х! н). Ь -ь! с а — Ь а 4'.
Общее решение при с = 2а, а, = Ь: ю = — — + — х(!)х + 7р) !и !х~ + Ф ( — 2!. б 1 Гр'д с а х 112 Оинввньщ юлвнания вилл Дх, у) о„+ д(х, У) 'о", — — Ьд(х, У)до+ Ьо(х: У) дю г д г 5. ау — + (Ьгх + Ьдх+ Ьо) — = (сгх + сдх+ со)ю+ ягх + ядх+ яо. Вх др Часдный слУчай УРавнениЯ 5.8.!.1! пРи 6 = 1, /д(х) = а, /г(х) = Ьдхг Ч- Ьдх + Ьо, д(х) =с хги с хес,6(х) =я хдея хечо. 6. ау — + (Ьдт, + Ьо) — = (сдх + со)ю+ ядх + яа. ,д г дю г г д ' др Частный слу чай уравнения 5 8 !.1 ! при Ь = 2, /д (х) = а, /г(х) = Ьд ха! Ьо, д(х) = сдхг+со, 6(х) = их Ф во 7. (адх + ао) — + (у + Ьгх + Ьдх + Ьо) — = г Вю г Вю Вх Вр (сгу + сдх + со)ю + деггу + «ддгху + йддх + Йо. Частный случай уравнения 5 8 3 4 при/(х) =одхд-!-ао, для) =1, да(х) =6 хаебдх+Ьо, 6(х, У) = еду + с1 х + со, Р(х, У) = Аггу + !сддху+ 1с1д х + Йо.
8. (адх +ао) +(Ьгу +Ьдху) =(сгу +сдх )ю+вггу +ядгху+ящх +яо. г дю г ддо г г г г Вх др Частный случай уравнения 5.8.3.5 при Ь = 2, Д(х) = од ха Ч- ао, дд (х) = Ьдх, до(х) = Ьъ !д(х, Ц) = сдр + сдх, Р(х, Ц) = ягор + л1гхЦ+ яд3 х + яо. 5.2.3. Коэффициенты уравнений содержат квадратные корни х и у дю дю 1. ах — + Ьу — = сею+ !3д/ху+ 7. дх др 1'. Общее решение при 2а ф а + Ь: ю = д/ху — — Ф х 'Ф(у!х~ ').
а -!- Ь вЂ” 2а а 2', Общее решение при 2а = а Ф 6.' ю = — д/ху !и '!х! — +,,/ху Ф(у!х( 2ч) . о о'Ь 3'. Общее решение при а = а = — 6: 1 ю = — (3л/ху-!- 1) -1- хФ(ху). а Вид дю 2. ах — + Ьу — = Лл/щурю+ )3ху+ 7. дх Вр 1'. Общее решение при 6 ф — а; ю = — — л/ху у— д д(а!6) / 2Л Л ' 2Лг о!Ь -1- ехр~ д/хр)Ф(х ' "у). 2'. Общее решение при 6 = — а: ю = — — л/ху Ф ехр( — л/ху !и!х!) Ф(ху). :Л Л а 3.
ау + бх = аю+ )3л/хх+ у. Вю Вид дх Вр Частный случай уравнения 5.8.1.!1 при )с = 1, /д(х) = а* 1д(х) = Ьх* д(х) = а 6(х) = дл/х Ф у. 4. ау — + Ьл/х — = аю+)3д/х+'7. д д дх ду Частный случай уравнения 5.8.!.1! при Ь = 1, /д(х) = а, дг(х) = Ьъ/х д(х) = а 6(х) =,Зд/х -!- 7. 5.2 Уравнения, соберя~сенцов снмненные функции ат/х — + Ьт/у — = аю+)Зх+ Гу+ б.
Вяо Вю дх др Общее решение: аб/х-~-ЬГ /р Вх , 'трфб иц Ф ехр( — ч/х) Ф(Ьч/х — ат/р). о- б. ач/х + Ь,/у = аю+;Зт/к+т. Вю дю дх ду д~хт г ад /за Общее решение: цс = — ' ' —, -Г ехр( — т/х)Ф(Ьч/х — а,/р). о 2ав а 5.2.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные степени х и у Вю дю а — +6 — =сю+Ьх у дх Вр Две формы представления общего решения: ю = ехр( — х) [ФГЬх — ау) -и, / х" ГЬх — и)н' ехр( — — х) г!х], гс ~Г и Г с ю = ехр! — р) [Фгбх — ар) -~- 21 р"'Гагр-~-и)о ехр! — — и) бр], Ь Ь+г 2' Ь где и = Ьх — ар.
При интецрировании а рассматривается как парамшр. 2. а +у =Ью+сх"у О др Общее решение: ю = и [ФГр е™) + с! у™ ~ г!а!ну — !пи) гтгу], 1!ри интегрировании и рассматривается как параметр. где и = у" с дю дю 3. х — + у — = ахто + Ьх у дх Ор Общее рещсинс: Ю = Е '[Ф( — ) -т ЬХ н'ун' / Х'"~" Е " Г2Х]. 4. х -1- у = ат/ха -1- уа ю -!- Ьх™у Вю Вю О Вр Общее решение: ю = екр(ат/схя+ ря) [Ф( — ') +Ьх у / х +" ехр( — ахт/1+ ив) Нх], При интегрировании и рассматривается как парамегр. р и = —. х д д я ах — +Ьу =ох у ю+рх у'.
дх др 1'. Общее решение при ап -Г Ьгп ф О: ю = ехр( х р ) [ФГр х а) + гкк!х.,р)], МД.,В)=р* —" ~х"" е-.(-.„;, --'.-' ) ' где и = р'х ", При интеГрировании и рассматривается как параметр, 8 В. Х. Зайнев, А д. Понянин 7. ат/у + Ьт/х = аю+,Зт/я+ т. Вх др Частный случай уравнения 5261.11 при Гс = 1/2, Лггх) = а, Ьггх) = Ьъ/х р(х) = а 1г(х) = Дц/х+ 7. 114 Линяйныв ьгьвнвиия видь Дхйу) — „+д(х,у) о" = Ьг(х,у)ю+ !ьо(х:У) 2'.
Общее решение при оп -1- Ьгп = О: ю = ехр( — 'х"У 1пх) <Ф(У'х ) ч-Ф(х,у)~, ь — ь г „. ь рй гх у'ехр( — — х у )(Ь1пх — Ц при Ь ф О, 'т'(аг У) =, ь, +рх ° у ехр( — — х у )(1пх) при Ь=О. а дю дгл ь 6. ах — + Ьу — = (сх" + ру )гп+ дх у'. Вх ду Общее решение: ю = ехр( + ) (Ф(у"х ) + дх у'Е~, Ь г Е= / х ехр( — — — и х )г!х~, оп, Ьгп где и = у'х, При интегрировании и рассматривается как параметр. 2 дю ВЮ 2 х — +аху — =Ьу ю+сх у вх ву 1'. Общее решение при а ф 1гг2: ю = ехр( — !) <Ф(х 'у) +ох '"у ( т'"" " ехр( — и х ) г!х~, где и = х 'у. При интегрировании гь рассматривается как параметр.
2'. Общее решение при а = 1/2: ю = ехр! Ь вЂ” '!пх)Ф(х у) Ч- -г12 2сх уо (га -1- 2п — 2)т — Ьу- 8. х — + ху — = у (ах + Ьу)ю + сх у 2 дю 2 дх ду Общее решение: < (ах ! Ьу)у ~ (Ф( у ) — ~ г„х„-2 < (а 4 Ьи)игхт ~ где и = уггх. При интегрировании и рассматривается как параметр. 9. ах + Ьх у = сх"уотс+ ях'у + г1. д вю р г б в ду Частный случай уравнения 5.8.3.3 при )(х) = ах", д(х) = Ьх'", Ь(х, у) = сх"уо, р(, ) г б+д 1О. ах + (Ьх у+ сх") = ях'учю+ г2. дх ву Частный случай уравнения 5.8.3гй при Д(х) = ах", дг(х) = Ьх, до(х) = схь, 6(х, у) = вход', Г(х, у) = г!.
11. ах + Ьх у = ею+ вх"уч+ т1. Вх ву Частный случай уравнения 5 8 3 5 при тг(х) = ах", дг (х) ьн О, до(х) = Ьх'" * Ь(хг У) = с Е(х, у) = ях"у + ой ядю дю 12. ау — + Ьх — = ею+ ахю. дх ду Частный случай уравнения 5.8,1, !1 при Гг(х) = а, 12(х) = Ьх", д(х) = с, 6(х) = чх 115 5 3 Уривнвн>ик сидвриеищив >кспинвнвин>внв>в функипи 5.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 5.3.1. Коэффициенты уравнений содержат зкспоненциальные функции 1. а — + Ь вЂ” = (се + ве'")ю+ йе" .
О Ор Общее решение: Г с л, в Ь Г и = екР— е Ф вЂ” е у! >Ф(бх — иУ) -1- — ( екР(их — — е — — е ° у! 4х~, 'Л Л Ьр и ий Ьр глен = Ьх — ир, Прн интегрировании и рассматривается как параметр. 2. а +Ь = дни +й Ох Ор 1'. Общее решение прн па + Ь(1 ~ О: Ь ю = ехр( еи ~ви) (Ф(бх — иу) + — / ехр[ух — е ~ >1х(, иа -1- Ьд и иа -1- Ьд тле и = Ьх — ир. При инте>рированни и рассматривается как параметр.
2'. Общее решение при иа -1- Ьд = 0: Г с и -!.ввл йв " ю = ехр( — хе )Ф(Ьх — ар) + и и"> — се'*"твв ' 3. ае л„дн> + Ьеп = се'"ю+ ве" + и. „Ои> 6 дх Ор Частный случай уравнения 5 8 3 4 прн Г(х) = пел', д>(х) =О, до(х) =Ьеа',6(х, р) =сет", г'(х, р) = вен* 4. аее + (Ьет + се ") = яю+ йеи" Ь ". О Ор Частный случай уравнения 5.8.3.б прн Г(х) = ие ', д> (х) = Ьео*, до(х) = с, 6(х, р) = я.
х'(х, р) = йеи'~вв. 5. аени + (Ьет + се ") = яен + "ю+ й. О* Ор Частный случай уравнения 5.8.3.б при Г(х) = ие>в', д>(х) = Ьет', до(х) = с, 6(х, у) = яе"кч и, Г(х, р) = й. б. аеп +Ьет г"и =се" +й и т~и+>1 Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.3.б при Г(х) =оея", д>(х) =О,до(х) =Ьет*, 6(х, у) =се ", Р(х, р) = йен*'юв + >1. 7. ае" +Ьхп =ею+не' . лидю н дю '> Ох Ор Частный случай уравнения 5.8.1.! 2 прн Г> (х) = и, Га(х) = Ьх >', д(х) = с, 6(х) = яе>'.
8. ае" +Ьхн =се' ю+я. ,„ О и. О Ох др Часп>ый случай уравнения 5.8.1.12 при Г> (х) = и, Га(х) = Ьхо', д(х) = сот', 6(х) = я. 5.3.2. Коэффициенты уравнений содержат зкспоненциальные и степенные функции 1. — + (аел у+ Ьх ) — = ею+ йе"". дх Ор Частный случай уравнения 5.8.1.7 при Г(х) = 1, д>(х) = пел*, до(х) = Ьх", 6>(х) = с, Ьо(х) = Гнет*. лиивйныв юлвнвния вилл Дх,у) — „"' +д(х,у) в",' = Ь1(х,у)ю+ 6о(а':у) ПЬ вЂ” -1- (ае у+ Ьеи ) — = ею+ йе ' а ау Частный случай уравнения 5.8.1.7 при Д(х) = 1, до(х) = ие"', до(х) = Ье, 61(х) = с, Ьо(х) = Ье *. — + (ае у + Ье~ ) — = сю + Ьх дх ау Частный случай уравнения 5.8.!.7 при г(х) = 1, д1(х) = сел*, до(х) = Ьев*, Ьо(х) = с, Ьо(х) = Ьт, — + (ае + Ьх ) — = ею+ Ье дю ля я дю 7 дх ду Частный случай уравнения 5.8.1.10 при 7(х) = 1, д1(х) = 6хл, до(х) = и, Ья(х) = с, 61(х) = О, Ьо(х) = Ьео '.
х — +у — =ахе ю+Ье дю дю дх ду Общее рсшснис ю = ехр( г " " )(Ф( — ') ч-6/ охрах — е яш'] — ), олс и = у/х. При интс|рировании и рассматривается как парамс|р. х — + у — = (ауе + Ьхе' ")ю + се ах оу Общее решенно: гле и = у/х. При интегрировании и рассматривается как параметр. , о,. о ах ву Частный случай уравнения 5.8.1.!1 при 21(х) = и, уя(х) = Ьел', д(х) = 1, 6(х) = сел'.
ае" +6х =ю+се л„аю , вю Р ах ду Частный случай уравнения 5.8.1. !2 при ~~(х) = и, Уя(х) = Ьх, д(х) = 1, 6(х) = се '. ае — + бе — = ю+ ох . л. дю и дю я дх ду Частный случай уравнения 5.8.1. !2 при 6 (х) = а, 7 я(х) = Ьс~', д(х) = 1, 6(х) = ох~. 1О. 5.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 5.4.1. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический синус 1. а + Ь = ею+ вЬ (Лх) вЬ (Ду), ах ау Частный случай уравнения 5.8.2. ! при г" (х) = вЬ~ (Лх), д(у) = вЬ (,9У).
2. а — + 6 — = свЬ (Лх)ю+ явЬ~(,Зх). дю аю я ах ду Частный случай уравнения 5.8,1, ! при 7(х) = вйв(Лх), д(у) = вЬ" (1!х). л дю о л ае — + Ьу — = ю + се дх ду Частный случай уравнсния 5.8.!.7 при 7(х) = ое *, д~(х) = Ь, до(х) = О, Ьг(х) = 1. Ьо(х) = сел". 5.4. Уравнения, содерхенюнд гняероолнчеенне фун Чнн а вЬ (Лх) — + 6яЬ™(гдх) — = с вЬ (их)ю + ряЬ (13у). а а ах ау Частный случай уравнения 5.8.3.4 при У(х) = п яЬн(Лх), дд(х) = О, до(х) = 6вЬ'"(рх), 6(х, р) = ся1д" (их), Г(х, р) = ряЬ"н3д). а яЬ (Лх) + 6 яЬ (!дх) = с яЬ" (иу)ю + р я1д'()Зх). вх ар Частный случай уравнения 5.8.3.4 прн Д(х) = пвЬ" (Лх), до(х) = О, до(х) = Ьяй (рх)* 6(х, р) = сяЬд (иу) Г(х, р) = рвЬ'(!)х). 5.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
