В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 17
Текст из файла (страница 17)
~аЛ Ьр о а 2. а + Ь = свЬ(Лх+ ру)ю. дх ду Общее решение: ехр < сй(Лх+ ру)~ Ф(Ьх — ау) при аЛ + Ьр ~ О, аЛ -~- Ьр Гс ехр ~ — х чй(Лт, -1- ру)1Ф(Ьт — ау) при аЛ Ф Ьр = О. а дю д|е 3. х +у = ахвЬ(Лх+ ру)ю. Ох ду ах 1 /УЛ Общее решение: ю = ехр[ сй(Лх+ ру)1Ф! — ). с Лх -Г Ру х 4. а + ЬяЬ (Лх) = [свЬ (рх) + яяЬ" ()ду))ю, Ох Оу Частный случай уравнения 4.8.44 при У(х) = а, дь(х) а— я О, де(х) = Ьвй'(Лх), Ь(х, у) = с ай"'(рх) Ф явйа(йу).
95 4.4. Уравнения, содерхсощие еинерболические функции а — + ЬяЬ (Лу) — = (есяЬ (рх) + яяЬ" ()Зу)~ю. ах ау Частный случай уравнения 4.8.2 4 при т(х) = а, д(у) = 6яЬн(Лу), Ь~ (х) = сяЬ'"(рх), Ьа(у) = яяЬ"(ду). 4.4.2. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический косинус 1. а + Ь = е1ссЬ(Лх) + lссЦру)1ю. а ау ( с у Общее решение: щ = ехр ( — яЬ(Лх) + — яЬ(ру)~ Ф(Ьх — ау). ~аЛ Ьр, а + Ь = ссЦЛх+ ру)ю. Вю ато Вх Ву Общее решение: ехр~ яЬ(Лх-1-ру)~Ф(Ьх — ау) при аЛ-1-Ьр ~ О, <аЛхрр и~ = Гс ехр ~ — х сЬ(Лх + ру)] Ф(Ьх — ац) при аЛ+ Ьр = О. а аю Вю х — + у — — ах сЬ(Лх + ру)ю. а ау ах 1 /ут Общее решение: ю = ехр) яЬ(Лх -р ру)) Ф( — ).
[Ля+ну а -1-6сЬ (Лх) = (ссЬ™(рх) + всЬ ()ту))ю. Вх ау Частный случай уравнения 4.8.4.4 при У(х) = а, уя(х) = О, до(х) = ЬсЬ" (Лх), Ь(х,у) = ссЬ (рх) + ясЬ" (Ду). а + ЬсЬ (Лу) = (ссЬ '(рх) + ясЬ" (!ау)~ю. ах ау Чассный случай уравнения 4.8.24 при 2(х) = а, д(у) = ЬсЬ" (Лу), Ья(х) = ссЬ™(рх), 1и(у) = ясЬ (Ду). 4.4.3. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический тангенс аю а 1. а — + 6 — = !сЬЬ(Лх) + й ЕЬ(ру)) ю. дх Ву ~ с Ь Общее решение: ю = схр ~ — ' !п сЬ(Лх) Ф вЂ” 1и сЬ(ру)) Ф(Ьх — ау). ~аЛ ' ' Ьр а а 2. а — + 6 — = сеЬ(Лх+ ру)ю. а ау Общее решение: ю ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ с ехр< !псЬ(Лх+ру)~Ф(Ьх — ау) при аЛ+бр ф О, аЛ -1- бр.
ехр< — хтЬ(Лх -1- ру)1Ф(Ьх — ау) при аЛФЬр=б. Впя Вю 3. х — + у — = ахеЬ(Лх+ ру)ю. Вх Ву Общее решение; щ = ехр~ ' 1псЬ(Лх 4-ряу)~Ф( — ' 4. а — + 61Ь (Лх) — = 1сЬЬ (рх) + яСЬ"(Ду)|ю. ах ау Частный случай уравнения 4.8.44 при у(х) = а, уя(х) = О, до(х) = Ьтй (Лх), Ь(х, у) = стЬ'"(рх) -!- в тЬЯ(1яу). линейные тиывнения вилл !(х, у) в + д(х у) в = 6(х у)ю а — + Ь ЬЬ (Лу) — = [с ЬЬ (рх) + в ЬЬ Рр)1ю. Ох Оу Частный случай уравнения 48.24 при Д(х) = а,, д(У) = 61!У'(Лу), 61(х) = сЬЬ (рт), , !я(1,) 4.4.4. Коэффициенты уравнений содержат гиперболический котангенс а + Ь = [с сьЬ(Лх) + 6 сьЬ(ру)) ю.
Ох Ор с 6 Общее решении иГ = ехр( — 1п~вЬ(лх) ~ Ф вЂ” 1п[вЬ(ру)[)Ф(бх — ау). иЛ ьр а + Ь = ссьЬ(Лх+ ру)ю. Ою Ою Ох Ор Об1цее решение: ехр( 1п[в!в(ла: -1- ру) ~) Ф(бх — ау) при аЛ+ бр ~ О, ал -' ьр Гс ехр[ — хе!Ь(лх Ф ру)1Ф(бх — ау) при аЛ+ бр = О. а х +у = ахсьЬ(Лх+ ру)ю. О О о ор Общее решение: ю = ехр( 1п~вЬ(лх-Ь ру)~)Ф( — ). Лх -. ру х а + ЬсьЬ (Лх) = [ссеЬ (рх) + всьЬ (Ду)|ю. Ох ду Частный случай уравнения 4.8.4.4 прн !(х) = а, дв(х) = О, дв(х) = бс!Ь" (Лх), 6(хв у) = с ст!Гю (рх) + в сйй ' (Гду). а — + ЬсЕЬ (Лу) = [ссЬЬ (рх) + всСЬ (18у)~ю. дх Ор Частный случай уравнения 4.8.2 4 при Г(х) = и, д(у) = Ь с!6" (Лу), 6Г(х) = се!Ьы(рх), бе (у) = и стйв (О!Г). 4.4.5.
Коэффициенты уравнений содержат различные гиперболические функции а + Ь = [свЬ(Лх) + 6сЬ(ру)~ю. Ох Ор с Й Обп!ес решение: ю = ехр [ — сЬ(Лх) + — вЬ(ру)) Ф(бх — ау). ~ал ьр + Ь вЂ” = [ЬЬ(Лх) + и сЕЬ(ру) [ дю дю дх ду Общее решение: ю = сЬ ' (Лх) вЬ "(ру)Ф(Ьх — ау). Ою дю + авЬ(ру) = ЬсЬ(Лх)их Ох Ор Общее решение: ю = ехр[ — вЬ(Лх)]Ф(ирх — 1п !Ь вЂ”,!). [Л ! ! 2 — + а вЬ(,ау) — = Ь еЬ(Лх)ю. дю Ою о оу Общее решение: ю = сЬ (Лх)Ф(арх — !и ГЬ вЂ” !. ьтл Г ру Л 2 ! 4.5 Уровнвния. содврлсоигив ногорифшнивскив сдуикиии а в!к(Лх) — + Ь с!к(Гяу) — = ю. д дю ох ор П НГЛхЛ Г Г Ира Ьр ~ Лх Общсс решение: ю = гй ( — г1 Ф(2о шт48 (11г — ' ) Ф вЂ” 1п[сгй— а Ыт(Лх) + Ь с!!и(5ку) = ю.
вх ду Общее рсшснис: ю = в1ны" (Лх)Ф(сйв (ру) вй "(Лх)). 4.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 4.5.1. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические функции 1. а + Ь = с1п(Лх+)Зу)ю. Ою Ою дх Ор Общсс решение: оЛ -~- Ьд схр( ' (1п(Лх -1- ГЗу) — 1)~Ф(Ьх — оу) при оЛ ~ — Ь(З, ( с(Лх -1- ду) Гс схр [ — х 1п(Лх -1- ГЗу)] Ф(Ьх — оу) при оЛ = -Ьгд. о 2. а + Ь = [с1п(Лх) + 61п(1Зу)]тп, дх Ор Гс Ь Обгисс решение: ю = еяр [ — х(1п(Лх) — 1) Ч- — у(1п(дд) — 1)] Ф(Ьх — ау). о Ь 3.
а — + 61п (Лх) — = [с1п (рх) + в!п ()Зу)]ю. д д и дх др Частный случай уравнения 4.8,4.4 при 5(х) = а, дг(х) ив я О, до(т) = 61п" (Лх), Ь(х, у) = с 1п"' (р х) Ф в 1п" ((Зу) . 4. а — + Ь1п (Лу) — = [с!п (!их) + в!и (1Зу)]ю. дю ою и дх оу Частный случай уравнения 4.8.2.4 при 5'(х) = о, д(у) = 61п" (Лу), 1иг(х) = с1п (рх), и(О 5. 1п()Зу) + а 1п(Лх) = Ью!п(1Зу). д. ду Оба!ос рсшсннс; и = с ' Ф(и), гдс и = ох [1 — !п(Лх)] н- у [1п(~Зу) — 1]. б.
а1п"(Лх) + Ь1п~()Зу) = с!п (-Гх)ю. ох др Общсс рсшснис: ю=Ф(и)схр< — / ~ г1х~, гдс и=Ь/ „' — а/ 4.5.2. Коэффициенты уравнений содержат логарифмические и степенные функции 1. а + 6 = [схн+ в1п" (Лу)]ю. ох вр Общее рсшснис: ю = Ф(Ьх — оу) схр( х" ' Ч- — ' ~!пи(Лу)ГГу1. <о(н,-~-!) Ь 5 + а = [Ьу + сх у+ в1п" (Лх)]ю.
о оу Частный случай уравнения 4.8,1.3 при У(х) = Ь, д(х) = ст,"', Ь(х) = в1пи(Лх). 7 В. Ф. Вванвв, А Д Поляннн линейные Уелвнения Вил.' 1(х У) в, + д(х У) вя 6(х У)ю — -1- а — = Ь1п (Лх) 1п ()ду)ю. дю дю в а ар Частный случай уравнения 4.8.2.2 при Д(х) = 61п (Лх). д(р) = 1п (11У). -1- (ау -1- Ьх ) = с1п" (Лх)ю. О ар Частный случай уравнения 4.8.1.6 при 2(х) = Ьх", д(х) = с1пв(Лх).
дю дта ах — + Ьу — = х (и 1п х + тп 1п у) ю. о ор Частный случай уравнения 4,8лй4 при Д(и) = 1л и. ах" + Ьу = (с1п (Лх) + в1п'()ду))ю, о ар Общее решения ю = Ф(и) ехр~ — 1 х 1п"'(Лх)ГЬх 4- — 1 у "1п'(Оу) ГГУ~, ~а д Ь д 3. Ьх' Я ау' и— 1 †1 — и 4.6.2.
Коэффициенты уравнений содержат косинус дю Ою 1. а — + Ь вЂ” = с сов(Лх+ ру)ш Ох ау Общее решение: ехр1 ' вш(Лх яру)]Ф(6х — ау) при аЛ Ф Ьр ф О, ~аЛФЬр Гс охр[ — х сов(Лх -Ь ру))Ф(6х — ау) при ил+ Ьр = О. 4.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 4.6.1. Коэффициенты уравнений содержат синус Ою Ою 1. а + Ь = св1п(Лх+ ру)ю. Ох ар Общее решение; ехр < — сов(Лх + ру)~ Ф(Ьх — ау) при аЛ+ 6р ~ О, ю= аЛ -~- Ьр Г с ехр ~ — 'х яп(Лх Ф ру)~ Ф(Ьх — пр) при аЛФЬр=О. а 2. а + Ь = (сяп(Лх) + 6вш(ру)~ю. Ою дю ах ор с Ь Общее ре1пснис: и = ехр< — — 'сов(Лх) — — сов(ру))Ф(6х — ад).
аЛ Ьр дю дю 3. х +у = ахшп(Лх+ ру)ю. Ох Ор ах 1 Гул Общее решение; ю = ехр< — сов(Лх+ рр))Ф1 — ' Лх -~- рр х 4. а + Ьвш" (Лх) = (свш (рх) + вши (Гду)1ю, Ох Ор Частный случай уравнения 4.8.44 при 2(х) = а, д~(х) ив и О, де(т) = Ьяп" (Лх), 6(х, у) = сяп" (рх) Ч- вв1па(ЗУ). а . „о я 5. а — + 6шп" (Лу) — = [св)п (рх) + вши (1)У)1тп. Ох ар Частный случай уравнения 4.8.2.4 при 2(х) = а, д(у) = Ьяп" (Лу), 61(х) = сяп"'(рх), 6а(у) = вянв(оу).
4.б. Уроененгт, еодержоиггге тригониметри геение Фуннчии а — + Ь вЂ” = [с соя(Лх) + 1с соя(ру)) иг. а а ах ар [ с ь Общее решение: иг = ехр [ — в!п(Лх) + — вш(ру)] Ф(ьх — ар). [,. ьг дю дю х — + у — = ах сов(Лх + ру)ю. ах Оу ах 1 г'ут Общее решение: иг = ехр [ яш(Лх+ ру)] Ф( — ). ~л*чрр ' а + 6соя" (Лх) = [ссовю(рх) + всея"(Ду))ю. Ох ар Частный случай уравнения 4.844 при у(х) = а, дг(х) = О, до(х) = Ьсов" (Лх), ьг(х, у) = ссов"'(рх) Ф в точь(гду). Ою Ою в а — + 6соя (Лу) — = [с сов (рх) + ясов (13у)~ю.
дх ар Частный случай уравнения 4.8.2 4 при т(гс) = а, д(у) = 6 сове(Лу), Ьг(х) = с солт (рх), Ьг(у) = ясоян(ду). 4.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс Ою Ою 1. а — + Ь вЂ” = сЬк(Лх+ ру)ю. а ар Общее решение: с ехр( — 1п~сов(лх+ ру)!)Ф(ьх — ар) при аЛ ~ — Ьр, ю= аЛ -~- Ьр Гс ехр [ — х 18(лх + ру)] Ф(Ьх — ау) при аЛ = -Ьр. а 2.
а — + 6 — = [сЬК(Лх) + 6ЬК(ру)1ю. дю дю Ох др е ь Общее решение: ю = ехр( — — 1л~сов(лх)[ — — 1п[сов(рр)~) Ф(ьх — ау). аЛ ьр дю дю 3. х +у = ахеи(Лх+ ру)ю. ах ар ах г' р т Общее решение: и = ехр(— 1п~сов(лх -1- рр)[)Ф( — '). Лх-~- рр 4. а + ЬЬК (Лх) = [сЬК (рх) + яЬК ((Лу)1'ю. ах ар Частный случай уравнения 4.8.4.4 при У(х) = а, дг(х) = О, до(х) = 618и(Лх), 6(х, р) = сект (рх) + в 18 (Ду).
5. а + ЬЬК (Лу) = [сЬК~(рх) + яЬК ()лу))ю. дх Ор Частный случай уравнения 4.8.24 при ~(х) = а, д(у) = Ьтк" (Лу), Ьг(х) = с18 (рх) Ьг (1Й = Я 18" Рр) . 4.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс ао а 1. а — + Ь вЂ” = ссЬК(Лх+ ру)ю. ах ар Общее решение: ехр( 1п)вш(лх+ ру)!)Ф(ьх — ау) при аЛ ~ — 6р, (ал+ ьр ю ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ с ~~ Гс ехр [ — х сь8(лх -1- ру)] Ф(ьх — ау) при аЛ = — Ьр.
а линейные явввнвния вилл 2(х,у) а" + д(х у) лая = Ь(х у)ю 2. а — + Ь вЂ” = [ссЬК(Лх) + лесей(!лу))ю. а а. ах ар Общее решение: ю = сир ( — 1п!в!п(Лх) [ + — 1п[в!п(Ьлу) [) Ф(Ьх — ау). Г с Ь иЛ ьи 3. х + у = ах сьн(Лх + ллу)ю. Вю Вю Вх Вр ах л' р Л Общее решение: ю = ехр( 1п~яп(Лх -!-УУ)!)Ф( — 'лл.
Лх -!- ур х 4, а + 6 сьх (Лх) = [с сей (Глх) + в сей (Ду)) ю. Вх ар Частный случай уравнения 4.844 при л(х) = а„дл(х) = О, до(х) = !лсвй (Лх) 6(х, у) = с сей (ух) -1- и сей '(ДУ). 5. а + Ь сей (Лу) = [с сСК (Глх) + в сей ()Зу)) ю. Вх ар Частный случай уравнения 4.8.2.4 при дх) = а, д(у) = Ь сей" (Лу) Ьл(х) = ссвй (дх): 6 (у) = в с!8 (Ву). 4.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции 1. + а = !Ь вил(Лх) + й сов(лау)~ю. Вю Вю в. Ву [ й ь Общее решение: ю = ехр [ — я1п(уу) — — сов(Лх)~ Ф(ах — у). ~ан ' Л 2. — + а — = [6вш(Лх) + й ЬК(лау)~ю. дю Вю Вх ду Общее решение: ла = ехр ~ — — сов(Лх)1 сов 2'"(уу)Ф(ах — у). Л З. + !п(ллу) = Ь ЬК(Л ).
а . а Вх Вр Общее решение: ю = сов (Лх)Ф! арх — 1п 48 — !. -лЛл л' Ир Л 2 Вю В ли 4. — + а ЕК(1лу) — = Ью вш(Лх). ах ар ь Общее решение: ил = ехр ~ — — сов(Лх)~ Ф(аах — !п(яп(тлу) [). Л 5. вш(Лх) + а = Ью сов(ллу). аю а дх Ву [ь Лх Общее решение: ил = ехр[ — в1п(ллр)!Ф(ЛУ -Ь 6!и[с!8 — л1. 1аЛл ' ' 2 Вю дю б. сЬК(Лх) — + а — = Ью СК(ллу). дх ду Общее решение: ю = сов Л"и(др)Ф(ЛУ 4 Ь!и[сов(Лх) !). 4 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
