В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а* ор ах л'УЛ Общее решение: пл = — сов(Лх -~- ру) -~- Ф ( — ' Лх -~- ру дло о +Ь ° (Л ) = .. (р. )+ - (лду). Ох ар Частный случай уравнения 3.8.4.4 при Дх) = а, дл(х) ив в О, до(х) = Ьвш" (Лх). 6(х, у) = с вш (рх) -Ь всйп (ау). Внл . о Вю и а + 6 вши(Лу) = сяш (рх) + ваш (,Зу). дх ду Частный случай уравнения 3.8.24 нри Д(х) = а, д(у) = Ьв1п" (Лу), Ьл(х) = св1п (рх), бе (у) = в шп (,Зу).
3.6.2. Коэффициенты уравнений содержат косинус Вю дю 1. а — + Ь вЂ” = ссов(Лх) + асов(ру). ох ар е Ь Общее решение: ю = — я1п(Лх) -~- — в1п(ру) -~- Ф(Ьх — ау). аЛ Ьр а + Ь = с соя(Лх + ру). дю дю ах вр Общее решение: с шп(Лх -~- 1лу) -~- Ф(Ьх — ау) при оЛ -~- Ьр ф О, Ю еи с — х сов(Лх+ ру) Ф Ф(Ьх — ау) при аЛ -~- 61л = О. а дю дю х — + у — = ах, сов(Лх + ру). а* ор ах л' у Л Общее решение: ю = в!п(Лх+ ру) + Ф( — 1. Лх Ф ру л а „в и а — + Ь сов (Лх) — = с сов (рх) + в соя ()3у). Ох ву Частный случай уравнения 3.844 при Д(х) = а, дл(х) = О, до(х) = Ьсов" (Лх), Ь(х, у) = снов"'(рх) -~- ясов (блу).
а. а и а — + Ь сов (Лу) — = с соя (рх) + я сов (,Зу). ах ар Частный случай уравнения 3.8.24 при Д(х) = а, д(у) = Ьсояо(ЛУ), Ьл(х) = ссов (рх), Йя(у) = в сойн(ау). Линейные ттйвнвнна вилл ((х,р) в +д(х,у) в = 6(х,у) 3.6.3. Коэффициенты уравнений содержат тангенс о В + Ь = сСК(Лх) + 6 ЬК(рр). Ох Ор с Ь Оби!ее решение: ю = — — ' 1п]сов(Лх] ! — — !п !сов(ру) ! + Ф(Ьх — ау). аЛ Ьр а + 6 = сСК(Лх+ ру). Ою Ою в вр Общее решение: с — !п]сов(Лх-Ь ру)! ч-Ф(Ьх — ау] при аЛ Фбр ~ О, аЛ -1- Ьр с — х ЬК(Лх -1- ру) Ф Ф(Ьх — ау) при аЛ -1- Ьр = О. и Ою Ою х + у = ах СК(Лх + ру). Вх Оу Общее решение: ю = — !п!сов(Лх -1- ру) ~ Ф Ф( — ' ах /рт Лх Ф ру х дю Ою й а — + 6СК (Лх) — = сСК (,их) + вЬК (13у).
О. Оу Частный случай уравнения 3.8.4.4 нри ((х) = а, д1(х) = О до(а:) = ЬСК (Лх)* 6(х,у) = с!К (рх)-!-всК" ((1У). о -1- ЬСК" (ЛУ) = с!К (Рх) + века()ЗУ). Ох вр Частный случай уравнения 3.8.2.4 при 1'(х) = а, д(у) = Ьски(ЛУ), !н (х) = стК"'(рх), ! (У) = 'скй(ВР). 3.6.4. Коэффициенты уравнений содержат котангенс Вю Ою 1. а + Ь = соек(Лх) + 6 с!к(ру). Ох Ор с /с Общее решение: ю =:!п!вп1(Лх) ! + — 1п!в1п(ру) ~ + Ф(Ьх — ау).
аЛ Ьр Оти дн1 а — + Ь = ссСК(Лх+ ру). Ох Ву Общее решение: !п~вй1(Лх+ру)]-Ь Ф(Ьх — ау) при аЛ-1-Ьр ф О, иЛ -!- Ьр ю= — х с!К(Лх -1- ру) -!- Ф (Ьх — ау! при аЛ+ Ьр = О. Вю Вю х + у = ах сСК(Лх + ру). Ох Ор Общее решение: 1с = !и!в!п(Лх Ф ру)( Ф Ф( — ' ах /УЛ Лх Ф рр х а — + Ьсек" (Лх) — = ссСК (рх) + в сека()3У). Ох вр Частный случай уравнения 3.8.4.4 при Дх) = а, д1(х) = О, до(х) = Ьсск" (Лх). 6(х, у) = с с!К"' (рх) + в с!К (Вр). а — + Ь сЬК (Лу) — = с сек (рх) + в ссК Ру). О дю й Ох Оу Частный случай уравнения 3,8.2.4 при ~(х) = а, д(у) = Ь ссКи(ЛУ), 61(х) = с с!К"'(рх) Ьв(у) = в с!К ((!У). 3 7.
Уравнеллин, еодеролеощлле обраплнпле плрллгононелпрлл«ееллие функанн 3.6.5. Коэффициенты уравнений содержат различные тригонометрические функции вщ в 1. а — + Ь вЂ” = в!п(Лх) + с сов(ру) + й. дх Ву Ь е Общее решенно: ю = — х — — соя(Лх) + — яп(ру) -Ь Ф(Ьх — ау!. а аЛ Ьр 2. а + 6 — = ЬК(Лх) + свш(ру) + й. Вил Вмю Вх. Ву й 1 с Общее решение: ю = — х — — !и!соя(Лх)) — — соя(ру); — Ф(Ьх а аЛ Ьгл — ау). а + Ь = щп(Лх) соя(ру) + с. Вил Вко Вх Ву Общее решение: с соя(Лх — ру) соя(Лх -!- ру) х -1- Ф!Ьх — ау! а 2(аЛ вЂ” Ьр) 2(аЛ -1- Ьр) с х .
Г р 1 сов(Лх -1- Глу) ил = — х -Ь вЂ” яш~ — (Ъх — ау)1— Ф Ф(Ьх — ау) а 2а "а 2(аЛ -!- Ьр) х . Гр 1 соя(Лх — ру) — х — — яп ~ — (Ьх — ау)1 — ' + Ф(Ьх — ау) а 2а а 2(аЛ вЂ” Ьр) при аЛхЬр р-О, при аЛ вЂ” Ьр = О, при аЛ+ Ьр = О. а + Ьвш(ру) = сов(Лх) + с. в .
в Вх Ву с 1 1 Общее решение: и = — х -1- — яп(Лх) + Ф(и), где и = Ьрх — а !п ~СК( —,ру) ~. а аЛ Вил Вил а + Ьск(ру) = яш(Лх) + с. Вх ву с 1 Общее рслнснис: ю = — х — — соя(Лх) + Ф(а), гпс и = Ьрх — а 1п)я!п(ру) ~. а а,Л а + ЬЬК(ру) = сЬК(Лх) + с. Вх Ву с Общее решенно: и = — 'х — — 1п)в!лл(Лх)~ + Ф(и), гпс и = Ьрх — а1лл!вш(ру)~. а аЛ 3.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 3.7.1. Коэффициенты уравнений содержат арксинус Вю Вил .
и у 1. а + Ь = сагсялп — + йагсяш в ву Л Общее решенно: ю = — ! хагсв!п — Ф л7Л вЂ” х' 1 -1- — ~унеся!п — -!- 17  — у' ! -!- Ф(!лх — ау). — л Ъ',) ь (, Вил Вкю 2. а — + Ь вЂ” = с агсщп(Лх + )'.)у). Вх Ву 1'. Общее решение при аЛ -1- ЬГ1 ~ О: !р. вн ггилл .вс их:О* ВЕ ! лрл* — О. аЛ -1-ЬВ Е 2'. Общее решение нри аЛ+ ЬВ = О: е ю = — х вгсяш(Лх -1- лл)у) -1- Ф(Ьх — ау). а Линейные ьтьвняния яилй 1(х,у) в +д(х,у) л = 6(х,у) 80 а аю 3. х — + у — = ахагсшп(Лх+)Зу). ах ар оь -ь.
-: =-( * Ььп+ьььЬ .,ьй 4. а — + Ь агсвш (Лх) — = с агсвш (Гьх) + в агсвгп ()ЗУ). аг .„а й ах ар Частный случай уравнения 3.844 при 7(х) = а, дь(т) = О, да(х) = 6агсвш" (Лх), 6(х, у) = сагсшпы(Гьх) -~- я агсыпг((Зу). 5. а + Ьагсшп (Лу) = сагсвш (Гьх) + вагсв1п ()Зу). дю дю й дх ар Частный случай уравнения 3,8.2.4 при Д(х) = а, д(у) = Ьагсв1гь'(Лу), Ьь(х) = сагсвьп (нх), Ья(у) = яагся1п (1)у). 3.7.2.
Коэффициенты уравнений содержат арккосинус а а х р 1. а — + Ь = с атосов — + 6 агссов —. Ох ар Л Общее решение: ю = — ( х атосов — — Чь Лг — хя ) -1- — 1 у агссоя — ' — ь,ь ГЗя — ув ) -6 Ф(Ьх — ау). а Л 6~' а дю дю а — + Ь = с агссов(Лх + )Зу). др 1'. С)бщее решение при аЛ -1- Ь)З ф О: 1ьь япь и, ° ьл — ьт-ьь +ь~г/ ььь — „ь. аЛ 4 6О 2'. Общее решение при аЛ + Ь(3 = О: с нь = — х атосов(Лг.
-6 (Зу) Ф Ф(Ьх — ау). а а а 3. х + у = ах агссов(Лх + )Зу). Ох др ~ь ь:»= ~ '-а+аь- 1+ь( — ) — айЬ' г +ЬГ х 4. а + Ьагссов (Лх) = сагссов (Гьх) + в атосов ()Зр). Ою Ою й дх ар Частный случай уравнения 3.8.4.4 при 7(х) = иь дг(х) = О, до(х) = Ьагссов" (Лх), 6(х, у) = сагссов"(рх) -~- я агссовй(бу). 5. а + Ь атосов (Лу) = сагссов (Гьх) + вагссов ()Зу). Ою дю й дх ар Частный случай уравнения 3.8.24 при Г(х) = и, д(у) = Ьагссовч(Лу), 6ь(х) = с атосов (Гьх), 66(у) = я атосов (,Зу). 3.7.3. Коэффициенты уравнений содержат арктангенс дге Ою х р 1.
а + Ь = сагсЕК вЂ” + Ьагсев —. ах ар Л О Общее решение: сГ х Л г г! ЙГ и д 2 2 ! ю = — ~х агстб — ' — — 1e(Л -1- х )~ -1- — 1у иссек — ' — — 1п(13 Ф у )1 + Ф(Ьх — ау). а Л 2 ь а 2 3 2 Урииненин, собсртсищие обратные триеонтитлрикеские функции о о а — + Ь вЂ” = сагсек(Лх + 1Зу). ах оу 1'. Общее решение при сЛ + ЬЗ ф О: ю = ((Лх + Зу) агс18(Лх + Зу) — — 1п [1 + (Лх + Зу) ] ) + Ф(Ьх — ау).
оЛ+ Ьд 2 2". Общее решение при аЛ -~- ЬЗ = О: ие = — 'х агс18(Лх + Зу) + Ф(Ьх — ау). а о а Х + у = аХагсСК(ЛХ+ !Зу). о ау Общее решение: ,( а8(Лх+З!7) — 1 ! [х'+ ', 1) +Ф[ У ]. а + Ьагсек" (Лх) = сагсск™(1ях) + вагсСК (Зу). ах ду Частный случай уравнения 3.844 при 7(х) = а, д1(х) — = О, да(х) = Ьагсск (Лх) 6(х, у) = с агссбт(рх) + 6 агссйя(ду). а а й а — + Ьагсек" (Лу) — = сагсек (рх) + вагсек (Зу). ах ау Частный случай уравнения 3.824 при 7(х) = а, д(у) = Ь агссйи (Лу), 6! (х) = с агсейо' (рх), 6я(д) = е агссбв(ЗУ).
3. 6 В. Х. Валпея, А Д Пяляния 3.7.4. Коэффициенты уравнений содержат ерккотенгенс Ош дто х у 1. а + Ь = сагссСК вЂ” + 6 агссек —. ах Оу Л Обшее решение: ю = — ' [хассе!8 — + — !п(Л + х )] + — [уагсс18 — + — 1п(,3 + у )] + Ф(6х — ау). сГ х Л в е! ЬГ У д г е! о Л 2 6 д 2 аш аю 2. а — + Ь вЂ” = с агссек(Лх +,Зу). о оу 1'. Общее решение при аЛ+ Ь,З ф О: ю = ((Лх+ Зу) агсссй(Лх+ Зу) + — 1п[1+ (Лх+ Зу)я]) + Ф(Ьх — ау). аЛхбд ( 2 2'. Обшее решение при аЛ + ЬЗ = О: ш = — х агсс18(Лх -1- Зу) + Ф(Ьх — ад). а Вю аю 3. х + у = ахагссСК(Лх+(Зу).
о ау Общее решение: ю = пх(атсс18(Лх + Зу) + 1и [х +, ] ) + Ф( — ) . 4. а — + Ьагсс18 (Лх) — = сагссек (Гех) + вагссск ()Зу). дх ду Частный случай уравнения 3.8.4.4 при 7" (х) = а, де(х) = О, до(х) = Ьагссеб" (Лт), 6(х, у) = сатсс68'"(рх) -1-6агсс18 (Зу). 5. а + Ьагссеб (Лу) = сагссек™ (Гех) + вагссск (!Зу). ах ау Частный случай уравнения 3.8.2,4 при ((х) = а, д(у) = Ьагсссби(ЛУ), 61(х) = с агсс18 (ух), Ьв(у) = латсс68"(Зу). линвйныв Ятавнвина вила Г(х, У) а + д(х, У) л, = Ь(х У) 82 ю = р(х)у Ф Ф(х) у -» т(х) -~- Ф(у — ах), где 9с(х) = ) Г(х)дх, Ф(х) = ~[д(х) — 2ау(х)] ах, К(х) = ( [Ь(х) — ай(х)]дх. Общее ре~нение: ю = 1 (у — ах+ а1) Г(1) г11+ Ф(у — их), где хс любое.
~ а дю дю л„ вЂ” +а — = )(х)е ". дх ду Общее решение: ю = сща "'~ ~ 1(х)с" * ах+ Ф(у — их). + [ау + у(х)] = д(х). Общее решение: ю = ( д(т) йх -1- Ф(и), где и = с "'у — / У(х)е' ' дх. — + [ау+ 1'(х)] — = д(х)у . дх ду Частный случай уравнения 3.8.2.3 нри Ь(у) = у~. д д Х(х) — + у — = д(х).
дх ду Общее решение: где и= уохр~ — / ] "Рн х = 1. ю = / ах+ Ф(и), д(х) Дх) Г(х) — + (у + а) — = бу+ с. дю дю дх ду ах Общее решение: ю = Ьу-1-(с — аЬ) 1и]у-» а]-» Ф(а), где и. = (у-» а)ехр[ — 1 1. / дх)] 1О. г(х) — + (у + ах) — = дю дю дх ду Общее решение: ю= / дх+Ф д(х) д' дх) д( ). (е "у — а / ах), где я= / 3.8. Уравнения, содержащие произвольные Функции 3.8.1. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции ш г ОбиГсс решение: и = — ~ Г"(х) ах -~- Ф(Ьх — ау). а Оа Лаюераиура Э.
Камне (1966) дю д 2. — + а — = у(х)у. дх ду Общее решение: ю = ~ (у — ах-» пг))'(1) аг-» Ф(у — ах), тле хо-. -любое. 3. + а = у(х)у + д(х)у+ Га(х). д ду Общее решение: 83 3 б Уравнении, содержащие произеоаенме ф>'ннщии 11. ее(х) — + [дт(х)у + до(х)] — = Ьа(х)у + Ьг(х)у + Ьо(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
