В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 15
Текст из файла (страница 15)
дх ду Общее решение: со = ~Р(х)У б Ф(а')у + Х(х) + Ф(в), и = е оу — / е а ро с( где а = (1 — Ь) 1' "(х) д . Х(х) Е(х) = ехр[Л 1 ' йх1. ,г Г (х) 14. У(х)у" — + д(х) — = Ь(х). дх ду г б.(г) Общее рсшессис: щ = Ф(и) -1- / ' [и+ Е(1)] г+' сМ, где Л, Г() и = у + — Е(х), Е(х) = (Ь+ Ц 1 с(х. хо любое. Пх) 15.
Х(х)у + [дг(х)у ~ +до(х)] =Ьв(х)у ~ +Ьт(х)у ~ +Ьо(х)д . дх ду Замена в = ует' приводит к уравнению вила 3.8.1.! 1: 1(х) — + (Ь+ 1) [д~(х)в+ до(х)] — = Ьа(х)е'-1- Ьс(х)в+ Ьо(х). и = е "— Е(х), Е(х) = Лг с(х, Г р(х) г' .Г(*) гле хо -- любое. 3.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у а — + Ь вЂ” = Г(х) + д(у). дю дю д ду 1 1 Г Общее решение: и = — 1 Г(х) с(х + — 1 д(у) с(у + Ф(бх — ау).
а б,/ — Г Ф(х) е-и)[ а гсс — Здор,( Г ее(х) + [дт(х)у + да(х)у"] = Ь(х). Г б(х) Общее решение; ~п = д1 с(х -1- Ф(н), где 1 Г(х) а с е ( „) /' а ра(х) Г(х) 13. У(х) — + [дд(х) + ди(х)е "] — = Ь(х). дш дш дх ду Общее решение: н~ = дг — 'с(х+ Ф(и), сде Г б.(х) 1 Г(*) т=е еЕ(х)+Л1 ''-'' Е(х)с1х, у(а) 16. Дх)е " + д(х) = Ь(х). дх ду Общее решение: и = Ф(н) -1- 6(1) иб ., Пг)[ д-Е(1)] ' С = С(х) = I Р' с1х, /' Л(х) = / о Род дт Г лггнейные юявнвния виля У(х,у) л +д(х,у) з",' = Ь(х,у) 84 — + и†= У(х)д(у).
дю дю ах ау Общее решение: и = ) У(1)д(гу — ат Фа!)Ж 4- Ф(у — ах), гле хо а любое. — + [ау+ У(х)] — = д(х)Ь(у). Общее регнение: ю = / д(х) Ь! е."Яи -1- е" / У(х)е "'" ггх) г(х -1- Ф(и), При интегрировании и рассматривается как параметр. У(х) + д(у) = Ьг(х) + Ья(у).
Обгцее решение: и = е ""у — / У(х)с " ' г(х. 3.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных аргументов 1. а + Ь = У(гях+)Зу). дх ду Общее решенно: з г ч 1 У(х) г)х+ Ф(Ьх — ау) при агг+ Ьгу ~ О, ао -1- Ьд — хУ(ох+ гуу) + Ф(Ьх — ау) при ао+ Ьгу = О, где л = ох + 73у, 2. х — + у — = хУ( — ).
ах ау Общее решение: ю = хУ( — ) + Ф( — ). Оя Лцгггерлгтра; В. Ф. Зайцев, Л. 28 Полянин (1996). ./ / У ./ ) Уг(х) — + [Уя(х)у + Уя(х)у ] — = 9(х)Ь(у). ах ду Преобразование б = ( з г!х, г1 = у приводит к уравнению нида 3.8.2.3: Уя *) г Й Уг(х) [(1 — Ь)у + Ь (б)] ~" = С(б)Н(~), ,„. Ь.(р) = (1 Ь) з * Г)(р) = Я х Уг(х) Уз(х) дю а ° Уг(х)дг(у) + Ув(х)дя(у) — = Ьг(х)Ьл(у). дх ду Преобразование 8 = [ г ггх, г! = ( ' г!у приводит к уравнению вида 3.8.2.2: Уз(х) Яг(У) гг(х) Яг(У) — "~ — '= Еа() " 'а= 'Ч(х) а(9)= "'"' дГ дл Уз( ) ' Яг(У) Уг(х)дг(У) + Уя(х)дл(у) = Ьг(х) + Ья(У). Частный случай уравнения 3.8.4.7 при Ь(х, у) =!гг(х) Ф Ьг(у).
85 3 д уравнения, водврягаиьив произвольнмв фуннаии 3. х — +у — =у(х +у ). а ато ах ар Общее ре!пенис: н~ = Ф( — ) + — д! ~(б) —, где б = х -(- у . у ! дь, 2 я Ов Гдьп~врап~ура: В. Ф. Зайцен, А. Д. Г(оляннн (1996). 4. х +у =хХ( — )+д(х +у ).
Общее решение: и = Ф ( — 'г1 -'г х!'( — ! Ф вЂ” д! д(с) —, где б =:в + у . ) (,) 2в' 6 Общее решение: втык — / х ! (х и т г(х+ Ф(и! прн ап. ~ — Ьггг, а — х Г(х у ) + Ф(и) ар — У(х' уп')!п ~х~ -Г- Ф(п) и при ап = — Ьгг!., Й р О, при апов — Ьт,Ь=О, где и = у" х '. Прн интегрировании и рассматривается как параметр. Ов Ланврап(ира: В. Ф. Зайцев, Л.
Д. Г!оляннн ((996!. б. тах + пу = У(ах" + Ьу ). ах ау 1 ! Общее Решение: щ = Ф(У'"т и) -!- д! ~(б) —, где б = ах" -УЬУ ат 7. х + ху = у у(тих+ ГЗу). я дго дга и ах ар Общее решение: ш = ' д! л' ' Г"(л) е(л-Ь Ф( — !, где х = ах -~-ду. гу'г ( т ду)ь — / хР 8. ( ) + ( ) = Гь(У(х) +д(у)). у() а* д(р) ар Общее решение: ш = Ф(н) + ( Ь(б) —, где и = ', 6 = дв(х) -!-д(у). ~Ц д(у) Х(х) ' 1. + а = д(х,у). а ар Общее решение: ги = !' У(Г, у — ах+ а!) ат+ Ф(у — ах), где хо любое. в*о 2. ах — + Ьу — = у(х, у).
дна дта ах ар Общее решение: ьо = — ) — 2'(х, и'~'х го) йх "; Ф(н), а, ,г т где и=у х -ь При интегрировании и рассматривается как царамегр. 3.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных лггнейныгг углвнВния видя»(х, у) в + у(х, у) л, )г(х у) 3. »(х) — + д(х)у — = Цх, у). дю д дх ду Общее решение: 1' й(х, аС) иг = Ф(и) 4- 1 ' г(х, » где и = — ', С = ехР|т»1 — г(х). С' 'т»» При интегрировании и рассматривается как параметр. Оя Люцерна|ура: В.
Ф. Зайцев, А. Д. Полянин (1996). 4. »(х) + [дт(х)у + до(х)] = Цх,у). Общее решение: / й(х,иСФЯ) у — (3 С где С = ехР(( — г(хтг, (1 = С Зг —. ПРи интегРиРовании и РассматРиваетса как »д 1»дой' l »» l»С параметр. ОЯ Литерал|тра, В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин (1996). »(х) — + [дт(х) + до(х)елн] — = Ь(хг у).
дх ду Замена л = е "" приводит к уравнению вида 3.8.4.4: дх дю Г 1 »(х) — — Л[ (*) +до(х)] —, = А(х, — — 1 ). дх д. (,' Л диг диг Ут(х)д (У) + Ув(х)да(У) — = Мх У). дх ду Преобразование 6 = 1 -' г)х, д = »1 ' ' г»У приводит к уравнению вила 3.8.4,1: Г »а(х) Г уг(у) / »,(*) " / д,(у) дю дгл — + — = »г(6, у), дб дп гле Г(б,д) = »г (|л)д| (у) 5. »(х) — + [дг(х)у + до(х)у ] — = дг(х,у). дх ду При к = 1 см. уравнение 3.8.4.3.
При У ~ 1 замена 6 = у' г приводит к уравнению вида 3.8.4.4: д|а дх | »(т) — Ф (1 — л) [дг(х)б -1- до(х)] — = гг(х, б ' — г ). дх дс (я) Лаглература: В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин (1996). 4.1. Линейные уравнения вида 1(~з У) а + 0(~~ У) д = М(~з У)1() 4.1. Предварительные замечания 4.1.1. Методы решения 4.1.1-1. Структура решения. Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка с двумя независимыми перемен- ными вила дю дю ((х, гу) —,;- д(х, у) — = й(х, у) д ' др Общее решение уравнении (1) можно представить в виде произведения иг = ююс, где гй - — любое нетривиальное частное решение этого уравнения, иго.
-. общее решение соот- ветствующего кукороченного» уравнения (при 6 = О). 4.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным. ди ди Д(х, у) — Ф д(х, у) — = 0 (и Рг сопас). дт '' др Переходя в (1) ог х, у к новым переменным з, и = и(я., у), получим ((х, и) — = Ь(х, и)ю, дх (2) где 7(х, и) = Д(х, у), гг(х, и) = )г(х, у) коэффидиенгы исходного уравнения (1), записанные в переменных т, и.
Уравнение (2) можно рассматривать как линейное обыкновенное дифференциальное уравнение для ю = ю(х) с параметром и. Его репгснис имеет вид ю = Ф(и) ехр[/ ' г(х], где Ф . - произвольная функция, при вычислении интеграла и рассматривается как параметр. Для нахождения общего интегрш~а уравнения (!) необходимо в последней формуле после интегрирования перейти к исходным переменным х, у. 4.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы. Если известны два независимых интеграла иг(х,у,ю) = Сг, из(х,у,иг) = Сг (3) характеристической системы дх др дю Лт р) д(х,р) б(х,р)иг то общее решение неоднородного уравнения (1) имеет вид Ф(иг, иг) = О, (4) где Ф -- производьная функция двух аргументов. Пусть известно частное решение и(х, у) (главный интеграл) соответствующего кукороченног о» одноролного уравнения линнйныв ьгхвнвния виль 7(х, р) л ф д(х,у) л ' = б(х, р)ю 88 4.1.1-4.
Сведение к неоднородному уравнению. Замена С = 1и 1ю! приводит к линейному неоднородному уравнению Ях; у) —, -Р у(х, у) — = )ь(': у), дб дб дх ' ду которое рассматривается в разл. 3.1.1. 4.1.1-5. Задача Коши. Задача Коши для уравнения (1) формулируегсв также как для «укороченного» уравнения при 6: — О (см.
равд. 2.1.2). Ее решение можно получить из формулы лля общего решения, в которую подставляются исходные данные. Можно использовать также метод, который основан на подстановке исходных данных непосредственно в интегршгы (3) характеристической системы (4) (этот метод описан в разя. 3.1.2). 4.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение (б) гле Ф = Ф(и) -. произвольная функлия. Общее решение исходного уравнения с частными производными (5) находится путем умножения решений (б) и (7): ю = ехр( — у )Ф(уе ). б Пример 2. Рассмотрим уравнение дю дю л — -1- ау — =.
бе рю, дх др юторое отличается от уравнения (5) только правой частью. Частное ре~иение и(х, у) соответствующего «укороченного» уравнения при Ь = О можно получить из формулы (7), полагая в ней, например, Ф(и) = и: и = ре Переходя в исходном уравнении от х, у к новым переменным х, и, после несложных преобразований дяя фуикдии ю =- и~(х, и) пояучим дю — = Ьие1'алию дх Интшрируя это уравнение по переменной х (и рассматривается как аараметр), имеем ехр [ е( +~~ < Ф(и) прв Л ж — а, ю= ~ а Л ~ ~ ~ ~ ~ [~ Ьи а -1- Л ехр(бих)Ф(и) при Л = — а, где Ф = Ф(и) -- произвольная функиия. Учитывая зависимость и = уе *, находим решение исходного уравнения ю ~ ~ ~ ~ и ~ ~ ~ Л о ~ л ~ ~ ~ и ~т Ь ехр( уе )Ф(ре " ) ехр(Ьухе ) Ф(уе ' ) при Л ю' — а., при Л = — а.
Пример 3. Рассмотрим уравнение да дю — + а — .— — Ью. дх, ду (8) ди дю — -1- ау —, — бр ю. (5) дх др Частное решение этого уравнения ю ищем в виде фун клин, зависящей только от переменной р. В результате имеем ю = ехр( — у ). Общее решение юо соогвеюгвуюшего «укороченного» уравнения при 6 = О, полученное с помощью характеристического уравнения (см. Равд. 2.1.1), дается формулой юо — — Ф(уе ), (7) 4.2 Уравнения, содержиииге степенные функцитзг Пва нсзависимых интеграла соотвстствующсй характеристической системы дх йр йю ! а бю (9) имвют вид ю = е 'Р(у — их), где ф(н) произвольная функция. Пример 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
