В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка (1120426), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Частный случай уравнения 4.8.4.7 прн Ь(х, у) = 6~ (х) -Ь Ьв(у). 4.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции сложных аргументов дш дто 1. а — + Ь вЂ” = 3ь(гкх+)Зу)ш. дх ду Общее решение: 1 ехр [ 41 3'(нь) да]Ф(Ьх — ау) при ао+ ЬО ф О, ~ аа Ф Ьд Г1 ехр[ — х1(ах+(Зу)~Ф(ьх — ау) прн по+ Ьр = О. где и = ох + 13у. линейные ИРАВнения ВидА У(х,у) а +д(х у) В = 6(х у)ю 1О8 * — '" +у — '" =*У( — ") ах ар х Общее решение; |н = ехр[хУ( — )] Ф( — '). дю дю 2 2 — +у — =У( +р ) ах ду Общее решение: ю = Ф( — ) ехр [ — / У(1) — ] * где с = * + у х 2 а Ою а — + Ьу — = * У(х" р ) ах ар Общее решение: ехр[ — / х У(х и А/Нх]Ф(и) при ап ф — Ьт; а 1 при ап,= — Ьт..дуб; [ ав схр~ — У(х" у"')!пх]Ф(и) при ап = -Ьт, 1с = О, [а где и = д" х .
При интегрировании и рассматривается как параметр. а Ою тпх — + пу — = У(ах + Ьр )ю. дх ду Общее решение: и> = Ф(у х ) ехр [ — / Я) — ], 1де б = ах -г Ьу 1 Г п11 т пт,/ 2 Ою Ою * — +ху — = р У( +А)р) а ау Общее решение: -=-- [,,"',„,.— Г ' ВУ()'] (-.") У(х) Ою д(р) Ою (у( У'(х) ах д'(у) ау Общее решение: ю = Ф(и) ехр[/ 6(с) — ], 1де е = ох д-,ау. где и =, б = У(х) +д(у). д(у) У(х) ' и~ = ехр ~ — — У(х, и'~'хп") ах] Ф(и), где и = у'х [ах х Г!ри интегрировании и рассматривается как параметр. а дю У( ) — +д( )у — =Ь(: р) Ох Оу Общее решение: 1' Ь(х, ив) 1 ю = Ф(и)ехр[/ ' г)х], где и = —,, С = ехр(/ — 'г(2). П) !' а' ' М/ У При интегрировании и рассматривается как параметр.
4.8.4. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю дю 1. — + а — = У(х,у)ю. ах ар Обншс решение: ю = ехр[/ У(т,у — ах+ И1) ат]Ф(у — ах), где хе дюбое. *О а а 2. ах + Ьу = У(х, у)ю. а ау Общее решение: 1От 4.8 Уравнения, еааераеащне прашвааьные функции 4. ~ь(х) — + [дз(х)у+ до(х)~ — = Ь(хьу)ю. дю Ою Ох Оу Общее решение: где С = схр([ — ь1х), ь„ь = С ( о . При интегрировании и рассматривается как lт) -/~с параметр. 6. Х(х) — + [дз(х) +до(х)е~и1з — = Ь(х,у)то, Ох ду Замена е = е л" приводит к уравнению вида 4.8.4.4: дю диь ' 1 1(х) — — Л[дь(х)е+ до(х)] — = Ь(х, — — 1п е) ю.
дх де ' Л Х ( )д (у) д + Ь(х)дг(у) д = 1 (хь у) Преобразование б = 1 з ' г1х, ь1 = 1 '' ду приводит к уравнению вида 4.8.4.1: дю дю — + —, = Е(б,д)ю, дс дц где Г(с, г1) = Ых)д1(у) 5. Х(х) — + [дз(х)у+ до(х)у ~ — = Ь(х,у)ю. Ох ду При й = 1 см. уравнение 4.8,4.3. При 1г у'- 1 замена е = у' " приводит к уравнению вида 4.8.4.4: дю дю 1 ~(х) — -~- (1 — й) [дз(х)б -1- до(х)1 — = Ь(х, 8 з — ь ) ю.
дх де 5. Линейные уравнения вида У(х, у)ф + д(х, у)ф = 61(х, у)т() + йп(х, у) 5.1. Предварительные замечания 5.1.1. Методы решения 5.1.1-1. Структура общего решения. /1инейное неоднородное уравнение первого порядка с двумя независимылзи переменными в общем случае имеет внд дю дю 1"(х, у) — + у(х, у) — = Йз(х, у')ш + 6о(х, у). (1) дх ду Частный случай 6з = О рассматривается в равд. 3.1, а 6о = О в разд. 4.1. Общее решение линейного неолноролного уравнения (1) можно представить в виде суммы любого часпюго решения этого уравнения и общего решения соответствуюгцез о олнородного уравнения (прн 6о — = О).
5.1.1-2. Метод решения, освованный на переходе к новым переменным. Пусть извеспю часыюе решение и(х, у) (главный интеграл) соответствующего «укороченного» олнородного уравнения 5.1.1-3. Метод решения с помощью характеристической системы. Если известны два независимых интеграла из(х,у,и~) = Сы из(х,у,ю) = Сз (3) характеристической системы па ду йо 1(х,у) Л(х,у) 6з(х,у)ю-1-6о(х.,у) ' то общее решенно неоднородного уравнения (1) имеет вид Ф(иг, ия) = О, где Ф -- произвольная функция двух аргументов. (4) ди ди 1(х У) . -1-У(х,у) — = О (и щ сопят). (2) д, ' ду Переходя в (1) от х, у к новым перелзенным х, и = и(х, у), получим з (х, и) — = 61(х, и)и~ + 6о(х, и), дх где У(х,и) = у(х,у), 61(х,и) = 6з(х,у), Тле(х,и) = 6о(х,у) коэффициенты исходного уравнении (1), записанные в переменных х, и.
Уравнение (2) можно рассматривать как линейное обыкновенное дифференциальное урав- нение для ю = ю(х) с параметром и. Его решение имев~ вид из = Е[/ о ' ' — Ч-Ф(и)1, Е = ехр[/ ~'™ г(х], где Ф --- произвольная функция, при вычислении интегралов и рассматривается как параметр, Для нахождения общего интеграла уравнения (1) необходимо в последней формуле после интегрирования персйтн к исхолным переменным х, у. ТОП 5.1. Прел«ар«таю»ма занечання 5.1.1-4. Использование вспомогательного однородного уравнения. Пусть Ь = ь(х, у,ю) -- интеграл вспомогательного линейного однородного уравнения с тремя независимыми переменными Э(х, д) — + д(х, у) — + (Ьт(х, у)ю + Ьо(х., р)] —, = О.
д( д6 д6 дх ' ду дю Тогда интеграл ю(х, д) исходнозо неоднородного уравнения (!) можно получить путем разрешения алгебраического (трансцендентного) уравнения ь(х,р,ю) = 0 (ь„. ~ 0) относительно ю. О решении уравнений вида (5) см. равд. 6.!. 5.1.2. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю — -~- а —, = Ьи -1- с. дх дд (6) Частное решение этого уравнения Е ищем в виде константы.
В резулыатс имеем (7) Общее решение юо ссюэветствующего однородного уравнения при с = 0 дается формулой (см. пример 3 нз равд. 4.1.2): юо — — еь'Ф(р — ах), (8) где Ф(и) --произвольная функция. Общее решение исходного неозшородного уравнения с частными производными (6) находится путем сложения ос~пений (6) н (7): ю = — — -1- е 'Ф(у — ах). ь. Ь Прямер 2. Рассмотрим уравнение ди~ дю — -1- а — = Ью -1- сху, дх др (9) которое отличается от уравнения (6) только неоднородным членом. Частное эюшениеи(х,у) соответству- ющего «укороченного» уравнения прн Ь = с = 0 дается формулой и = у — ах.
Переходя в уравнении (9) от х, у к новым переменным х, и, посяе несложных преобразований лля функции ю = ю(х,и) получим дю — —.—. Ью Ф асх -1- сих. дх Интегрируя это уравнение по переменной х (и рассматривается как параметр], имеем ь ас з с ю = е Ф(и) — — х — —,(2а -1- Ьи)(ьт -1- Ц. Ь Ьз где Ф = Ф(и) — произвольная функция. Учитывая зависимость и = р — ах, после некоторых преобразонаний находим общее решение уравз<ення (9); ю = — — (Ь хд -1-аЬх Ф Ьр -1-2а) -1- ез Ф(р — ах). Ьз 5.1.1-5.
Задача Коши. (:-::::Л Задета Коши для уравнения (1) формулируется так же, как лпя «укороченного» уравнения при Ьы Ьо = 0 (см. равд. 2.1.2). Ее решение можно получить из формулы для общего решения, в которую ззодсз авзтяюгся походные данные. Можно использовать также метод, который основан на подстановке исходных данных непосредственно в интегралы (3) характеристической системы (4) (этот метод описан в равд.
3.1.2). 110 лнняпныя юьвняния внпь Дхб у) — „+ У(х, У) о",' = Ьг(х, У)ю+ Ьв(х; У) 5.2. Уравнения, содержащие степенные функции 5.2.1. Коэффициенты уравнений линейны ло х и у дю дю 1. а — + Ь вЂ” = его + ь). дх Ор Общее решение: ю = — — + е' Ф(бх — ар). Н с 2. (х — а) + (у — Ь) = ю — с. дю дю дх др Дифференщяягьнос уравнение конической повсрхносьии с всршиноб в точке (а,б, с).
яр — Ьь Общее решение: и = с+ (х. — а)Ф( ' х — а ( ь) Питеритури. Э. Кямке (1966). 3. (ах+ 6) + (ох+ ь2) = аю+,3. дю дю дх др Общее решение: — — + (ах + 6) 2 Ф(а(сх — ар) -1- (ао — Ьс) 1п(ах Ф 61) при а ф О, ю= — — +е"' Ф(сх -1-2ох — 26У) -. 1ь при а=О. 4. (ах+ Ь) — + (су+ ь() — = вью+ а дю дпг дх ду Общее решение: — — Ф (ах ФЬ) ~'Ф((ах Ф 6) '~'(ар Фу)) при а ф О, ю= а — — -6 ст"г Ф((су -Ь О)е '*~ ) при а=б. 5.
(ах+ 6) — + (ау+ ь() — = сто+)Зх+ уу. дю дю дх Ор 1'. Общее решение при а ф О, а ф а, с ф. а: и~ = — + (их+ 6) ~'Ф((ах+6) т" (су+ я()). а(а — о) а(а — с) 2'. Общее решение при а ф О, а = оь с ф. сс у(Ь.~- (ах -1- 611п)ах-Ь 61) О(ар И-4) аг а(а — с) 3'. Общее решение при а ф О, а = с = а: Ь у -1- ЫО(9(ах -1- Ь) И О(ау -1- ьб)] 1п1ах -1- Ь~ ( ау -1- яб ) ш— + (ах+ 6)Ф аг ах -1- Ь 4'.
Сьбщее решение при а = О, с ф. а: ч(ох + Ь) р(ар + а) 1ьФ(( „) —,,яь) аг о(о — с) 5'. Общее решение при а = О, с = яс Ьс- Ь 5.2 Уравнения, свдврзхандпв сядененныв Фуннонн 6. (ах + Ь) — + (ох + д2у) — = сею+ )г. а а ах Оу 1". Общее репдение при а ~ О, а ф- д).' и~ = — — + (ах+ 6)'*~'Ф([с(д(х Ф 6) + д1(д1 — и)р) (ах+ 6) ~~'). 2'. Общее решение при а ~ О, а, = д(: Ьс — адд ю = — — Ч- (ах Ф 6)" 'Ф( + с1п !ох -!- 6!) .
а ах -!- Ь 3'. Общее решение при а = О: ю = — — -1- с *~~Ф( [бс Ч- д((сх -Ь д(у)) е *~ ) . а Ою 6. (адх+ао) — + (Ьгу+ Ьдх+ Ьо) — = (сгу+ сдх+ со)до+ йгу+ йдх+ йо. Ох ар Частный случай уравнения 5,8.3.4 при 2'(х) = адх -1- ао, дд(х) = бъ до(х) = бдх -1- Ьо, 6(х, р) = сгу+ сдх + со, Е(х, р) = йгр+ й1х+ йо. Ою дю 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
